03 Two Dimension Of Motion

[ บทท บทที่ 3 การเคลอนทในระนาบ การเคลือ่ นทีใ่ นระนาบ ]

y ในการอธิบายการเคลือ่ นทีใ่ นวิถโี ค้ง เช่น การโคจรของดาวเทียม การเคลื่อนทีเ่ ป็ นเส้น

โคงของลู โค้ งของลกบอล กบอล y เราต้องบรรยายการเคลื่อนทีใ่ นสองหรือสามมิติ y โดยใช้ โ ใ เ้ วกเตอร์ก์ ารกระจัดั ความเร็ว็ และความเร่ง่ แต่่ปริมิ าณเหล่า่ นี้ีมอี งค์ป์ ระกอบ สองหรือสามองค์ประกอบ และไม่ได้มที ศิ อยูใ่ นแนวเส้นตรงเดียว

2

y ใช้เวกเตอร์ในการบอกตําแหน่งของอนุ ภาค การเขียนเวกเตอร์บอกตําแหน่ง ต้องเขียน

บอกองค์ประกอบของเวกเตอร์ในแต่ละแกน บอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกน

K ˆ ˆ ˆ r = xii + yjj + zkk

kˆ

z

K r

y x

θ

ˆj

iˆ

3

y จากนิยามความเร็วเฉลีย่ “อัตราส่วน

ระหว่างการกระจัดทีเ่ ปลีย่ นไปกับ ช่วงเวลาการเปลีย่ นการกระจัด” y จากรู จากรปเส้ ปเสนทางการเคลอนทของอนุ นทางการเคลือ่ นทีข่ องอนภาค ภาค ในระนาบ xy เมือ่ เวลา t1 อนุ ภาคอยูท่ ่ี ตําแหน่ง P1 ซึง่ มีการกระจัดเป็ น r1 y และเมือ่ เวลา t2 อนุ ภาคนี้อยูท่ ต่ี าํ แหน่ง O P2 ซึง่ มีการกระจัดเป็ น r2 y ความเร็วเฉลีย่ ของอนุ ภาคในช่วงเวลา t1 และ t2

y P1

K Δr

P2

K r1

K r2

เส้นทางการเคลือ่ นที่

x K K K Δr r2 − r1 K v av = = Δt t 2 − t1 4

y ถ้าให้เวกเตอร์ทงั ้ สองมีองค์ประกอบเวกเตอร์ดงั ต่อไปนี้

K r1 = x1iˆ + y1 ˆj K r2 = x2iˆ + y2 ˆj y จะได้ความเร็วเฉลีย่

K Δr (x2 − x1 )iˆ + ( y2 − y1 ) ˆj K = vav = Δt t 2 − t1

5

y จากนิยามความเร็วขณะหนึ่ง คือ “ความเร็วของวัตถุขณะเวลาใดๆ ซึง่ หาได้จากการ

เปลยนตาแหนงของวตถุ เปลี ย่ นตําแหน่งของวัตถในช่ ในชวงเวลาทสนมากๆ วงเวลาทีส่ นั ้ มากๆ จนเข้ จนเขาสู าส่ศนย์ นู ย” y ความเร็วขณะหนึ่งคือ K K Δr dr ⎛ dx ⎞ ˆ ⎛ dy ⎞ ˆ ⎛ dz ⎞ ˆ K = = ⎜ ⎟i + ⎜ ⎟ j + ⎜ ⎟k v = lim Δt → 0 Δ t dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ y เขียนเป็ นเวกเตอร์ความเร็วได้ดงั นี้

K v = vxiˆ + v y ˆj + vz kˆ 6

y องค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วหาได้จาก

dx d vx = dt

ddy vy = dt

dz vz = dt

y ขนาดของเวกเตอร์ความเร็ว หรืออัตราเร็วหาได้จาก

v = vx + v y + vz 2

2

2

7

y จากนิยามความเร่งเฉลีย่ คือ “อัตราส่วน

y

K v1

K ระหว่างการเปลีย่ นแปลงความเร็ว กับ P1 v1 K K Δ v v2 ่ ชวงเวลาทใชในการเปลยนความเรว” ใ่ี ใ้ ป ่ี ็” P2 K v y จากรูปแสดงเส้นทางการเคลือ่ นทีใ่ น 2 K r1 ระนาบ xy ของอนุ ของอนภาคหนึ ภาคหนง่ง ซงเมอเวลา ซึง่ เมือ่ เวลา K t1 อนุ ภาคอยูท่ ต่ี าํ แหน่ง P1 และมี r2 เส้นทางการเคลือ่ นที่ ความเร็วเป็ น v1 y และเมือ่ เวลา t2 อนุ ภาคอยูท่ ต่ี าํ แหน่ง x P2 และมีความเร็วเป็ น v2 O y ความเร่งเฉลีย่ ของอนุ ภาคในช่วงเวลา t1 K K K และ t2 คือ Δv v2 − v1 K aav = = Δt t 2 − t1 8

y จากนิยามความเร่งขณะหนึ่ง คือ “การเปลีย่ นแปลงความเร็วทีข่ ณะเวลาใด ๆ หรือ

ในช่วงเวลาสัน้ ๆ จนเขาสู ในชวงเวลาสนๆ จนเข้าส่ศนย์ นู ย”

