03 Two Dimension Of Motion

[ บทที่ 3 การเคลือ่ นที่ในระนาบ ]

ในการอธิบายการเคลื่อนที่ในวิถีโค้ง เช่น การโคจรของดาวเทียม

การเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งของลูกบอล เราต้องบรรยายการเคลื่อนที่ในสองหรือสามมิติ โดยใช้เวกเตอร์การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง แต่ปริมาณเหล่านี้มีองค์ประกอบสองหรือสามองค์ประกอบ และไม่ได้มีทิศอยู่ในแนวเส้นตรงเดียว

2

ใช้เวกเตอร์ในการบอกตำาแหน่งของอนุภาค การเขียนเวกเตอร์บอกตำาแหน่ง

ต้องเขียนบอกองค์ประกอบของเวกเตอร์ในแต่ละแกน

v ˆ ˆ ˆ r  xi  yj  zk

kˆ

z

r

y x

θ

ˆj

iˆ

3

y

จากนิยามความเร็วเฉลีย่

“อัตราส่วนระหว่างการกระจัดที่เปลีย่ นไ ปกับช่วงเวลาการเปลี่ยนการกระจัด” จากรูปเส้นทางการเคลื่อนทีข่ องอนุภาค ในระนาบ xy เมื่อเวลา t1 อนุภาคอยู่ที่ตำาแหน่ง P1 ซึ่งมีการกระจัดเป็น r 1 และเมื่อเวลา t2 อนุภาคนี้อยู่ทตี่ ำาแหน่ง

P2 ซึ่งมีการกระจัดเป็น r 2 ความเร็วเฉลี่ยของอนุภาคในช่วงเวลา

t1 และ t2

P1

∆r

P2

r1 r2

เส้นทางการเคลื่อนที่

x

O ∆r r2 − r1 v av = = ∆t t 2 − t1

4

ถ้าให้เวกเตอร์ทั้งสองมีองค์ประกอบเวกเตอร์ดังต่อไปนี้

r1 = x1iˆ + y1 ˆj r2 = x2iˆ + y2 ˆj จะได้ความเร็วเฉลี่ย

∆r ( x2 − x1 ) iˆ + ( y2 − y1 ) ˆj vav = = ∆t t 2 − t1

5

จากนิยามความเร็วขณะหนึ่ง คือ “ความเร็วของวัตถุขณะเวลาใดๆ

ซึ่งหาได้จากการเปลี่ยนตำาแหน่งของวัตถุในช่วงเวลาที่สั้นมากๆ จนเข้าสู่ศูนย์” ความเร็วขณะหนึ่งคือ ∆r dr  dx  ˆ  dy  ˆ  dz  ˆ v = lim = =  i +   j +  k ∆t → 0 ∆t dt  dt   dt   dt  เขียนเป็นเวกเตอร์ความเร็วได้ดังนี้

v = vxiˆ + v y ˆj + vz kˆ 6

องค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วหาได้จาก

dx vx = dt

dy vy = dt

dz vz = dt

ขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว หรืออัตราเร็วหาได้จาก 2

2

v = vx + v y + vz

2

7

จากนิยามความเร่งเฉลี่ย คือ

y

v1

“อัตราส่วนระหว่างการเปลีย่ นแปลงควา P1 v1 ∆v v มเร็ว 2 P2 กับช่วงเวลาที่ใช้ในการเปลีย่ นความเร็ว” v2 r1 จากรูปแสดงเส้นทางการเคลือ่ นที่ในระ r2 นาบ xy ของอนุภาคหนึ่ง ซึ่งเมื่อเวลา t1 เส้นทางการเคลื่อนที่ อนุภาคอยู่ที่ตำาแหน่ง P1 และมีความเร็วเป็น v 1 x และเมื่อเวลา t2 อนุภาคอยู่ที่ตำาแหน่ง O P2 และมีความเร็วเป็น v 2 ∆v v2 − v1 ความเร่งเฉลี่ยของอนุภาคในช่วงเวลา aav = = ∆t t 2 − t1 t1 และ t2 คือ 8

