05 Uniform Circular Motion [compatibility Mode]

25/06/51

[บทที่ 5 การเคลื่อ นที่แบบวงกลมกับ กฎของนิ ว ตั น ]

y เมื่อวัตถุเคลือ่ นที่เป็ นวงกลมในระนาบแนวกับ

พื ้นโดยมีอตั ราเร็ว v คงที่ จะทําให้ เกิดการ เคลือ่ นทีแ่ บบวงกลมสมํ่าเสมอ y ความเร่งที่เกิดขึ ้นจากการเปลีย่ นทิศของ ความเร็็ว มีีทศิ เข้้ าสูศ่ นู ย์์กลาง และมีคี า่ คงตัวั a⊥ =

v2 R

y จากกฎของนิวตันแรงที่กระทําต่อวัตถุที่

เคลือ่ นที่เป็ นวงกลม

∑ F = ma

⊥

=m

v2 R

y แรงมีทิศเข้ าสูศ่ นู ย์กลางเพื่อดึงให้

เคลือ่ นที่เป็ นวงกลมรอบจุดศูนย์กลาง y แต่ถ้าเชือกขาดแรงดึงไม่มี วัตถุจะ

หลุดออกไปในแนวเส้ นตรงที่สมั ผัสกับ วงกลม

K

∑F =0

K v

K a=0

1

25/06/51

ตัวอย่ างที่ 5-1 กล่องวัตถุขนาดเล็กมวล 0.300 kg หมุนเป็ นวงกลมอย่างสมํ่าเสมอบน พื ้นผิวระดับลืน่ กล่องผูกติดกับเชือกยาว 0.140 m ซึง่ ปลายอีกข้ างหนึ่งยึดไว้ กบั เข็มซึง่ ปั กไว้ ที่ผิว ถ้ ากล่องหมุนครบสองรอบต่อวินาที จงหาแรงที่เชือกกระทําต่อกล่อง แรงทีเ่ ชือกกระทําต่อกล่องคือแรงที่มที ิศเข้ าสูศ่ นู ย์กลางซึง่

F = ma⊥

4π R T2 จากโจทย์กล่องหมุนสองรอบใช้ เวลา 1 วินาที คาบในการหมุน T = ½ = 0.50 วินาที 2

หาขนาดความเร่งเข้ าส่ศนนย์ หาขนาดความเรงเขาสู ู ยกลางไดจาก กลางได้ จาก a⊥ =

a⊥ =

4π 2 ( 0.140 )

( 0.50 )

2

= 22.1

m/s2

แรงทีเ่ ชือกกระทําต่อกล่อง F = ( 0.300 )( 22.1) = 6.63 นิวตัน

ตัวอย่ างที่ 5-2 วัตถุขนาดเล็กมวล m ผูกติดด้ วยเชือกยาว L ถ้ าวัตถุนี ้เคลือ่ นที่เป็ น วงกลมด้ วยอัตราเร็วคงที่ v ในแนวระดับ รัศมีของวงกลม r ดังแสดงในรูปจงหาอัตราเร็ว v ของวัตถุ เขียนแผนภาพโดยแยกองค์ประกอบของแรงตามแกน x และ แกน y จากกฎของนิวตันระบบ ไ ม่ ีความเร่่งในแนวดิ ไม่ ใ ง่ิ ดังนัน้ ∑ Fy = 0

K v

T cos θ − mg = 0

แรงในแนวระดับมีทิศเข้ าหาจุดศูนย์กลางของวงกลม

∑F

x

= ma⊥

คือ

∑F

x

= T sin θ = m

v2 r

นําสมการที่ได้ จากองค์ประกอบ y หารด้ วยสมการที่ได้ จากองค์ประกอบ x tan θ =

v2 rg

ดังนันอั ้ ตราเร็ว v จะมีคา่ เท่ากับ v = rg tan θ แต่จากรูปรัศมี r = L sin θ v = Lg L sin i θ tan t θ

2

25/06/51

ตัวอย่ างที่ 5-3 จากรูป ลูกบอลมวล 0.30 kg แขวนด้ วยเชือกยาว 2.0 m จงหา อัตราเร็วที่จะทําให้ ลกู บอลเคลือ่ นที่เป็ นวงกลมโดยที่เชือกทํามุม 40๐ กับแกน T cos θ