K K Δv d v K li = a = lim Δt → 0 Δt dt y จากเวกเตอร์ความเร็วจะได้ความเร่งขณะหนึ่งคือ

K K dv dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ a= = i+ j+ k dt dt dt dt 9

y เวกเตอร์ความเร่ง

K a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ y องค์ป์ ระกอบของเวกเตอร์ค์ วามเร่ง่ 2

dv x d x ax = = 2 dt dt

2

dv y

2

d y , ay = = 2 dt dt

dv z d z , az = = 2 dt dt

y ขนาดของเวกเตอร์ความเร่ง

a = a +a +a 2 x

2 y

2 z

10

ตัวอย่างที่ 3-1 วัตถุเคลือ่ นทีต่ ามเส้นทางโดยมีคา่ ตามแนวแกนทัง้ สองคือ x = 5t2 และ y = 2 sin 2t เมอ เมือ่ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหา จงคํานวณหา ความเร็ว และความเร่งชัวขณะของอนุ ่ ภาค จากโจทย์ให้องค์ประกอบเวกเตอร์บอกตําแหน่งของวัตถุทเ่ี วลา t ใดๆ ดังนัน้ องค์ประกอบเวกเตอร์ขณะหนึ่งหาได้โดย องคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดย vx =

และ

( )

dx d = 5t 2 = 10t dt dt

dyy d vy = = (2 sin 2t ) = 4 cos 2t dt dt

เขียนเป็ นเวกเตอร์ความเร็วได้ ไ ดงั นี้

K v = 10t iˆ + 4 cos 2t ˆj 11

จากองค์กอบเวกเตอร์ความเร็ว นํามาหาองค์ประกอบเวกเตอร์ขณะหนึ่งได้โดย ddv x d = (10t ) = 10 ax = dt dt

และ

dv y

d = (4 cos 2t ) = −8 sin 2t ay = dt dt

เขียนเป็ นเวกเตอร์ความเร่งได้ดงั นี้ เขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงน K a = 10 iˆ − 8 sin 2t ˆj

12

y โพรเจคไทล์ (Projectile Motion) เป็ น

การเคลื่อนทีใ่ นสองมิติ ภายใต้ความเร่ง โน้มถ่วง (Gravitational Force) ของ โลก y โดยมีเงือ่ นไข คือ ความเร็วในแนวระดับ มีคา่ คงที่ หรือความเร่งในแนวระดับมีคา่ เปนศู ป็ นย์ ไมคานงถงแรงเสยดทาน ไ ่ ํ ึ ึ ี ความโค้ง และการหมุนของโลก y ดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซง ดังนัน้ จึงเหลือแค่ความเร่งในแนวดิง่ ซึง่ ก็คอื ค่า g ซึง่ เป็ นแบบจําลองโพรเจค ไทล์ในอุุดมคติ 13

y v = vx = u x

vy v θ

uy

v = u vx = u x

vy

vx = u x v vx = u x

θ0

ux

จากรูปแสดงการเคลือ่ นทีข่ องอนุภาค หนึ่งในระนาบ xy โดยให้อนุุภาคนี้ม ี ความเร็วต้นเท่ากับ u มีทศิ ทํามุม θ0 กับแนวระดับ เขียนองค์ประกอบความเร็วต้นได้เป็ น u x = u cos θ 0

v y = −u y

θ = −θ 0

x

u y = u sin θ 0

v

14

y

vy v θ

uy

v = u vx = u x θ0

ux

จากเงือ่ นไขการเคลือ่ นทีแ่ บบโพรเจคไทล์จะได้ v = vx = u x ว่า ax = 0 และ ay = -g vx = u x vy หาตําแหน่งและความเร็วทีเ่ วลาใดๆ ของ v อนุุภาคได้จากสมการการเคลือ่ นทีด่ ว้ ย v x = u x ความเร่งคงที่ โดยสามารถแยกคิดในแต่ละ x องค์ประกอบ v y = −u y

