04 Predav 4 - Slijeg Konsol 1001

1 5. STIŠLJIVOST TLA 5.1. MODULI DEFORMABILNOSTI TLA Za geotehničke zahvate posebno je važno prognozirati slijeganja objekta ili njegovog dijela. Tlo doživljava deformacije kada se promijene ili uvjeti opterećenja ili svojstva tla, ili oboje. Pod djelovanjem dodatnih naprezanja skelet tla doživljava deformaciju koja je nužna da se postigne ravnotežno stanje s novim porozitetom (gustoćom) tla. Tlo može pod djelovanjem stalnog opterećenja kroz dulje vrijeme doživljavati slijeganja usljed puzanja. Stišljivost tla ovisi o mnogo čimbenika od kojih su najvažniji postojeće stanje naprezanja, promjena stanja naprezanja (dodatna naprezanja) i povijest naprezanja tla. Tlo je nelinearan i anizotropan materijal. Na slici 5.1. prikazani su različiti načini deformiranja tla usljed djelovanja naprezanja. Sva tri slučaja naprezanja i uvjeta deformacije (općenito troosno naprezanje, jednoosno naprezanje te izotropno volumsko naprezanje) izazivaju promjenu volumena i stišljivost tla. σ 1, ε 1

ε1 =

1 (σ 1 − υ ⋅ (σ 2 + σ 3 )) E

a) općenito troosno naprezanje σ2

b) jednoosno naprezanje

σ E= Z εZ

σ3

σz εz

, YOUNGOV MODUL

c) izotropno tlačno naprezanje

B=

σ0 3ε Z

, VOLUMSKI MODUL

σ0

slika 5.1. Različita naprezanja u tlu i njima izazvane deformacije

2 Moguća su i druga naprezanja i drugi uvjeti deformacije. U geotehničkom inženjerstvu je posebno važno simulirati uvjete naprezanja i deformacija koji djeluju u tlu na uzorcima u laboratoriju te na njima odrediti relevantne deformacijske karakteristike tla, pomoću kojih će se računati npr. slijeganja objekta. Općenito su sva tri modula deformacija koja se iskazuju na slici 5.1. različita po vrijednosti. Dakle, nije moguće precizno odrediti vertikalnu deformaciju tla pod jednoosnim opterećenjem (modul E) korištenjem modula volumske deformacije (B) kojem odgovara drugačije naponsko stanje. 5.2. POKUS U EDOMETRU Za proračun slijeganja u tlu koristi se poseban modul tla - modul vertikalne deformacijekoji se određuje u uređaju koji se zove edometar (slika 5.2.). Tlo je u edometru u obliku plitkog cilindra (visina je najmanje 2.5 puta manja od promjera, obično je promjer oko 7.5 cm, pa je visina uzorka oko 2 cm) unutar nedeformabilnog prstena. Izloženo je djelovanju vertikalnog opterećenja bez mogućnosti bočne deformacije. Porozne pločice ispod i iznad uzorka služe da se omogući komunikacija s vodom u uzorku. pločice σz

porozne

M=

∆σ Z

εZ

εz ,

EDOMETARSKI MODUL slika 5.2. Pokus u edometru za određivanje stišljivosti tla. Uvjeti provedbe pokusa su slijedeći: -

opterećenje se nanosi inkrementalno (svaki naredni inkrement je dvostruko veći od prethodnog) za svako opterećenje čeka se smirenje deformacije (24 h) uzorak se ispituje bez potapanja ili uz potapanje vodom prati se deformacija u vremenu (za svaki ili samo za neke inkremente opterećenja) σ 'p

∆ σ'

log σ' σ'p = NAPON PREKONSOLIDACIJE 1

∆e

Cs

1

Cc e

slika 5.3. Karakterističan dijagram za ispitivanje stišljivosti tla u edometru

3

Rezultat pokusa u edometru prikazuje se u dijagramu vertikalno naprezanje-vertikalna deformacija (ili koeficijent pora), najčešće u polulogaritamskom mjerilu: log σ' - e ili dijagram log σ' - ∆h/h0 (= log σ' - εv). Naglašavamo da su naprezanja u ovom pokusu vertikalna i efektivna. Treba primijetiti da krivulja naprezanje-deformacija ima različite nagibe za različita naprezanja. Nakon malih deformacija do naprezanja σ'p (tzv. napon ili naprezanje prekonsolidacije - vidi dalje) prirast deformacija s naprezanjem se povećava nakon sto vertikalno naprezanje premaši σ'p. Ako se tlo u nekom trenutku rastereti i ponovo optereti do naprezanja na kojem je počelo rasterećenje deformacije su opet male, bez obzira što su naprezanja veća od naprezanja prekonsolidacije, ali su u ciklusu ponovnog opterećenja. Time je, zapravo, izvršena nova prekonsolidacija uzorka. Nagib krivulje pri prvom (izvornom) opterećenju za naprezanja veća od naprezanja prekonsolidacije može se shvatiti kao konstantan i iskazati nagibom zamjenjujućeg pravca u iznosu Cc. Za ponovljeno opterećenje može se uvesti drugi zamjenjujući pravac čiji je nagib Cs. Tako se mogu definirati sljedeći parametri: - koeficijent stišljivosti pri osnovnom opterećenju

CC =

∆e log σ 1 − log σ 2

(5.1.)

(deformacija na kraku prvog opterećenja: εi,i+1=Cc/(1+ei)log(σi+1/σi) ) - koeficijent stišljivosti pri ponovljenom opterećenju (i rasterećenju)

CS =

∆e log σ 1 − log σ 2

(5.2.)

