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CLASE04: MEDIDAS DE POSICION

Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

MEDIDAS DE POSICION • En el Capitulo anterior, vimos lo referente a las medidas de tendencia central, las cuales, a su vez, son también medidas de posición ya que, de todas maneras ocupan un lugar dentro de la información. • Los mas usados son Cuartiles, Deciles y Percentiles

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MEDIDAS DE POSICION • CUARTILES: Divide a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, a los puntos de división se les llama cuartiles

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CUARTILES • Q1: El primer cuartil es un valor en el cuál 25% de las observaciones es menor que él y 75% son mayores que él. • Q2: Es el segundo cuartil es la mediana, el 50% de las observaciones son menores y el 50% son mayores que él. • Q3: Es el tercer cuartil, es el valor en el cual el 75% las observaciones son menores que él y 25% son mayores que él.

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EQUIVALENCIAS PERCENTIL Pi DECIL Di P10= D1 Decil 1 P20= D2 Decil 2

…………………. P90= D9 Decil 9

PERCENTIL Pi CUARTIL Qi P25= Q1 Cuartil 1

P50= Q2 Cuartil 2 P75= Q3 Cuartil 3

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PROCEDIMIENTO DE CALCULO Datos no agrupados: k ( n  1) Si  E  Z  PK  X K ( n 1) 100 100 k (n  1) Si  E.d  Z  PK  X E  d ( X E 1  X E ) 100 Donde: k = 1,2,3,…99 es el percentil que se busca n = numero de observaciones (100–k)% de observaciones

k% de los datos menores o iguales a Pk Pk

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Datos no agrupados: Ejemplo1: Los siguientes datos corresponden a las notas de 7 alumnos de un curso de matemáticas 13, 6, 7, 16, 12, 15, 8 a) Calcular el Percentil P25 ~ Q1 Solución: Primero se ordena los datos x1

x2

6 7

x3

8

x4

x5

x6

x7

12 13 15 16

k (n  1) 25(7  1) Si   2  Z  P25  X 2 100 100

P x k

k ( n 1 ) 100

x

25 ( 7 1 ) 100

x 7 2

Lo que significa que el 25% de las notas son menores o iguales que 7 Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

b) Calcular el Percentil 33 P33 x1 x2 x3 x4

6

7

8

12

x5

13

x6

x7

15 16

Solución:

Si

k (n  1) 33(7  1)   2.64  Z  hacer int erpolación 100 100

Significa que el Percentil 33 se encuentra entre la 2da y 3era observación. INTERPOLANDO se tiene: P33 = x2 + 0.64 (x3 – x2) Remplazando se tiene: P33 = 7 + 0.64 ( 8 – 7 ) = 7.64 Lo que significa que el 33% tiene notas menores o iguales a 7.64 puntos. Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Usando el SPSS Analizar / Estadísticos descriptivos / Frecuencias Después Clic en Estadísticos

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Usando el Minitab Cal / Calculadora Después Clic en Aceptar

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Ejemplo2:Calcular el primer cuartil P25 y el tercer cuartil P75 157, 96, 73, 49, 36, 59, 95, 169, 210, 278, 298, 245 SOLUCIÓN Se ordena forma ascendente, las observaciones a esta característica se llaman medidas de estadísticas de orden 36, 49, 59, 73, 95, 96, 157, 169, 210, 245, 278, 298 X(1), X(2), X(3), X(4), X(5), X(6),

Pk =P25

X(7),

X(8),

X(9),

X(10), X(11),

X(12)

k (n  1) Si  Z  hacer int erpolación 100

25(12  1) Si  3.25  Z  se int erpola 100 P25= X(3) + (X(4) – X(3)) 0.25 P25 = 59 + (73-59)x0.25=62.5 Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Hallar P75 k (n  1) Si  Z  hacer int erpolación 100

 12  1  Si 75   9.75  Z  Se Interpola  100  P75= X(9) + (X(10) –X(9)) 0.75 P75 = 210 + (245-210)x0.75=236.25 P75 = 236.25 Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Ejemplo1 : Una empresa constructora tiene 2 secciones A y B. Las distribuciones de accidentes anuales de sus empleados son los siguientes: A xi 1 2 5 7 10 13

fi 3 4 9 10 7 2

B xi 1 2 5 7 10

fi 3 4 9 10 6

¿Hallar P25 y P75 en las dos secciones? Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Solución: A xi 1 2 5 7 10 13

B fi 3 4 9 10 7 2

Fi 3 7 16 26 33 35

n = 35

P25= P75 =

xi 1 2 5 7 10

fi 3 4 9 10 6 n= 32

P25= P75 = Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Fi 3 7 16 26 32

Cálculo de Percentiles Datos Agrupados:  Kn   F i 1   100 PK  Li  Ci   fi    

/

Kn  Fi 1 100

Donde: k = 1,2,3,…99 es el percentil que se busca n = numero de observaciones L i = Limite Inferior del intervalo donde se encuentra el Percentil Fi-1= Frecuencia Acumulada anterior a la posición del intervalo donde se encuentra el Percentil. Ci = Amplitud del Intervalo donde se encuentra el Percentil. fi = Frecuencia Absoluta de la posición donde se encuentra el Percentil. Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Ejemplo1: Hallar P25