อัตราเร็วของลูกบอลคือ

40๐

v = Lg sin θ tan θ

T v=

T sin θ

( 2.0 )( 9.8) sin ( 40D ) tan ( 40D ) m/s

= 3.25

mg

ตัวอย่ างที่ 5-4 รถยนต์ BMW กําลังเลี ้ยวโค้ งบนถนนราบที่ไม่ได้ ยกเอียงโดยที่รัศมี ความโค้ ง 230 m ถ้ าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างล้ อและถนนมีคา่ μs = 0.87 อัตราเร็วสูงสุดที่คนขับเลี ้ยวรถได้ โดยที่รถไม่ไถลมีคา่ เท่าใด จากกฎของนิวตัน ความเร่งที่เกิดขึ ้นในแนว ระดับคือความเร่งเข้ าสูศ่ นู ย์กลาง แรงที่กระทําคือแรงเสียดทานระหว่างล้ อรถกับ พื ้นถนน พนถนน ความเร่งในแนวดิ่งเป็ นศูนย์ v2 R

∑F

= fs = m

∑F

= N − mg = 0

x

y

N = mg

สมการแรกแสดงให้ เห็นว่าแรงเสียดทานที่จําเป็ นในการรักษาให้ รถแล่นเป็ นเส้ นทาง วงกลมมีขนาดเพิ่มตามอัตราเร็ว แต่แรงเสียดทานสถิตสูงสุดที่เป็ นไปได้ คือ

f s ,max = μ s N = μ s mg ดังนัน้

v2 R v = μs gR R

μ s mg = m

ค่า่ อัตั ราเร็็วสูงสุดคืือ

v=

( 0.87 )( 9.8)( 230 ) = 44

m/s

3

25/06/51

ตัวอย่ างที่ 5-5 ถ้ ายกพื ้นถนนเอียงทํามุม θ กับแนวระดับ โดยที่พื ้นถนนกับล้ อรถไม่มี แรงเสียดทานใดๆ ถ้ ารถวิ่งด้ วยอัตราเร็วคงที่ 25 เมตร/วินาที และรัศมีความโค้ งของ ถนนเป็ น 230 เมตร ต้ องใช้ มมุ θ เท่าใดจึงจะเลี ้ยวโค้ งได้ อย่างปลอดภัย เขียนแผนภาพแรงที่กระทํา บนรถได้ ดงั รูป ความเร่งในแนวแกน x คือ ความเร่งเข้ าส่ศนนย์ ความเรงเขาสู ู ยกลาง กลาง และความเร่งในแนวแกน y เป็ นศูนย์

∑F

x

∑F

y

tan θ =

หามุมเอียงของถนนได้ จาก

= N sin θ = m

v2 R

= N cos θ − mg = 0

v2 gR

( 25) = 0.277 ( 9.8)( 230 ) 2

tan θ =

θ = tan −1 0.277 = 15D

y ถ้ าเราผูกเชือกเส้ นติดกับวัตถุและเหวี่ยง

วัตถุเป็ นวงกลมในระนาบดิง่

y ความเร็วของวัตถุนี ้ไม่ คงตัว y ยกเว้ นทีจ่ ดุ สูงสุดและตํ่าสุด y แรงสุทธิไม่ ได้ ชี ้เข้ าหาศูนย์กลางของ

วงกลม

y ทั ้งแรงและความเร่งมีองค์ประกอบในทิศ

สัมผัสกับวงกลม

y กรณีเป็ นการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่

สมํ่าเสมอ

y เราไม่สามารถใช้ สมการความเร่งคงตัว

เพื่อหาความสัมพันธ์ ระหว่างอัตราเร็วที่ ตําแหน่งต่างๆ กันได้ เพราะทั ้งขนาดและ ทิศทางของความเร่งมีคา่ ไม่คงตัว

4

25/06/51

y จากกฎของนิวตันจะได้ องค์ประกอบของ

แรงสุทธิในทิศตังฉากกั ้ บเส้ นสัมผัส ⊥ = T − mg cos θ = ma⊥ y และองค์ประกอบของแรงสุทธิในทิศ ขนานกับเส้ นสัมผัส ∑ F& = mg sin θ = ma& y แรงตึงเชือกที่จดุ สูงสุดคือเมื่อ θ = 180o และที่จดุ ตํ่าสุด θ = 0o