(deformacija na kraku ponovljenog opterećenja: εi,i+1=Cs/(1+ei)log(σi+1/σi) ) - koeficijent (kompresije) - stišljivosti za linearnu krivulju (nagib σ-e krivulje):

av =

∆e ∆σ v

(5.3.)

- koeficijent volumske stišljivosti (promjene modula)

mv =

∆ε v ∆σ v

(5.4.)

- modul vertikalne deformacije (ili edometarski modul)

Mv =

∆σ v ∆ε v

(5.5.)

Neki autori zagovaraju prikaz rezultata ispitivanja u edometru u dvostrukom linearnom mjerilu kao σ-e, umjesto logσ-e. I izrazi (5.1.) i (5.3.) potječu iz takvih različitih pristupa. Na temelju modela tla (volumen tla čine pore i čestice) može se pokazati da je u edometru promjena visine analogna promjeni volumena (nema bočne deformacije pa je površina uzorka konstantna), odnosno da je relativna vertikalna deformacija jednaka relativnoj promjeni volumena (εv=dh/h0=dVp/V0=dVp/(Vp+Vc)=dVp/(Vc(e0+1))=de/(1+e0); pa se može pisati jednakost

4

εv =

∆e 1 + e0

(5.6.)

gdje je e0 = početni porozitet (pri kojem je uzorak ugrađen u edometarski prsten; iz ovog razloga se za sve izraze za deformaciju preko visine uzorka kao početna visina koristi h0 - visina ugrađenog uzorka prije opeterećenja). Pomoću te jednakosti mogu se svi izrazi (5.1. do 5.5.) pisati u znaku promjene koeficijenta pora ili relativne vertiklane deformacije. Krvulju na slici 5.3. moguće je, dakle, crtati s vertikalnom osi za koeficijent pora ili relativnu deformaciju. Modul vertikalne deformacije nelinearno se mijenja, ovisno o položaju naprezanja σ' na koji se primjenjuje inkrement promjene ∆σ' i o veličini ∆σ'. Deformacije na krivulji povratnog i ponovljenog opterećenja su elastične, a na krivulji osnovnog opterećenja su plastične i elastične. Pokus se može izvoditi i tako da se tlo stalno stišće uz kontrolu porasta pornog tlaka u uzorku, uz konstantnu ili promjenjivu vrzinu vertikalne deformacije (tzv. pokus uz konstantnu brzinu deformacije ili uz konstantan hidraulički gradijent). Obično se porast pornog tlaka na dnu uzorka ograniči na 5% ukupnog vertikalnog naprezanja (gornja strana uzorka je slobodno drenirajuća). Napon prekonsolidacije σ’p na slici 5.3. predstavlja napon na kojem dolazi do popuštanja tla: nakon njega tlo je stišljivije. To je vrlo važan parametra tla i označava NAJVEĆI NAPON U POVIJESTI TLA NA KOJEM JE TLO KONSOLIDIRANO (tj. kojemu je tlo bilo izloženo kroz dulje vrijeme da mu se prilagodi - može se shvatiti i kao naprezanje prethodne konsolidacije). Ovaj napon (naprezanje) određuje se posebnim postupcima na temelju poznate krivulje (slika 5.3.). Jedan od najčešćih je grafički postupak prema Casagrande-u (slika 5.4.): na mjestu najveće zakrivljenosti povuci tangentu i horizontalu i nacrtaj raspolovnicu takvog kuta; na sjecištu tangente krivulje za veća naprezanja i raspolovnice kuta je naprezanje prekonsolidacije. Za naprezanja manja od naprezanja prekonsolidacije deformacije su manje nego za naprezanja veća od naprezanja prekonsolidacije, za isti prirast dodatnog naprezanja. Može se očekivati razlika u deformaciji od 5-10 puta, ovisno o tipu tla i karakteru prekonsolidacije. Pokus u edometru uvijek se izvodi tako da se napravi barem jedno rasterećenje, a ono se radi oko vertikalnog naprezanja in situ (koje odgovara uvjetima u tlu iz kojeg je izvađen uzorak tla). Važno je napomenuti da je presudan utjecaj neporemećenosti uzorka na rezultat pokusa. Oštar prelaz sa manje na više stišljiv dio uzorka pojavi se samo kod jako kvalitetnog-neporemećenog uzorka. Ukoliko se veze među česticama postupkom vađenja, transportiranja ili pripreme uzorka za ispitivanje poremete (npr. uzorak je manje ili više pregnječen) tada se ne pokazuje efekt prekonsolidacije. Mehanička prekonsolidacija znači da je nekad tlo imalo veći nadsloj pod kojim je doživjelo deformaciju. Erozijom toga nadsloja (pokretima ledenjaka ili djelovanjem vode) tlo je došlo pod djelovanje manjeg vertikalnog naprezanja, ali uvjetno rečeno "prednapeto" i njegov skelet će naprezanja do veličine prekonsolidacijskog podnositi uz male deformacije. Efekt prekonsolidacije izazivaju i kemijske promjene u uzorku, a ne samo mehaničko djelovanje naprezanja (npr. izmjena soli, stalna značajna promjena nivoa podzemne vode i ciklusa sušenja i vlaženja). Bez obzira na uzrok prekonsolidacije njen tretman je jednak u ocjeni ponašanja tla.

