04 Statistika - Pendugaan Parameter

STATISTIKA OLEH :

WIJAYA email : [email protected]

FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009

IV. PENDUGAAN PARAMETER Populasi

Sampel Sampling

N

n

Rata-rata : μ

Rata-rata : x

Simp. Baku : σ

Simp. Baku : s

Ragam

: σ2

Parameter

Ragam

: s2

Statistik

IV. PENDUGAAN PARAMETER 1. Parameter = sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi 2. Statistik = sembarang nilai yang menjelaskan ciri sampel Misalkan populasi tanaman padi kultivar IR-64 pada luasan 1 hektar dengan jarak tanam 20 cm x 20 cm yaitu sebanyak 250.000 tanaman, diambil sebuah sampel secara acak berukuran n = 500 tanaman dan diperoleh rata-rata jumlah anakannya 15 anakan. ¾ Ukuran Populasi N = 250.000 ¾ Ukuran Sampel n = 500,

Rata-rata x = 15

Berdasarkan rata-rata sampel (statistik) dapat diduga bahwa ratarata jumlah anakan padi kultivar IR-64 pada luasan 1 ha sebanyak 15 anakan (parameter). ¾ Statistik sebagai penduga bagi Parameter yang tidak diketahui. ¾ Rata-rata x = 15 sebagai Penduga Titik

IV. PENDUGAAN PARAMETER ¾ Nilai dugaan dalam bentuk selang lebih tepat digunakan daripada nilai dugaan dalam bentuk dugaan titik. ¾ Nilai dugaan selang : P (a < θ < b ) = 1 – α, artinya peluang θ terletak diantara a dan b sebesar (1 – α). Atau kita yakin sebesar (1 – α) 100% bahwa θ ada dalam selang (a,b). ¾ Selang : (a < θ < b ) disebut Selang Kepercayaan (1 – α) 100%. ¾ (1 – α) disebut Koefisien (Derajat) Kepercayaan (Keyakinan) ¾ Nilai statistik a dan b disebut Batas Kepercayaan.

IV. PENDUGAAN PARAMETER Jika nilai α = 5 % maka (1 – α ) = 95 % = 0,95.

a

x SE

a = x – SE

b SE a = x – SE

SE = Standard Error of Mean (Galat Baku Rata-rata) SE = σx = σ / √ n

1. PENDUGAAN RATA-RATA Penggunaan Sebaran t dan z Apa σ ada?

Ya

Uji - z

Tidak n ≥ 30 ?

Tidak Uji - t

Ya

Uji - z

A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel

P ( –zα/2 <

z

< zα/2 ) = 1 – α

P ( –zα/2 < (x–μ)/σx < zα/2 ) = 1 – α P ( x – zα/2 . σx < μ < x + zα/2 . σx ) = 1 – α ( x – zα/2 . σx ) < μ < ( x + z α/2 . σx ) ( x – zα/2 . σ/√n ) < μ < ( x + z α/2 . σ/√n )

A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel Contoh 1 : Suatu contoh acak 36 mhs tingkat akhir mempunyai IP rata–rata 2,60 dan simpangan baku 0,30. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi rata–rata IP seluruh mhs tingkat akhir tersebut. Jawab : n = 36 ; Rata–rata x = 2,60 dan simp. baku s =0,30 ; α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; zα/2 = z0,025 = 1,96 x – zα/2 . s/√n < μ < x + z α/2 . s/√n 2,60 – (1,96)( 0,30/√36) < μ < 2,60 + (1,96)(0,30/√36) (2,60 – 0,10) < μ < (2,60 + 0,10) 2,50 < μ < 2,70

A. Pendugaan Rata-rata Satu Sampel Contoh 2 : Sebuah lembaga penelitian menghasilkan kedelai Kultivar X. Dari hasil percobaan di 16 lokasi diperoleh rata-rata hasilnya 1,15 t/ha dengan simp. baku 0,20 t/ha. Buatlah selang kepercayaan 95% bagi rata-rata hasil yang sebenarnya. Jawab : n = 16 ; Rata–rata x = 1,15 dan simp. baku s =0,20 ; α = 0,05 ; α/2 = 0,025 ; tα/2(n-1) = t0,025(15) = 2,131 x – tα/2(n-1) . s/√n < μ < x + tα/2(n-1) . s/√n 1,15 – (2,131)( 0,20/√16) < μ < 1,15 + (2,131)(0,20/√16) (1,15 – 0,11) < μ < (1,15 + 0,11) 1,04 < μ < 1,26

B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel ( x1– x2 ) – tα/2(n1+n2-2).SE < (μ1– μ2) < (x1– x2) + tα/2(n1+n2-2).SE Menghitung SE : 1. Jika Ragam Kedua Sampel Sama ( σ12 = σ22 ) : SE = Sg .√ (1/n1 + 1/n2) Sg2 =

(n1-1)S12 + (n2-1)S22 n1 + n2 – 2

2. Jika Ragam Kedua Sampel Tidak Sama ( σ12 ≠ σ22 ) : SE = √ (s12/n1 + s22/n2)

B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel Contoh : Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan Metode Biasa, dan 10 siswa kelas B dengan Metode Terprogram. Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4, kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi selisih rata–rata populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar normal dengan ragam sama Jawab : n1 = 12 ; x1 = 85 ; s1 = 4 ; n2 = 10 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ; α = 10% ; α/2 = 0,05 ; tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725 Sg2 =