∑F

⎛ v2 ⎞ T = m⎜ − g ⎟ ⎝R ⎠

และ

⎛ v2 ⎞ T = m⎜ + g ⎟ ⎝R ⎠

ตัวอย่ างที่ 5-6 ผู้โดยสารคนหนึ่งมีมวล 60.0 kg นัง่ อยูบ่ นชิงช้ าสวรรค์ที่เคลือ่ นที่เป็ น วงกลมรัศมี 8.00 เมตร ในระนาบดิ่งด้ วยอัตราเร็วคงตัว และชิงช้ าหมุนครบรอบในเวลา 10.0 วินาที สมมุติเก้ าอี ้นัง่ ตังตรงอยู ้ ่ตลอดเวลา จงหาแรงที่เก้ าอี ้กระทําต่อผู้โดยสารที่ ตําแหน่งสูงสุดและตํ่าสุดของวงกลม อัตราเร็วของชิงช้ าหาได้ โดย N v 2π R 2π ( 8.00 ) v= = = 5.03 m/s T

10

จากกฎของนิ ฎ วตันที่จดุ สูงู สุดุ ของ ชิงช้ าสวรรค์

mg

∑F

⊥

= mg − N t = m

v2 R

แรงทีเ่ ก้ าอี ้กระทําต่อคนที่จดุ สูงสุด ⎛ v2 ⎞ Nt = m ⎜ g − ⎟ R⎠ ⎝

⎛ 5.032 ⎞ N t = ( 60.0 ) ⎜ 9.8 − ⎟ = 398 8.00 ⎠ ⎝

นิวตัน

แรงทีเ่ ก้ าอี ้กระทําต่อคนที่จดุ ตํ่าสุด

∑F

⊥

= N B − mg = m

v2 R

⎛ v2 ⎞ NB = m ⎜ + g ⎟ ⎝R ⎠ ⎛ 5.032 ⎞ N B = ( 60.0 ) ⎜ + 9.8 ⎟ = 778 ⎝ 8.00 ⎠

นิวตัน

5

25/06/51

y แรงโน้ มถ่วงเป็ นแรงสนามระหว่างวัตถุที่กระทําซึง่ กันและกัน เช่นแรงดึงดูดระหว่าง

โลกกับดวงจันทร์ แรงดึงดูดระหว่างโลกและดวงอาทิตย์ y กฎความโน้ มถ่วงของนิวตัน “ทุกอนุภาคสสารในเอกภพดึงดูดทุกอนุภาคอื่นด้ วย

แรงซึง่ แปรผันตรงกับผลคูณของมวลของอนุภาค และแปรผกผันกับกําลังสองของ ระยะห่า่ งระหว่า่ งอนุภาคทังั ้ สองนันั ้ ” Gm1m2 F= r2 y G คือค่าคงตัวสากล ปริ มาณนี ้มีคา่ เดียวไม่ว่าวัตถุจะอยู่ที่ใดก็ตาม y G = 6.67259 X 10-11 N.m2/kg2

ตัวอย่ างที่ 5-7 จงหามวลของโลกถ้ าให้ ระยะห่างระหว่างโลกกับดวงจันทร์ เป็ น 3.84 X 108 เมตร และวงโคจรของดวงจันทร์ รอบโลกเป็ นวงกลมสมบูรณ์ โดยให้ ดวงจันทร์ โคจรรอบโลก ใช้ เวลา 27.3 วัน แรงดึงดูดที่โลกกระทําต่อดวงจันทร์ จะเท่ากับ แรงเข้ าสูศ่ นู ย์กลางของการเคลือ่ นที่เป็ น วงกลมรอบโลกของดวงจันทร์ ให้ m คือมวลของดวงจันทร์ และ M คือมวลของโลก F⊥ = m

v 2 GmM G M = R R2 M=

คาบในการเคลือ่ นทีข่ องดวงจันทร์

Rv 2 G

⎛ hour ⎞ ⎛ min ⎞ ⎛ s ⎞ 6 T = ( 27.3 day ) ⎜ 24 ⎟ ⎜ 60 ⎟ ⎜ 60 ⎟ = 2.36 ×10 day ⎠ ⎝ hour ⎠ ⎝ min ⎠ ⎝

s

อัตราเร็วของดวงจันทร์ v=

8 2π R 2π ( 3.84 ×10 ) = = 1.02 × 103 6 T 2.36 × 10

มวลของโลก

M=

m/s

Rv 2 G

( 3.84 ×10 )(1.02 ×10 )

3 2

8

=

6.67 × 10 = 5.99 × 1024

−11

กิโลกรัม

6