5 log σ'v

σp

εv

slika 5.5. Konstrukcija napona prekonsolidacije prema Casagrande-u Treba napomenuti da je u istom tlu na različitim dubinama naprezanje prekonsolidacije različito (jer se radi o djelovanju nadsloja različite visine), pa se za točnu interpretaciju promjene naprezanja prekonsolidacije s dubinom treba ispitati više uzoraka s različite dubine u istom tlu. Kada bi prekonsolidacija bila posljedica samo mehaničkog djelovanja nadsloja tla, tada bi linije raspodjele geostatskog i naprezanja prekonsolidacije po dubini tla bile paralelne. Realno se naprezanje prekonsolidacije smanjuje s dubinom (naglašenije je pri površini tla) zbog djelovanja kemijskih i drugih promjena na tlo. Posebno je važno ustanoviti odnos geostatskog vertikalnog efektivnog naprezanja u tlu i pripadajućeg naprezanja prekonsolidacije. Taj se odnos zove koeficijent prekonsolidacije i definira se kao

OCR =

σ 'vo σ 'p

(5.2.)

Razlikujemo slijedeće kategorije tla u odnosu na stupanj prekonsolidacije: OCR = 1 1< OCR< 4 COR > 4

, normalno prekonsolidirana tla , slabo prekonsolidirana tla , jako prekonsolidirana tla

Za neke ili sve inkremente opterećenja prati se slijeganje u vremenu, pa se crta dijagram kao onaj na slici 5.1. Takav dijagram pokazuje tri zone deformacije: elastičnu-koja se dešava brzo, deformaciju usljed primarne konsolidacije koja se javlja kao posljedica istjecanja vode iz pora tla, te deformaciju od puzanja - u fazi sekundarne konsolidacije. Iz mjerene krivulje se konstrukcijom određuju granice između ove tri deformacije. Prvi dio krivulje je oblika parabole, pa se promjena deformacije od vremena t do 4xt doda na deformaciju za vrijeme t (malo vrijeme u početku mjerenja pomaka), i time se dobije zona elastiče deformacije (između tako određenog koef. pora i početne vrijednosti koef. pora). Kada se u točki infleksije krivulje povuče tangenta i nađe njeno sjecište s tangentom na donji dio krivulje (kojo izgleda kao pravac) dobije se točka do koje vrijedi primarna konsolidacija a dalje sekundarna konsolidacija.

6

Poslije će se pokazati da se slijeganje tla računa kao zbroj sve tri navedene komponente deforamacije prepoznate u dijagramu na slici 5.1.

t

4t

log t

e0 inicijalno (elastično) slijeganje de de primarna konsolidacija

sekundarna konsolidacije

slika 5.1. Vremenski tjek slijeganja pri jednom inkrementu naprezanja u edometru Modul stišljivosti tla može se odrediti i na terenu, posebnim pokusima kao što su: ispitivanje dilatometrom Marchetti, probnom pločom ili standardnim penetracijskim pokusom i statičkim penetracijskim pokusom. 5.3. SLIJEGANJE TLA Poznavanjem raspodjele dodatnih naprezanja u tlu (nelinearna raspodjela naprezanja od objekta po dubini tla ispod njega) i poznavanjem modula vertikalne deformacije (to je ovdje edometarski modul) moguće je izračunati slijeganje objekta kao zbroj deformacija uvjetnih slojeva tla formiranih tako da na njima vladaju prosječna dodatna naprezanja i da je tlo u njima konstantnog (prosječnog) mudula stišljivosti (određenog u edometru ili na terenu). To znači da se izbor uzoraka za ispitivanja u laboratoriju ili dubina za ispitivanje na terenu mora prilagoditi građi tla i karakteru raspodjele dodatnih naprezanja u tlu. Ako je tlo homogeno (građeno od jedne vrste tla) tada je jedan uzorak tla dovoljan da se u edometru ustanovi promjena modula stišljivosti za različita geostatska naprezanja i odgovarajuće dodatno naprezanje u tlu od objekta. Ako je tlo sastavljeno od više slojeva različitih karakteristika (npr. glina i pijesak), tada će biti potrebno napraviti više pokusa u edometru za različite vrste tla. I tada će se voditi računa o veličini dodatnih naprezanja u tlu na dubini pojedine vrste tla iz koje je uzet uzorak, pa će se tome prilagoditi inkrementi opterećenja u edometru. Ukupna slijeganja računaju se kao zbroj sve tri komponente: elastičnih, od primarne konsolidacije i od sekundarne konsolidacije. Relativna deformacija tla smanjuje se s dubinom jer je tlo kruće u većoj dubini a dodatna naprezanja opadaju s dubinom.

7 Najčešće se od svih deformacija tla u geomehanici traži procjena veličine slijeganja tla i vremena potrebnog da se to slijeganje obavi. Razlikujemo: 1) ukupno slijeganje (konačni iznos slijeganja) i 2) diferencijalno slijeganje (razlika ukupnog slijeganja između dvije točke na nekoj udaljenosti, dovodi do umanjenja funkcionalnosti građevine, i/ili do dodatnih naprezanja u konstrukciji). Prema objašnjenju prirode deformacije tla pod djelovanjem vertikalnog opterećenja (slika 5.1.) može se pisati da je UKUPNO SLIJEGANJE = INICIJALNO SLIJEGANJE (elastične promjene volumena prije istjecanja vode) + SLIJEGANJE OD PRIMARNE KONSOLIDACIJE (plastične deformacije usljed smanjenja poroziteta po istjecanju vode) + SLIJEGANJE OD SEKUNDARNE KONSOLIDACIJE (plastične deformacije koje su rezultat posmičnih naprezanja – puzanje) Koherentna tla pokazuju sva tri tipa slijeganja a nekoherentna tla: samo inicijalno slijeganje 5.3.1. Slijeganje za koherenta tla Slijeganje može biti računato kao trodimenzionalno (što se rijetko radi u uobičajenoj praksi) ili kao jednodimenzionalno, pri čemu se kao najčešći model koristi model edometra.