[100-110) [110-120) [120-130) [130-140) [140-150) Fi-1= 10 fi = 25

f

F

H

10 25 20 20 15

10 35 55 75 90

0.111 0.389 0.611 0.833 1.000

 kn   F i  1   Pk  Li  Ci  100  f i    

kn Si  Fi 1 100 25(90)  22.5  10  Fi 1 100

 22.5  10  P25  110  10  115   25 

Li = 110 n = 90 Ci = 10

Lo que significa que el 25% de entrevistados tienen puntuaciones menores a 115 puntos. Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

b) Hallar P75

[100-110) [110-120) [120-130) [130-140) [140-150) Fi-1= 55 fi = 20 Li = 130 n = 90 Ci = 10

f

F

H

10 25 20 20 15

10 35 55 75 90

0.111 0.389 0.611 0.833 1.000

 kn   F i  1   Pk  Li  Ci  100  f i    

kn Si  Fi 1 100 75(90)  67.5  55  Fi 1 100

 67.5  55  P75  130  10  136.25   20  Lo que significa que el 25% de entrevistados tienen puntuaciones mayores a 136.25 puntos. Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

c) Calcular el Percentil 37 P37

[100-110) [110-120) [120-130) [130-140) [140-150] Li = 110 fi = 25 Fi-1= 10 n = 90 Ci = 10

f

F

H

10 25 20 20 15

10 35 55 75 90

0.111 0.389 0.611 0.833 1.000

P37

 kn   F i  1   Pk  Li  Ci  100  f i    

kn Si  Fi 1 100 37(90)  33.3  10  Fi 1 100

 37  90   10    110  10  100   119.32 25    

Lo que significa que el 37% de entrevistados tienen puntuaciones menores a 119.32 puntos. Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Ejemplo2 Encontrar los cuartiles 1 y 3 del siguiente conjunto de datos: 7, 8, 12, 17, 29, 18, 4, 27, 30, 2, 4, 10, 21, 5, 8

2

4

X(1) X(2)

4

5

7

X(3) X(4) X(5)

8

8

10

X(6) X(7) X(8)

12

17

X(9)

X(10)

18

21

X(11) X(12)

27 X(13)

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29 30 X(14) X(15)

Ejemplo3: Con la información que se presenta, calcular el valor del tercer cuartil, el tercer decil y el percentil 38.

PK

 Kn   F i 1   100  Li  Ci   fi    

/

Kn  Fi 1 100

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Ejemplo4: Al hacer un registro de las notas de los alumnos de un curso se obtuvo la siguiente distribución: Nota

# alumnos

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

1

1

1

1

1

6

8

16

18

20

2

a) Calcule la media y la mediana ¿Cuál de las dos medidas obtenidas representa mejor los resultados? Sustente. b) ¿Cuál es la nota mínima para estar en el quinto superior? c) ¿Cuál es la nota máxima de los alumnos que representan el 10% del total y tienen las menores notas? Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

EJEMPLO5: El siguiente cuadro contiene información sobre los tiempos, en minutos, empleados por los operarios de una empresa en ensamblar e instalar software en 40 computadoras: Nota: los intervalos tienen la misma amplitud. Intervalos 25

Mi

fi 2

Fi

hi%

Hi%

14 25 60

80 5

Total

-----

----

----

a) Complete los datos que faltan b) ¿Podría usted afirmar que más de la mitad de operarios emplearon tiempos superiores al promedio?. c) Calcular e interpretar los cuartiles 1 y 3. d) Estime el porcentaje de operarios que necesitó menos de 52 minutos para hacer la tarea Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Ejemplo6: El número de unidades de un determinado producto adquiridas anualmente por 110 consumidores entrevistados se distribuye así: Número de unidades

Número de consumidores

[ 20

–

30 >

25

[ 30

–

40 >

20

[ 40

–

50 >

35

[ 50

–

60 >

15

[ 60

–

70 >

15

a) ¿Más del 50% de los entrevistados tienen un consumo anual superior al promedio? b) ¿Cuál es el número mínimo de unidades adquiridas por el 25% de consumidores que más unidades adquieren?P75 c) ¿Cuál es el número máximo de unidades adquiridas por el 15% de consumidores que menos unidades adquieren? P15 d) ¿Cuál es el número de unidades anuales más frecuente adquirido por los consumidores? Mo Material de Clase © Germán Pomachagua Perez 7-Ene.-19

Ejemplo7: Una clínica paga sueldos que varían de $300 a $800 mensuales distribuidos en forma simétrica en 5 intervalos de amplitud constante, de manera que el 15%, 20% y 30% están en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto?

SUELDOS

EMPLEADOS

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Ejemplo 8: En una gran ciudad, se tomó una muestra aleatoria y se les preguntó por su ingreso mensual, en dólares, obteniéndose los siguientes resultados. a) b) c) d)

Complete la tabla de distribución de frecuencias Calcule el ingreso promedio y la mediana del ingreso Cual es el sueldo máximo del 8 % de las personas que menos ganan Entre que intervalo se encuentra el 70% de los sueldos centrales y cuantas personas son

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