จากนิยามความเร่งขณะหนึ่ง คือ “การเปลี่ยนแปลงความเร็วทีข่ ณะเวลาใด ๆ

หรือในช่วงเวลาสั้นๆ จนเข้าสู่ศูนย์”

∆v dv a = lim = ∆t →0 ∆t dt จากเวกเตอร์ความเร็วจะได้ความเร่งขณะหนึ่งคือ

dv dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ a= = i+ j+ k dt dt dt dt 9

เวกเตอร์ความเร่ง

a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ องค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร่ง

dv x d 2 x ax = = 2 dt dt

dv y

d2y , ay = = 2 dt dt

dv z d 2 z , az = = 2 dt dt

ขนาดของเวกเตอร์ความเร่ง

a = a +a +a 2 x

2 y

2 z

10

ตัวอ ย่ าง ที่ 3- 1 วัตถุเคลื่อนที่ตามเส้นทางโดยมีค่าตามแนวแกนทั้ง สองคือ x = 5t2 และ y = 2 sin 2t เมื่อ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จากโจทย์ ให้องค์ประกอบเวกเตอร์บว อกตำาแหน่งของวัตถุที่เวลา t ใดๆ จงคำานวณหาความเร็ ดังนั้นองค์ประกอบเวกเตอร์ขณะหนึง่ หาได้โดย และความเร่งชั่วขณะของอนุภาค vx =

และ

vy =

( )

dx d = 5t 2 = 10t dt dt

dy d = ( 2 sin 2t ) = 4 cos 2t dt dt

เขียนเป็นเวกเตอร์ความเร็วได้ดังนี้

v = 10t iˆ + 4 cos 2t ˆj 11

จากองค์ประกอบเวกเตอร์ความเร็ว นำามาหาองค์ประกอบเวกเตอร์ขณะหนึ่งได้โดย dv x d ax = = (10t ) = 10 dt dt

และ

dv y

d ay = = ( 4 cos 2t ) = −8 sin 2t dt dt

เขียนเป็นเวกเตอร์ความเร่งได้ดงั นี้ a = 10 iˆ − 8 sin 2t ˆj

12

โปรเจกไตล์ (Projectile Motion)

เป็นการเคลื่อนที่ในสองมิติ ภายใต้ความเร่งโน้มถ่วง (Gravitational Force) ของโลก โดยมีเงื่อนไข คือ ความเร็วในแนวระดับมีค่าคงที่ หรือความเร่งในแนวระดับมีค่าเป็นศูนย์ ไม่คำานึงถึงแรงเสียดทาน ความโค้ง และการหมุนของโลก ดังนั้นจึงเหลือแค่ความเร่งในแนวดิ่งซึ่ง ก็คือค่า g ซึ่งเป็นแบบจำาลองโปรเจกไตล์ในอุดมค 13 ติ

14

y v = vx = u x

vy v θ

uy

v = u vx = u x

vy

vx = u x v vx = u x

θ0

ux

จากรูปแสดงการเคลือ่ นทีข่ องอนุภาคห นึ่งในระนาบ xy โดยให้อนุภาคนี้มีความเร็วต้นเท่ากับ u มีทิศทำามุม 0 กับแนวระดับ เขียนองค์ประกอบความเร็วต้นได้เป็น u x = u cos θ 0

v y = −u y

θ = −θ 0

x

u y = u sin θ 0

v

15

y vy v θ

uy

v = u vx = u x θ0

ux

จากเงือ่ นไขการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไตล์จะได้ว่ า ax = 0 และ ay = -g vx = u x v หาตำาแหน่งและความเร็วที่เวลาใดๆ ของอนุภาคได้จากสมการการเคลือ่ นทีด่ ้วย v x = u x ความเร่งคงที่ x โดยสามารถแยกคิดในแต่ละองค์ประกอบ

v = vx = u x vy

v y = −u y

θ = −θ 0

v

พิจารณาความเร็วและตำาแหน่งในแนวระดับ (แกน x) เนื่องจากความเร่งมีค่าเป็นศูนย์ดังนั้นความเร็วของวัตถุในแนวนี้ไม่เปลีย่ นแปลง