slika 5.2. Deformacije tla ispod temelja i ispod širokog nasipa na tankom stišljivom tlu; edometar dobro odgovara drugom slučaju, a nedovoljno dobro opisuje slijeganje za prvi slučaj Ukupno slijeganje građevine jednako je slijeganju svih slojeva tla pod utjecajem dodatnih naprezanja (zbroju slijeganja svakog pojedinog sloja):

S = Σρ k

(5.3.)

Trenutno (ili inicijalno, ili elastično) slijeganje može se za slučaj opterećenja pravokutne plohe računati po sljedećem izrazu:

8

ρi =

pB(1 − υ 2 ) N p (5.4.)

E

gdje je : B=širina opterećene plohe, p=jednoliko opterećenje, E = modul elastičnosti (iz CIU pokusa - konsolidirano nedrenirano smicanje pri troosnom stanju naprezanja), Np=utjecajni faktor - ovisi o dimenzijama temelja (iznpsi od 0.6-1.2), ν=Poissonov koeficijent (=0.5 za zasićeno tlo)

Tablica 5.1. Primijer vrijednosti faktora Np za razne autore i oblik temelja L/B = duljina/širina temelja

Np : Terzaghi, 1943fleksibilan temelj

krug 1 2 3 4 5 10

/ 0.56 0.76 0.88 0.96 1 /

Np : Skempton, 1951pravokutni temelj, poluelastično tlo 0.73 0.82 1 / / 1.22 1.26

Slijeganje od primarne konsolidacije računa se na temelju svojstava utvrđenih u edometru tjekom primarne konsolidacije: uzorak u edometru prezentira sloj, pa se modul stišljivosti iz edometra Mv uzima za modul vertikalne deformacije sloja, ali se deformacija računa za poznatu raspodjelu dodatnog naprezanja u sloju (npr. prosječno dodatno naprezanje ∆σv u sloju, ako razlike po visini sloja nisu prevelike) ali za debljinu sloja H:

ρc =

∆σ H Mv

(5.5.)

Na edometarskom dijagramu odredi se geološko naprezanje i na njega doda dodatno naprezanje, pa se odredi modul za porast opterećenja od geološkog na geološko+dodatno, ili se računa putem koeficijenta Cc:

ρc =

Cc σ + ∆σ log 10 H 1 + e0 σ

(5.6.)

Slijeganje od sekundarne konsolidacije računa se preko indeksa Cα određenog u pokusu u edometru (nagib krivulje u zoni sekundarne konsolidacije, pa je

ρ s = Cα H log 10

t tp

t=vrijeme za koje se računa sekundarno slijeganje (≥ 1 god). tp=vrijeme primarne konsolidacije sloja H

(5.7.)

9 Može se koristiti i izraz (Mesri,1976) Cα = α Cc, za određivanje koeficijenta sekundarne konsolidacije, a za anorganske gline vrijedi α = 0.04±0.01 Ukupno slijeganje (uz zanemarenje sekundarnog slijeganja) prema iskustvu može se usvojiti preko proračuna temeljenog na parametrima iz pokusa u edometru kao: za meke gline: ukupno slijeganje = edometarsko slijeganje (jednodimenzionalno sl.) inicijalno slijeganje = 0.4 edom.slijeg. prim. konsol. slij. = 0.6 edometarskog slijeganja (sekundarna slijeganja su oko 10-20% od konsol.slijeganja) za tvrde gline: ukupno slijeganje = 1.1 edometarskog slijeganja inicijalno slijeg. = 0.1 edometarskog slijeganja prim. konsol. slij.= edometarsko slijeganje 5.3.2. Slijeganje za nekoherentna tla Slijeganje nekoherentnog tla je inicijalno (trenutno). Radi toga što se ne mogu ispitati neporemećeni uzorci nekoherentnog tla u laboratoriju ono se računa pomoću rezultata terenskih pokusa (vidi u daljim poglavljima o tim pokusima): broja udaraca N (u pokusu SPT) ili pokusu statičke penetracije: Koristi se veza: qc=400 N, kPa , qc = otpor šiljka u pokusu statičke penetracije

Cs = 1.5

qc N =6 σ '0 σ '0

,

(5.8.)

σ’0=efektivni vert.napon na dubini ispitivanja SPT (N)

ρi =

σ ' + ∆σ H ln 1 CS σ '1

(5.9.)

σ’1=efektivno vertikalno naprezanje na sredini sloja visine H 5.3.3. Utjecaj krutosti temelja Prikazani način proračuna slijeganja provodi se za fleksibilni temelj ispod kojeg je naprezanje u tlu jednoliko ali je slijeganje nejednoliko. Kod krutog temelja raspodjela naprezanja u kontaktu s tlom nije jednolika, a slijeganja su jednaka u različitim točkama temeljne plohe. Kruti temelj ima jednako slijeganje kao i fleksibilni temelj u karakterističnim točkama (sve njegove točke se jednako sliježu). Na slici 5.3. prikazan je položaj karakteristične točke kod pravokutnog temelja.