θ = −θ 0

v

พิจารณาความเร็วและตําแหน่งในแนวระดับ (แกน x) เนื่องจากความเร่งมีคา่ เป็ นศูนู ย์ดงั นัน้ ความเร็วของวัตถุุในแนวนี้ไม่เปลีย่ นแปลง

v x = u x = u cos θ 0 และ

x = v x t = (u cos θ 0 )t 15

พิจารณาความเร็วและตําแหน่งในแนวดิง่ เนื่องจากความเร่งในแนวนี้มขี นาด เท่ากับความเร่งโน้มถ่วง แต่มเี ครือ่ งหมายเป็ นลบ จะได้

v y = u y − gt = u sin θ 0 − gt ตําแหน่งในแนวดิง่ ทีเ่ วลา t ใดๆ 1 2 1 2 y = u y t − gt = (u sin θ 0 )t − gt 2 2 สมการแสดงเส้นทางการเคลือ่ นทีข่ องโพรเจกไทล์ ไดจากการแทนคา สมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ได้จากการแทนค่า t ซง ซึง่ t=

x u cos θ 0

x 1 ⎛ x ⎞ ⎟⎟ y = (u sin θ 0 ) − g ⎜⎜ u cos θ 0 2 ⎝ u cos θ 0 ⎠

2

16

จะได้

g 2 y = (tan θ 0 )x − 2 x 2u cos 2 θ 0 2u

เทียบกับสมการทัวไปของเส้ เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร ่ นโค้งพาราโบลาร์ y = bx − cx 2 เมอ เมือ่ b และ c เปนคาคงท เป็ นค่าคงที่ ดังนัน้ เส้นทางการเคลือ่ นทีข่ องโพรเจคไทล์เป็ นโค้งแบบพาราโบลาร์

17

ความสูงทีส่ ดุ ทีว่ ตั ถุสามารถเคลือ่ นทีไ่ ด้หาได้จากสมการ

v y = u sin θ 0 − gt เมือ่ วัตถุเคลือ่ นทีไ่ ปถึงจุดสูงสุดจะหยุดนิ่งขณะหนึ่งก่อนจะเคลือ่ นทีก่ ลับลงมา ดังนัน้ ความเร็วในแนวดิง่ ณ ตําแหน่งนี้จะมีคา่ เป็ นศนย์ ู

u sin θ 0 = gt แต่ จะได้ จะได

x t= u cos θ 0

u 2 sin θ 0 cos θ 0 u 2 sin 2θ 0 x= = g 2g 18

จากสมการ

g 2 y = (tan θ 0 )x − 2 x 2u cos 2 θ 0 2u

เมือ่ แทนด้วยค่า x จะได้

ymax

u 2 sin 2 θ 0 = 2g

ระยะทางทีไ่ กลทีส่ ดุ ทีว่ ตั ถุสามารถเคลือ่ นทีไ่ ด้คอื

u sin 2θ 0 R= g 2

19

ตัวอย่างที่ 3-2 นักกรีฑาขว้างค้อนมีความสามารถเหวีย่ งค้อนได้ใน อัตราเร็วสงสด อตราเรวสู งสุด 5 เมตร / วนาท วินาที เขาจะสามารถขว้ เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสุ างค้อนไปได้ไกลทีส่ ด ห่างจากจุดทีเ่ ขายืนอยูก่ เ่ี มตร ถ้าไม่คดิ แรงเสียดทานอากาศและความสูง ของนักั กรีฑ ี า จากสมการ

u 2 sin 2θ 0 R= g

จะได้ระยะไกลทีส่ ดดเมื จะไดระยะไกลทสุ เมอขวางทามุ อ่ ขว้างทํามมม 45๐ กบแนวระดบซงจะได กับแนวระดับซึง่ จะได้

จากโจทย์ u = 5 เมตร/วนาท จากโจทย เมตร/วินาที

u2 R= g 2 ( 5) R= = 2.5 9.8

เมตร 20

ตัวอย่างที่ 3-3 ชายคนหนึ่งขว้างก้อน หินออกไปจากดาดฟ้าตึกสูง ก้อนหิน พุงุ่ ออกจากมือด้วยทิศทํามุมุ กับแนว ระดับ และมีอตั ราเร็วเริม่ ต้น ดังแสดง ในรูปู ถ้าตึกนี้สงู จงหา 1) ต้องใช้เวลานานเท่าใดหลังจากที่ ขว้างออกไป ทีก่ อ้ นหินนี้จะตกถึง พืน้ ดิน 2) อัตราเร็วสุดุ ท้ายของก้อนหินที่ กระทบพืน้