v x = u x = u cos θ 0 และ

x = v x t = ( u cos θ 0 ) t 16

พิจารณาความเร็วและตำาแหน่งในแนวดิง่ เนื่องจากความเร่งในแนวนี้มีขนาดเท่ากับความเร่งโน้มถ่วง แต่มีเครื่องหมายเป็vนลบ= จะได้ u − gt = u sin θ − gt y

y

0

ตำาแหน่งในแนวดิง่ ที่เวลา t ใดๆ 1 2 1 2 y = u y t − gt = ( u sin θ 0 ) t − gt 2 2 สมการแสดงเส้นทางการเคลือ่ นทีข่ องโพรเจกไทล์ ได้จากการแทนค่า t ซึ่ง x t= u cos θ 0

x 1  x   y = ( u sin θ 0 ) − g  u cos θ 0 2  u cos θ 0 

2

17

จะได้

g 2 y = ( tan θ 0 ) x − 2 x 2 2u cos θ 0

เทียบกับสมการทัว่ ไปของเส้นโค้งพาราโบลาร์

y = bx − cx 2 เมื่อ b และ c เป็นค่าคงที่ ดังนั้นเส้นทางการเคลือ่ นที่ของโปรเจกไตล์เป็นโค้งแบบพาราโบลาร์

18

ความสูงทีส่ ุดที่วัตถุสามารถเคลือ่ นทีไ่ ด้หาได้จากสมการ

v y = u sin θ 0 − gt เมื่อวัตถุเคลือ่ นที่ไปถึงจุดสูงสุดจะหยุดนิ่งขณะหนึ่งก่อนจะเคลือ่ นที่กลับลงมา ดังนั้นความเร็วในแนวดิ่ง ณ ตำาแหน่งนี้จะมีค่าเป็นศูนย์

u sin θ 0 = gt แต่ จะได้

x t= u cos θ 0

u 2 sin θ 0 cos θ 0 u 2 sin 2θ 0 x= = g 2g 19

g 2 y = ( tan θ 0 ) x − 2 x 2u cos 2 θ 0

จากสมการ

เมื่อแทนด้วยค่า x จะได้

ymax

u 2 sin 2 θ 0 = 2g

ระยะทางทีไ่ กลที่สุดที่วัตถุสามารถเคลือ่ นทีไ่ ด้คือ

u 2 sin 2θ 0 R= g 20

ตัวอ ย่ าง ที่ 3- 2 นักกรีฑาขว้างค้อนมีความสามารถเหวี่ยงค้อนได้ใน อัตราเร็วสูงสุด 5 เมตร / วินาที เขาจะสามารถขว้างค้อนไปได้ไกลที่สุดห่างจากจุดที่ เขายืนอยูก ่ ี่เมตร u 2 sin 2θ 0 R= จากสมการ g ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานอากาศและความสู งของนักก รีฑาจะได้ระยะไกลที่สุดเมื่อขว้างทำามุม 45๐ กับแนวระดับซึง่ จะได้

จากโจทย์ u = 5 เมตร/วินาที

u2 R= g 2 ( 5) R= = 2.5 9.8

เมตร 21

ตั วอ ย่า งที่ 3-3 ชายคนหนึง่ ขว้างก้อนหินออกไปจาก ดาดฟ้าตึกสูง ก้อนหินพุง่ ออกจากมือด้วยทิศทำามุม 20๐ กับแนวระดับ และมีอตั ราเร็วเริ่มต้น 20 m/s ดังแสดงในรูป ถ้าตึกนี้สูง 45 m จงหา 1) ต้องใช้เวลานานเท่าใดหลังจากที่ขว้าง ออกไป ที่ก้อนหินนี้จะตกถึงพืน้ ดิน 2) อัตราเร็วสุดท้ายของก้อนหินทีก่ ระทบ 22 พืน้