10

L 0.13 B B

0.13 L 0.13 L

slika 5.3. Položaj karakteristične točke krutog temelja To znači da će se slijeganje krutog temelja računati za raspodjelu naprezanja u točki određenoj na slici 5.3. za koju se (npr. po Steinbrenneru) odrede dodatna naprezanja i uz njih se sa važećim modulima stišljivosti računaju slijeganja. Više će se govoriti o slijeganju kod razmatranja temeljenja objekata.

11

6. KONSOLIDACIJA TLA Izgradnjom objekta u tlu se javljaju dodatna naprezanja u ograničenoj zoni tla (slika 6.1.). Usljed povećanja pornog tlaka u porama tla pod djelovanjem dodatnog naprezanja, a kao posljedica nemogućnosti da voda trenutno izađe iz pora tla u zoni djelovanja dodatnog naprezanja, povećava se ukupni potencijal vode u toj zoni u odnosu na okolnu zonu pa nastaje tečenje. Istjecanje vode iz pora je vremenski proces koji ovisi o svojstvima tla i uvjetima tečenja. Ono izaziva smanjenje tlakova vode u porama i smanjenje volumena pora tako da se deformira i skelet tla i tlo doživljava deformaciju. Taj proces, poznat kao konsolidacija, može se objasniti na modelu konsolidacije, slika 6.2.

∆u

slika 6.1. Dodatna naprezanja po dubini izazivaju porats pornog tlaka u ograničenoj zoni ispod objekta iz koje voda usljed tako povećanog ukupnog potencijala teče u okolnu zonu manjeg ukupnog potencijala 6.1. HIDRAULIČKI MODEL KONSOLIDACIJE TLA Zamislimo zatvorenu posudu s vodom ispod poklopca i oprugu koja se oslanja na dno posude i na poklopac s donje strane. Na poklopce postoji mogućnost ispustiti vodu otvaranjem ventila (slika 6.2.). Pod djelovanjem opterećenja na poklopac, a kada je ventil zatvoren, svo opterećenje preuzima voda, opruga se ne tlači. Ako se zatim otvori ventil voda će istjecati i opruga će se slijegati (preuzimati dio opterećenja na sebe). Taj model odgovara pojavi u tlu, pri čemu je krutost opruge krutost tla (modul stišljivosti tla). σ

- djeluje optrećenje σ - opruga je ispod poklopca u vodi - ventil služi da se ispusti voda iz posude

-

ako je ventil zatvoren opruga se pod opterećenjem ne sliježe jer svo opterećenje preuzima voda tek kada se dopusti da voda istječe opruga se sliježe brzinu istjecanja vode (slijeganja opruge) regulira otvor ventila otvor ventila oponaša propusnost tla opruga predstavlja skelet tla

σ , =σ −u t=o, t→∞

u=σ , σ’=0 u→ 0 , σ ’ → σ

slika 6.2. Hidraulički model konsolidacije tla

12

Dakle, pojava povećanog pornog tlaka (u) u tlu izaziva tečenje. Proces smanjenja volumena tla u vremenu kao posljedica istjecanja vode (smanjenja pozitivnih pornih tlakova) zove se konsolidacija. Matematička teorija kojom se opisuje taj proces zove se TEORIJA KONSOLIDACIJE.

6.2. TEORIJA KONSOLIDACIJE Promjena količine vode pri protjecanju kroz elementarni volumen tla (kao što je obrazloženo u točki 3.) jednaka je promjeni poroziteta tla u vremenu. Moguće je uspostaviti matematičku vezu između promjene pornog tlaka (kao jedinog promjenjivog dijela potencijala u vremenu) i promjene volumena tla. Neka je na slici 5.8. zadan element tla pod tečenjem vode, prema jednadžbi (6.1.).

∂2h ∂2h ∂2h ∆q = (k z 2 + k y 2 + k x 2 )dxdydz ∂z ∂y ∂x

(6.1.)

vrtikalna komponenta toka

z x dz y dy dx slika 6.3. Element tla kroz koji teče voda Budući da je promjena tečenja (ulaz-izlaz) jednaka promjeni volumena vode u porama može se pisati

VV = V p⋅ S = n ⋅ V ⋅ S = ∆q =

e dxdydz ⋅ S 1+ e

(6.2.)

∂Vv ∂  S ⋅ e  =  dxdydz  ∂t ∂t  1 + e 

Volumen čvrstih čestica (Vc=V-Vp=V(1-e/(1+e))=V/(1+e)) je konstantan dio gornjeg izraza i može se izvući ispred zagrade pa je

∆q =

∂Vv dxdydz ∂ (S ⋅ e ) = ∂t 1 + e ∂t

(6.3.)

13

Konačno za dvodimenzionalno tečenje vrijedi izraz

∂ 2h ∂ 2h ∂S ∂e 1 +S ) (k z 2 + k x 2 ) = (e ∂z ∂x 1 + e ∂t ∂t

(6.4.)

gdje je S=stupanj saturacije, e=koeficijent pora, k=koeficijent vodopropusnosti, h=ukupni potencijal, t=vrijeme, x,z=koordinate. S obzirom na karakter parametara e i S moguća su četiri stanja: 1. 2. 3. 4.

e je konstantno i S je konstantno (stacionarno tečenje) e je promjenjivo, S je konstantno (nestacionarno tečenje) e je konstantno a S je promjenjljivo (nestacionarno tečenje) e i S je promjenjivo (nestacionarno tečenje)

