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2 Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R

0401) Sistemas de Partículas

Centro de Masa de un Sistema de Dos Partículas

Hasta la fecha se ha analizado el movimiento de los objetos modelándolos como partículas (con masa, pero sin tamaño). Por ello, solamente se ha analizado la traslación de las partículas de un punto a otro. En la vida real, los objetos tienen tamaño, por lo que el análisis del movimiento de sus distintos puntos se hace más complejo. En la figura 1, se observa que un malabarista le arroja una clava a otro. Se observa que, aún cuando la clava gira de diversas formas, existe un cierto punto de ésta que se mueve de la misma manera que se movería una partícula sola sometida a las mismas fuerzas externas. Ese punto se denomina centro de masa del cuerpo. El movimiento del centro de masa se denomina también movimiento de traslación del cuerpo.

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Tierra que su centro de masa.

Sea un sistema de dos partículas m1 y m2 que están, respectivamente, a distancias x1 y x2 del origen O (ver figura 2). Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado a una distancia xcm del origen O, siendo xcm definido por: x cm =

Figura 1) Movimiento de una clava lanzada por un malabarista.

En general, un cuerpo con tamaño puede moverse simultáneamente en • Traslación (el cuerpo se traslada de una posición a otra) • Rotación (cuerpo vibrando, girando sobre sí mismo o de diversas formas) Un cuerpo se mueve en traslación pura cuando cada punto de éste experimenta los mismos desplazamientos que cualquier otro punto (incluyendo el centro de masa) a medida que transcurre el tiempo. Un cuerpo se mueve en rotación pura cuando el centro de masa está en reposo y los demás puntos del cuerpo se mueven en torno a él. Cualquier situación de traslación y rotación combinadas se puede descomponer en una rotación pura y una traslación pura. El concepto de centro de masa está íntimamente relacionado con el de centro de gravedad, el cual será definido posteriormente. Para casi todos los objetos “de la vida diaria” que estén sobre la superficie terrestre o en sus cercanías (zona donde la magnitud de la aceleración de gravedad se considera constante), el centro de masa coincide con el centro de gravedad. En las situaciones siguientes no existe tal coincidencia: • Un objeto que se encuentra en el espacio exterior entre dos estrellas, de tal forma que la fuerza gravitacional total sea cero tiene centro de masa, pero no tiene centro de gravedad. • Un objeto suficientemente grande para que la gravedad varíe de una parte a otra. Por ejemplo, el centro de gravedad de la Luna está Figura 2) Centro de masa de un sistema de dos ligeramente más cerca de la partículas

m1x1 + m2 x 2 m1 + m2

Definiendo M = m1 + m2 como la masa total del sistema, se puede expresar la posición del centro de masa como un promedio ponderado, donde el “peso” o factor de ponderación de cada partícula es la fracción de la masa total que tiene cada una. xcm =

m1x1 + m2 x 2 m1 m = x1 + 2 x 2 M M M

La posición del centro de masa es independiente del marco de referencia que se use para localizarlo. El centro de masa de un sistema de partículas depende solamente de las masas de las partículas y de las posiciones de unas partículas con respecto a las otras. Centro de Masa de un Sistema de Tres Partículas Sea un sistema de tres partículas que (en general) no están en línea recta, de masas m1, m2 y m3, y que están ubicados, respectivamente, en las coordenadas (x1,y1), (x2,y2) y (x3,y3) con respecto del origen O (ver figura 3). Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado en las coordenadas (xcm,ycm) respecto del origen O, siendo xcm e ycm definidos por: m1x1 + m2 x 2 + m3 x 3 m1 + m2 + m3 m1y 1 + m2 y 2 + m3 y 3 = m1 + m2 + m3

x cm = y cm

Figura 3) Centro de masa de un sistema de tres partículas

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Centro de Masa de un Sistema de N Partículas en el Plano Sea un sistema de N partículas pertenecientes al mismo plano, de masas m1, m2,....., mN, y que están ubicados, respectivamente, en las coordenadas (x1,y1), (x2,y2),......,(xN,yN) con respecto del origen O. Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado en las coordenadas (xcm,ycm) respecto del origen O, siendo xcm e ycm definidos por:

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R  1 N 1 N 1 N rcm = ∑ mn x n iˆ + ∑ m n y n jˆ + ∑ mn zn kˆ M n =1 M n =1 M n =1 N  1N 1  =  ∑ mn x n iˆ + y n ˆj + z n kˆ  = ∑ mn rn M  n =1  M n =1