1) พิจารณาการเคลือ่ นที่ในแนวระดับ x และ แนวดิ่ง y

( ) = ( 20.0 ) ( sin 30.0 ) = 10.0

u x = u cos θ 0 = ( 20.0 ) cos 30.0 = 17.3 m/s u y = u sin θ 0



m/s

หาค่า t ได้จากสมการ

1 2 y = y0 + u y t − gt 2

เมื่อ y = -45 m

1 − 45 = 0 + (10.0 ) t − ( 9.8) t 2 2

t = 4.22

วินาที 23

2) จากสมการ

v y = u y − gt

แทนค่า t จากข้อ 1) จะได้ v y = (10.0 ) − ( 9.8)( 4.22 ) = −31.4

เมตร/วินาที

แต่ความเร็วในแนวระดับ (ตามแกน x) มีค่าคงทีห่ รือ v x = u x = 17.3

เมตร/วินาที

อัตราเร็วของก้อนหินคือขนาดของเวกเตอร์ความเร็วหาได้จาก v = v x2 + v y2 = 17.32 + ( − 31.4 ) = 35.9 2

เมตร/วินาที 24

25

v v

s  v1 R

v v1 or v  s R

ดังนั้นขนาดความเร่งเฉลีย่ ในช่วงเวลาใดๆ มีค่า

v v

v1 s aav   t R t

26

ขนาดความเร่ง a ทีจ่ ุด P ใดๆ จะได้

v1 s v1 s a  lim  lim t 0 R t R t 0 t และจาก

s v  lim t 0 t

แต่จาก v1 คืออัตราเร็วที่ P1 ซึ่งเป็นจุดใดๆ ก็ได้เพราะอัตราเร็วมีค่าเท่ากัน จึงได้ และความเร่งทีไ่ ด้นี้มีทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง 2

v a  R

27

ในเวลา T วัตถุเคลือ่ นที่ได้ระยะทางเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม

2 R v T

ดังนั้นเราสามารถหาความเร่งได้อีกรูปแบบหนึ่งคือ

4 R a  2 T 2

28

ตัวอ ย่ าง ที่ 3- 4 ดวงจันทร์หมุนรอบโลกครบรอบใช้เวลา 27.3 วัน สมมุติให้วงโคจรเป็นวงกลมมีรัศมีความโค้ง 3.82 x 108 เมตร จงคำานวณหาขนาดของความเร่งของดวงจันทร์เข้าสู่โลก คาบการโคจรของดวงจันทร์รอบโลก T = 27.3 วัน เปลี่ยนให้เป็นหน่วยวินาทีได้เป็น  hour   min   s  T   27.3 day   24 60 60    day hour min        2.36  106

วินาที

ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง a 

4 R  T2 2

4 2  3.82 108 m 

 2.36 10 s  6

2

 2.71 103

m/s 2 29

จากนิยามของความเร็วสัมพัทธ์ของการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง เราหาความเร็วสัมพัทธ์ของการเคลื่อนที่ในระนาบได้จากนิยามเดียวกัน

ด้วยการบวกเวกเตอร์

ความเร็วเรือสัมพัท ธ์กับพื้น v

ความเร็วกระแสนำ้าสัม พัทธ์กับพื้น V

ความเร็วเรือสัมพัทธ์ กับกระแสนำ้า v’

v v v v  v  V 30

ตัวอ ย่ าง ที่ 3- 5 เครื่องบินลำาหนึ่งบินไปทางทิศเหนือ เข็มชี้ความเร็วอยู่ที่ 240 km/hr ลมพัดด้วยความเร็ว 100 km/hr ไปทางทิศตะวันออก ความเร็วของเครื งบินสัมพัทธ์กับโลกจะมีค่าเป็นเท่าไร V = 100 ่อkm/hr v จาก v =?

v’ = 240 km/hr

ซึ่งจากรูป

v v v  v  V

v 2 2  v  v V

 240  100  260 km/hr 2

θ

โดยมีทิศทำามุม

กับทิศเหนือ หาค่ามุม

100   tan  22.6 240

2

1

31

32