Na temelju gore izvedenih izraza može se zaključiti da je proces konsolidacije kontroliran :
jednadžbom ravnoteže elementa tla
naponsko-deformacijskim svojstvima skeleta tla (model “opruge”)
jednadžbom kontinuiteta za vodu u tlu 6.3. JEDNODIMENZIONALNA KONSOLIDACIJA Neka vrijedi uvjet S=1 (tlo je potpuno zasićeno vodom) i promatramo samo vertikalni tok vode u tlu, tada je uz: σv=γz + opterećenje na površini (uvjet ravnoteže) i uz av=-∂e/∂σ’

(koeficijent kompresije/stišljivosti)

∂ 2h 1 ∂e k 2 = ∂z 1 + e ∂t Ako se za potencijal h uvede

(jednadžba kontinuiteta)

h = hg + h p = hg +

(6.5.)

u

γv

(u je porast pornog tlaka od vanjskog pterećenja) tada se u diferencijalnoj jednadžbi umjesto h pojavljuje samo u=h⋅γv (hg je konstanto u vremenu), pa uz supstituciju za av vrijedi:

k (1 + e) ∂ 2 h ∂σ ' = − av ∂z 2 ∂t

(6.6.)

k (1 + e) ∂ 2u ∂σ ' =− 2 ∂t γ v ⋅ av ∂z Ako se uvede oznaka za koeficijent u gornjoj jednadžbi i nazove koeficijent konsolidacije tada je (uz 5.3. , 5.5. i 5.6.)

cv =

[

k (1 + e) k ⋅ Mv = ..... m 2 / s γ v ⋅ av γv

]

(6.7.)

14 Konačno se uvrštenjem (6.7.) u (6.6.) dobije JEDNADŽBA JEDNODIMENZIONALNE KONSOLIDACIJE kako ju je definirao Terzaghi 1925. (početak suvremene mehanike tla)

∂ 2u ∂u ∂σ cv 2 = − ∂z ∂t ∂t

(6.8.)

Ako se totalni napon ne mijenja u vremenu (što je u pravilu slučaj) tada se može pisati:

∂ 2u ∂u cv 2 = ∂z ∂t

(6.9.)

Uz ove izraze vrijede slijedeći komentari:
cv nije konstantan (promjenom e u vremenu mijenja se i k i av, no smatra se da se za inženjerske potrebe može usvojiti da je ukupna promjena cv zanemariva jer se smanjenjem e smanjuje k ali i av)
gornja jednadžba ne uzima u obzir da se u realnom tlu promjenom poroziteta mijenjaju i njegove elastične konstante (modul elastičnosti i Poissonov koeficijent); takva rješenja postoje
jednadžba je linearna , što znači da vrijedi superpozicija
njeno rješenje ovisi o rubnim uvjetima Rješenje jednadžbe (6.9.) je vrijednost pornog tlaka u na nekoj dubini z u nekom trenutku t, i dato je izrazom

uz =

2ui  M ⋅ z  − M 2T  sin e H   m=0

m =∞

∑M

(6.10.)

gdje je: m = pozitivni cijeli broj (ovisi o obliku početnog pornog tlaka - vidi sliku .....) ui = početni porni tlak M = 1/2 π (2 m + 1) T = cv t / H2 = vremenski faktor H = najdulji put dreniranja vode ∆σ1=ui

∆σ1=ui

u

∆σ’1

H t=∞

H

ti t0 t1

∆ut ∆σt slika 6.4. Razvoj pornih tlakova tjekom konsolidacije za dvostruko drenirano tlo s jednolikim početnim pornim tlakovima po dubini

15 Za slučaj dvostranog dreniranja tla uz konstantan početni porni tlak po dubini (m=1) na slici 6.4. prikazan je razvoj pornih tlakova u vremenu po dubini uzorka tla. Linije koje spajaju točke jeednakog pornog tlaka u istom trenutku zovu se izohrone. U svakom trenutku na bilo kojoj dubini uzorka izohronama se može opisati raspodjela pornih tlakova i efektivnih tlakova u tlu, budući da je njihov zbroj totalni tlak (po principu efektivnih naprezanja). U svakom trenutku t vrijedi ∆σ1 = u + ∆σ’1 Za dvostrano dreniranje vrijede slijedeći rubni uvjeti:
t=0, u=ui=∆σ1
z=0, u=0
z=2H, u=0 Ako se porni tlakovi u nekom trenutku t usporede s pornim tlakovima u početnom trenutku to na istoj dubini i na istom mjestu može se govoriti o stupnju konsolidacije (opadanja pornih tlakova i nastanka deformacije zbog djelovanja efektivnih naprezanja), pa se definira izraz za stupanj prekonsolidacije

Uz =

ui − ut ui

(6.11.)

Raspodjela Uz u prostoru i vremenu može se dobiti pomoću izraza m =∞

2 m =0 M

U z = 1− ∑

M ⋅ z  − M 2T   sin e H  

(6.12.)