(

)

Centro de Masa de una Distribución Continua de Masa N

x cm =

m1x1 + m2 x2 +
+ mN x N = m1 + m2 +
+ mN

∑m x

n n

n =1 N

∑m

=

1 N ∑ mn x n M n =1

=

1 N ∑ mn y n M n=1

n

n =1 N

y cm =

m1y 1 + m2 y 2 +
+ mN y N = m1 + m2 +
+ mN

∑m y

n n

n =1 N

∑ mn

Un cuerpo rígido (distribución continua de masa) se puede considerar como un sistema de partículas de infinitesimales de masa ∆mn muy próximas unas a otras. Los puntos xcm, ycm y zcm estarán dados por

Figura 4) Centro de masa de cuerpos rígidos

n =1

Centro de Masa de un Sistema de N Partículas en el Espacio

y cm

Sea un sistema de N partículas distribuidas en el espacio tridimensional, de masas m1, m2,....., mN, y que están ubicados, respectivamente, en las coordenadas (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),......,(xN,yN,zN) con respecto del origen O. Se define el centro de masa del sistema como el punto C que está ubicado en las coordenadas (xcm,ycm,zcm) respecto del origen O, siendo xcm, ycm y zcm definidos por: 1 N ∑ mn x n M n=1 1 N y cm = ∑ mn y n M n =1 1 N zcm = ∑ mn zn M n =1 Si se define el vector posición de cada partícula como x cm =

 rn = x n iˆ + y n ˆj + zn kˆ Y el vector posición del centro de masa como  rcm = x cm iˆ + y cm ˆj + zcm kˆ Entonces

1 N ∑ ∆mn x n M n =1 1 N = ∑ ∆mn y n M n =1 1 N = ∑ ∆m n zn M n =1

x cm =

zcm

A medida que N tiende a infinito, los ∆mn tienden a cero, así que: 1 N 1 ∑ ∆mn xn = M ∫ x ⋅ dm M n =1 1 N 1 y cm = lim ∑ ∆mn y n = ∫ y ⋅ dm N →∞ M M n =1 1 N 1 zcm = lim ∑ ∆mn z n = ∫ z ⋅ dm N →∞ M M n =1 xcm = lim

N →∞

¡Obviamente, para calcular el centro de masa de un cuerpo rígido hay que saber integrar! Movimiento del Centro de Masa Consideremos el movimiento de un sistema de N partículas cuyas masas son m1, m2,....., mN, y cuya masa total es M. Supondremos que no entra ni sale masa al sistema, por lo que M permanece constante. De la definición de centro de masa, se tiene que     M ⋅ rcm = m1r1 + m2 r2 +
+ mN rN

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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo

Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R masa de un sistema de partículas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en el centro de masa y todas las fuerzas externas se aplicaran en ese punto.

M⋅

    drcm dr dr dr = m1 1 + m2 2 +
+ mN N dt dt dt dt

Es decir     M ⋅ v cm = m1v 1 + m2v 2 +
+ mN v N   Donde v cm es la velocidad del centro de masa y v n es la velocidad de la n-ésima partícula del sistema Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo M⋅

    dv cm dv dv dv = m1 1 + m2 2 +
+ mN N dt dt dt dt

Es decir        M ⋅ acm = m1a1 + m2a2 +
+ m N aN = F1 + F2 +
+ FN  Donde acm es la aceleración del  centro de masa, an es la aceleración de la n-ésima partícula del sistema y  Fn es la fuerza neta aplicada sobre la n-ésima partícula.

Figura 5) Fuerzas sobre un sistema de partículas

Entre todas esas fuerzas existen algunas fuerzas internas ejercidas por unas partículas sobre las otras. Por el Principio de Acción y Reacción, estas fuerzas internas ocurrirán en parejas iguales y opuestas, por lo que su efecto en el sistema total será nulo, como se muestra en la figura 5. En consecuencia, la suma de fuerzas representa exclusivamente a la suma de fuerzas externas que obran sobre todas las partículas.  El producto de la masa total del sistema por la aceleración acm de su centro de masa es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas que obran sobre el grupo de partículas   M ⋅ acm = Fext Este resultado se conoce como el 2º Principio de Newton para un sistema de partículas. Tal como se aprecia en la figura 6, El centro de

Figura 6) Movimiento del centro de masa de un cuerpo