21

1) พิจารณาการเคลือ่ นทีใ่ นแนวระดับ x และ แนวดิง่ y

( ) = (20.0 )(sin 30.0 ) = 10.0

u x = u cos θ 0 = (20.0 ) cos 30.0D = 17.3 m/s u y = u sin θ 0

D

m/s

หาค่า t ไดจากสมการ หาคา ได้จากสมการ 1 2 y = y0 + u y t − gt 2

เมือ่ y = -45 m

− 45 = 0 + (10.0 )t −

1 (9.8)t 2 2

วินาที t = 4.22 วนาท 22

2) จากสมการ

v y = u y − gt

แทนค่า t จากข้อ 1) จะได้ v y = (10.0) − (9.8)(4.22) = −31.4

เมตร/วินาที

แต่ค่ วามเร็ว็ ใในแนวระดับั (ตามแกน x) มีคี า่ คงทีห่ี รือื v x = u x = 17.3

เมตร/วินาที

อัตราเร็วของก้อนหินคือขนาดของเวกเตอร์ความเร็วหาได้จาก v = v x2 + v y2 = 17.32 + (− 31.4 ) = 35.9 2

เมตร/วินาที 23

24

K Δv

Δs = v1 R

K v1 or Δv = Δs R

ดังนัน้ ขนาดความเร่งเฉลีย่ ในช่วงเวลาใดๆ มีมคา ดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ คา่

K Δv

v1 Δs aav = = Δt R Δt

25

ขนาดความเร่ง a ทจุ ขนาดความเรง ทีจ่ ด P ใดๆ จะได จะได้

v1 Δs v1 Δs a = lim = lim Δt →0 R Δt R Δt →0 Δt และจาก

Δs v = lim Δt →0 Δt

แตจาก แต่ จาก v1 คออตราเรวท คืออัตราเร็วที่ P1 ซงเปนจุ ซึง่ เป็ นจดใดๆ ดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน ก็ได้เพราะอัตราเร็วมีคา่ เท่ากัน จงได จึงได้ และความเร่งทีไ่ ด้น้ีมที ศิ เข้าสูศ่ นู ย์กลาง 2

v a⊥ = R

26

ในเวลา T วัตถุเคลือ่ นทีไ่ ด้ระยะทางเท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม

2π R v= T ดังนัน้ เราสามารถหาความเร่งได้อกี รูปแบบหนึ่งคือ

4π R a⊥ = 2 T 2

27

ตัวอย่างที่ 3-4 ดวงจันทร์หมุนรอบโลกครบรอบใช้เวลา 27.3 วัน สมมุติ ให้วงโคจรเป็ นวงกลมมีรศั มีความโค้ง 3.82 ใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3 82 x 108 เมตร จงคานวณหา จงคํานวณหา ขนาดของความเร่งของดวงจันทร์เข้าสูโ่ ลก คาบการโคจรของดวงจันทร์รอบโลก T = 27.3 วัน เปลีย่ นให้เป็ นหน่วยวินาทีได้เป็ น ⎛ hour ⎞ ⎛ min ⎞ ⎛ s ⎞ T = ( 27.3 day ) ⎜ 24 60 60 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ day hour min ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2.36 ×106

วินาที

ความเร่งเข้าส่ศนนย์ ความเรงเขาสู ู ยกลาง กลาง 2 2 4π 2 R 4π ( 3.82 ×10 m ) −3 a⊥ = = = 2.71 × 10 2 6 T2 2.36 × 10 s ( )

m/s 2 28

y จากนิยามของความเร็วสัมพัทธ์ของการเคลือ่ นทีใ่ นแนวเส้นตรง y เราหาความเร็วสัมพัทธ์ของการเคลือ่ นทีใ่ นระนาบได้จากนิยามเดียวกัน ด้วยการบวก

เวกเตอร์

ความเร็วเรือ สัมพัทธ์กบั พืน้ v สมพทธกบพน

ความเรวกระแสนา ความเร็ วกระแสนํ้า สัมพัทธ์กบั พืน้ V

ความเร็วเรือสัมพัทธ์ กับกระแสนํ้า v’

K K K v = v′ + V 29

ตัวอย่างที่ 3-5 เครือ่ งบินลําหนึ่งบินไปทางทิศเหนือ เข็มชีค้ วามเร็วอยูท่ ่ี 240 km/hr ลมพดดวยความเรว ลมพัดด้วยความเร็ว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก ไปทางทิศตะวันออก ความเร็วของเครือ่ งบินสัมพัทธ์กบั โลกจะมีคา่ เป็ นเท่าไร V = 100 km/hr จาก v=?

vv’ = 240 km/hr

ซึง่ จากรูปู

K K K v = v′ + V

K 2 2 ′ v = v +V

= 240 + 100 2

θ

= 260 โดยมีทศิ ทํามุม θ กับทิศเหนือ หาค่ามุม

100 θ = tan = 22.6D 240

2

km/hr

−1

30

31