Umjesto da se govori o vrijednsoti Uz u nekoj točki u vremenu, može se govoriti o prosječnom Uz u tlu u nekom vremenu. Na slici 6.4. površina ispod izohrone određuje površinu izvan nje a to je zona efektivnih naprezanja. Odnos te površine zahvaćene pornim tlakovima i početne površine pornih tlakova (koja je jednaka u ovom slučaju pravokutniku pod djelovanjem totalnog naprezanja) daje stupanj promjene pornih tlakova u uzorku, dakle prosječni porni tlak po visini uzorka tla u nekom vremenu u odnosu na početni tlak. Slika pornih tlakova komplementarna je slici efektivnih naprezanja u nekom trenutku. Razvoj i djelovanje efektivnih naprezanja izaziva slijeganje tla. To ujedno znači da se može izračunati i prosječno efektivno naprezanje, pomoću kojega se može računati slijeganje u tom trenutku. To slijeganje se može računati i kao dio konačnog slijeganja (koje se računa za konačna efektivna naprezanja uz utvrđene module stišljivosti) preko PROSJEČNOG STUPNJA KONSOLIDACIJE = U, koji izražava odnos promatranog i početnog pornog tlaka kao prosjek po visini uzorka. Za takav U vrijedi matematički izraz m =∞

2 − M 2T ⋅e 2 m =0 M

U = 1− ∑

(6.13.)

Na slici 6.5. prikazan je dijagram za određivanje vremenskog faktora T za različite slučajeve početnih pornih tlakova. Slijeganje u nekom vremenu odnosi se prema konačnom slijeganju kao stupanj konsolidacije.

16

slika 6.5. Dijagram vrijednosti U-T za razne početne vrijednosti pornog tlaka Najveća duljina dreniranja H određuje se za uvjete dreniranja, kao na slici 6.6. propusno

propusno

H H H

propusno

nepropusno

slika 6.6. Najveća duljina dreniranja za slučaj dvostranog i jednostranog dreniranja

6.4. ODREĐIVANJE VRIJEDNOSTI KOEFICIJENTA KONSOLIDACIJE cv Koeficijent konsolidacije cv određuje se na temelju pokusa u edometru, rjeđe preko izraza (6.7.) za poznati koeficijent propusnosti i modul stišljivosti, a češće intepretacijom vremenskog tijeka slijeganja u nekom inkrementu opterećenja (slika 6.7.). Korištenjem veze T = cv t / H2 može se izračunati cv kao

TH 2 cv = t

(6.14.)

T = vremenski faktor (vezan za tip dreniranja, početnu raspodjelu pornih tlakova i stupanj konsolidacije). Postupak je da se odredi neko vrijeme t za koje je poznat T i da se rpeko (6.14.) izračuna koeficijent konsolidacije.

17 To se obično radi za stupanj konsolidacije od 50% ili 90% kojemu odgovara vrijeme t50 odnosno t90 pa je

T50 H 2 T90 H 2 cv = ......ili........cv = t50 t90

(6.15.)

Pomoću dijagrama na slici 6.7. odrede se potrebna vremena za računanje cv. T50, t50 t

4t

t50

log t

e0 inicijalno (elastično) slijeganje de de

b primarna konsolidacija b

sekundarna konsolidacije

√T

T90, t90

Cα

√t √t90

U 0.2

E 0.15 x

0.4 0.6 x 0.8 1.0 0.798 visina uzorka

1.15 x 0.798 ( U=√ √(4T/π π)) slika 6.7. Dijagrami za računanje t50 i t90 za stupanj konsolidacije

18 Za bilo koji vremenski tjek deformacije nekog inkrementa opterećenja u edometru odredi se deformacija (slijeganje) za primarnu konsolidaciju. Vrijeme koje odgovara polovini slijeganja primarne konsolidacije zove se t50, pa se uz T50=0.197 (po tablici na slici 6.6. odgovara za U=0.5) i uz H=h/2 odredi cv iz (6.15.). Pri tome je h prosječna visina uzorka tjekom inkrementa opterećnja za koji je crtana krivulja vremenskog tjeka slijeganja. Moguće je koristiti i drugi pristup (prema Taylor, 1948.). Teoretska krivulja U-T1/2 ima svojstvo da je do oko U=0.6 (60%) pravac (vidi dijagram dolje lijevo na slici 6.7.), te da je krivulja na U=90% ima oko 15% veću ordinatu nego zamjenjujući pravac. Tim svojstvom koristi se u analizi mjerenog vremena i visine uzorka iz edometra. Kao na slici 6.7.-dolje desno, narta se promjena visine uzorka u vremenu (t1/2), pa se odredi početna točka E kao sjecište zamjenjujućeg pravca za nagib krivulje i vertikalne osi. Iz te točke (E) povuče se pravac čiji je nagib 1,15 nagiba zamjenjujućeg pravca mjerene krivulje. On siječe mjerenu krivulju u točki t90. Za oba postupka koriste se izrazi (6.15.) za određivanje cv. U tablici 6.1. dati su podaci o vrijednostima za cv za neka tla. Tablica 6.1. karakteristične vrijednosti za cv (cm2/s): neporemećeni granica tečenja, % ponovljeno opterećenje uzorak donja granica prvo opterećenje -2 30 3.5 x 10 5 x 10-3 60 3.5 x 10-3 1 x 10-3 -4 100 4 x 10 2 x 10-4