(n1-1)S12 + (n2-1)S22

(11)(16) + (9)(25) =

n 1 + n2 – 2

12 + 10 – 2

Sg2 = 20,05 Æ Sg = √ 20,05 = 4,478

B. Pendugaan Rata-rata Dua Sampel Jawab : n1 = 12 ; x1 = 85 ; s1 = 4 ; n2 = 10 ; x2 = 81 ; s2 = 5 ; α = 10% ; α/2 = 0,05 ; tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725 Sg2 = 20,05 Æ Sg = √ 20,05 = 4,478 SE = Sg .√ (1/n1 + 1/n2) = (4,478) .√ (1/12 + 1/10) SE = (4,478).√ (0,083 + 0,100) = (4,478).√ 0,183 SE = ( 4,478) (0,428) = 1,917 ( x1– x2 ) – tα/2(n1+n2-2).SE < (μ1– μ2) < (x1– x2) + tα/2(n1+n2-2).SE ( 85 – 81) – (1,725)(1,917) < μ < ( 85 – 81) + (1,725)(1,917) (4 – 3,307) < μ < ( 4 + 3,307) 0,693 < μ < 7,307

C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan d – tα/2(n-1) . Sd./√ n < μ < d + tα/2(n-1) . Sd./√n d = Rata-rata dari selisih pengamatan kedua sampel Sd = Simp. Baku dari selisih pengamatan kedua sampel Contoh : Pelatihan manajemen agribisnis dilakukan kepada 100 petani andalan agar mampu mengembangkan usahataninya. Setelah beberapa waktu, 6 orang diantara 100 petani andalan tersebut diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan sesudah pelatihan. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rata– rata populasi.

C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan Petani

1

2

3

4

5

6

Sebelum

40

78

49

63

55

33

Juta Rp

Sesudah

58

87

57

72

61

40

Juta Rp

Sebelum

40

78

49

63

55

33

Jumlah

Sesudah

58

87

57

72

61

40

Selisih (d)

18

9

8

9

6

7

57

324

81

64

81

36

49

635

Jawab :

(d2)

C. Pendugaan Rata-rata Pengamatan Berpasangan n = 6 ; ∑ d = 57 ; ∑ d2 = 635 ; α = 5% ; tα/2(n-1) = 2,571 ∑ d2 – ( ∑ d)2 /n Sd2 =

(635) – (572)/6 =

n–1

635 – 541,5 =

6–1

5

Sd2 = 18,7 Æ Sd = √ 18,7 = 4,324 d = 57/6 = 9,5 ; √ 6 = 2,449 ; Sd /√ n = 4,324/2,449 = 1,765 9,5 – (2,571)(1,765) < μ < 9,5 + (2,571)(1,765) 9,5 – (2,571)(3,948) < μ < 9,5 + (2,571)(3,948) 9,5 – 4,538 < μ < 9,5 + 4,538 4,962 < μ < 14,038

D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel n ≥ 100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2. √pq/n n < 100 : p – tα/2(n-1) .√ pq/n < π < p + tα/2(n-1).√pq/n Contoh : Contoh acak 200 orang yang membeli pestisida di sebuah toko pestisida selama satu minggu diperoleh informasi sebanyak 60 orang yang suka membeli insektisida X . Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya yang suka membeli insektisida X di toko tersebut. Jawab : n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ; √ pq/n = √ (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; zα/2 = 1,96

D. Pendugaan Proporsi Satu Sampel n ≥ 100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2. √pq/n n < 100 : p – tα/2(n-1) .√ pq/n < π < p + tα/2(n-1).√pq/n Jawab : n = 200 ; p = 60/200 = 0,3 ; q = 0,7 ; √ pq/n = √ (0,3)(0,7)/200 = 0,032 ; zα/2 = 1,96 0,3 – 1,96(0,032) < π < 0,3 + 1,96(0,032) 0,3 – 0,063 < π < 0,3 + 0,063 0,237 < π < 0,363 23,7 % < π < 36,3 %

E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel (p1 – p2) – zα/2 .SE < (π1 – π2) < (p1 – p2) + zα/2.SE SE = √ (p1q1/n1) + (p2q2/n2) Contoh : Suatu studi dilakukan untuk menduga proporsi penduduk suatu kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200 diantara 2000 penduduk kota dan 2400 diantara 5000 penduduk di sekitar kota yang diwawancarai menyetujui pembangunan tersbut, buat selang kepercayaan 90% bagi proporsi sebenarnya yang setuju. Jawab : n1 = 2000 ; p1 = 1200/2000 = 0,60 ; q1 = 0,40 ; n2 = 5000 ; p2 = 2400/5000 = 0,48 ; q2 = 0,52 SE = √ (p1q1/n1 + p2q2/n2) = 0,013 ; zα/2 = 1,96

E. Pendugaan Proporsi Dua Sampel Jawab : n1 = 2000 ; p1 = 1200/2000 = 0,60 ; q1 = 0,40 ; n2 = 5000 ; p2 = 2400/5000 = 0,48 ; q2 = 0,52 SE = √ (p1q1/n1 + p2q2/n2) = 0,013 ; zα/2 = 1,96 (0,60 – 0,48) – 1,96(0,013) < (π1 – π2) < (0,60 – 0,48) + 1,96(0,013) (0,12 – 0,025) < (π1 – π2) < (0,12 – 0,025) 0,095 < (π1 – π2) < 0,145