pregnječeni uzorak gornja granica 1.2 x 10-3 3 x 10-4 1 x 10-4

Do sada izložena teorija o konsolidaciji i slijeganju vrijedi za opterećenje koje od početka djeluje u punom i konstantnom iznosu. Stvarna opterećenja postižu svoj maksimum u vremenu, kao npr. nasip koji se gradi neko vrijeme dok ne postigne punu visinu. U tom slučaju potrebno je krivulju slijeganja korigirati tako da se teoretska krivulja temeljena na konsolidaciji pod djelovanjem stalnog opterećenja prilagodi porastu opterećenja u vremenu. Taylor (1948.) dao je prijedlog korekcije izračunatog slijeganja u vremenu za slučaj das e puno opterećenje postiže nakon vremena t1, pa se pokazuje da je a) za tt1 stvarno slijeganje = (slijeganje od konačnog opterećenja, računato uz t0.5t1) Slijedeći ova pravila može se grafički korigirati krivulja slijeganja izračunata za puno opterećenje tako da odgovara slijeganju od opterećenja koje linearno raste do t1 (vidi sliku 6.8.). Za vrijeme manje od t1 korigirana krivulja slijeganja dobije se tako da se za odabrani t nađe slijeganje na krivulji od punog opterećenja, produlji horizontala od te točke do sjecišta s vertikalom t1, te se spoji to sjecište sa početnom točkom (t=0). Presjecište te spojnice i vertikale za t je korigirano slijeganje za vrijeme t. Za vremena veća od t1 sve točke sa krivulje slijeganja od punog opterećenja translatiraju se horizontalno za duljinu AB (horizontalni razmak od krivulje slijeganja pri punom opterećenju i korigirane krivulje slijeganja za t1).

19 period građenja

konačno opterećenje t1

ta

vrijeme iskopa

t2/2 t/2

t

A

t2

vrijeme

B KORIGIRANA KRIVULJA

slijeganje

A

B

krivulja za trenutno puno opterećenje

slika 6.8. Princip konstrukcije realne krivulje slijeganja za porast opterećenja u vremenu 6.5. RADIJALNA KONSOLIDACIJA Konsolidacija je u pravilu prostorna, a ne samo vertikalna. Često se u tlu koriste vertikalni drenovi kojima se ubrzava slijeganje tla, a oni izazivaju kretanje vode iz svoje okoline u horizontalnom smjeru (radijalno) prema svom centru, te se uz to još odvija i vertikalna konsolidacija. r

debljina sloja 2H

Tz promjer drena (2r) De s

slika 6.9. Djelovanje radijalnog drena Takvi drenovi postavljaju se u nekom rasporedu (kvadratnom, trokutastom) pa je zona njihovog djelovanja o njihovom osnom razmaku s i rasporedu drenova. Djelovanje drena odvija se kroz zonu promjera De, koja se određuje tako da drenovi pokriju površinu između njih.

20 Za takve slučajeve vrijedi diferencijalna jednadžba za radijalnu i vertikalnu konsolidaciju

 ∂ 2 u 1 ∂u  ∂u ∂ 2u c = ch  2 + +  v 2 r ∂r  ∂t ∂z  ∂r

(6.16.)

za koju vrijedi uz do sada definirane oznake: cv = koeficijent vertikalne konsolidacije ch = koeficijent horizontalne konsolidacije Tr=ch t / 4R2 = vremenski faktor radijalne konsolidacije U=1-(1-Uz)(1-Ur) = ukupni koeficijent konsolidacije U ovakvom slučaju doprinos vertikalne konsolidacije je relativno mali u usporedbi s radijalnom konsolidacijom, budući da je put kretanja vode u horizontalnom smjeru bitno manji od puta kod kretanja vode vertikalno. Razmaci drenova su oko 1-3 m. 6.6. SEKUNDARNA KONSOLIDACIJA Nakon primarne konsolidacije nastupa tzv. sekundarna konsolidacija pri kojoj se slijeganje tla odvija usljed puzanja. Ona se karakterizira koeficijentom sekundarne konsolidacije Cα, koji se odredi iz krivulje dobivene u edometru, ili se procijeni. t

4t

t50

log t

e0 inicijalno (elastično) slijeganje de de

b primarna konsolidacija b

sekundarna konsolidacija

jedan ciklus Cα

slika 6.10. Sekundarna konsolidacija

Cα =

∆H / H t ............ → ∆H = Cα ⋅ H ⋅ log10 ∆ log10 t tp

(6.17.)

Deformacija od sekundarnog slijeganja izražena je kod plastičnih i organskih mekih vrsta tla, a računa se za period t (ne manji od 1 godine) u usporedbi s tp=vrijeme primarne konsolidacije. Tipične vrijednosti za Cα: normalno konsolidirane gline 0,005 do 0.002 vrlo plastična tla, organska tla 0.03 ili više prekonsolidirane gline, OCR > 2 manje od 0.001

21 Sažetak: - stišljivost tla ovisi o uvjetima opterećenja - vertikalna stišljivost tla povezana je sa slijeganjem i utvrđuje se u aparatu koji se zove edometar - u edometru se neporemećeni uzorak tla opterećuje u inkrementima i za svaki od njih čeka se smirenje deformacije (obično se inkrementi mijenjaju nakon 24 h) - iz edometarskog pokusa određuje se stišljivost tla - ako se prati vremenski tjek slijeganja pri nekom inkrementu opterećenja može se odrediti i potrebne parametre za procjenu vremena slijeganja tla - razlikujemo slijeganje usljed elastičnih deformacija u tlu, slijeganje u fazi primarne konsolidacije (od promjene poornih tlakova) i slijeganje od sekundarne konsolidacije - proces deformacije tla usljed istjecanja vode pod djelovanjem pozitivnih tlakova vode u porama zove se konsolidacija - konsolidaciju karakterizira koeficijent konsolidacije - matematički se može opisati konsolidacija i na temelju rješenja diferencijalne jednadžbe, koja ovise o rubnim uvjetima i početnim tlakovima, može se ustanoviti raspodjela pornih tlakova u vremenu po dubini - koeficijent konsolidacije je približno konstantan za sve inkremente opterećenja i određuje se na temelju krivulje vremenskog tjeka slijeganja - radijalna deformacija je izraženija od vertikalne