03 Predav 3 - Naponi U Tlu 1001

1

4. NAPREZANJA U TLU 4.1. VRSTA I PORIJEKLO NAPREZANJA U svakoj točki u tlu ispod površine javljaju se naprezanja od nadsloja tla iznad nje. Ona se pojavljuju kao vertikalna i horizontalna naprezanja i proporcionalna su dubini točke u tlu koju promatramo. Takva naprezanja u tlu, koja su rezultat težine tla u nadsloju iznad promatranog horizonta, zovemo geostatska naprezanja. Naprezanja u tlu nastaju ili se mijenjaju (od onih geostatskih) i izvedbom geotehničkog zahvata, kad se teret od objekta ili rasterećenje iskopom, prenosi na dubine ispod dubine zahvata. Takva opterećenja može izazvati i promjena u nivou podzemne vode (podizanje ili spuštanje nivoa vode), te pojava ili promjena u strujanju vode (podsjeća se na strujne sile od tečenja vode). Sva naprezanja u tlu koja ne potječu od težine tla nazivamo dodatna naprezanja.

4.2. OPĆENITO O NAPREZANJIMA U TLU U tlu, koje se promatra kao poluprostor, pojavljuju se prostorna naprezanja, sazdana od normalnih i posmičnih naprezanja. Na slici 4.1. pokazuje se na malom volumenu tla da se na tri međusobno okomite ravnine pojavljuju na svakoj od njih po jedan normalni i dva posmična naprezanja. Moguće je pisati jednadžbe ravnoteže za ukupna naprezanja.

slika 4.1. Općenito stanje naprezanja u tlu, u bilo kojoj točki poluprostora Naprezanje se u točki može opisati tenzorom naprezanja kao

(4.1.) odnosno ako se uvede oznaka za sferno naprezanje p= (σx+σy+σz)/3 i ti=σi - p (4.2.)

2

To znači da se stanje naprezanja može razdvojiti na sferno naprezanje (koje uzrokuje volumske promjene) i na devijatorsko naprezanje koje uzrokuje distorziju (promjenu oblika). Ako se uvede princip efektivnih naprezanja (vidi kasnije) može se (4.1.) pisati i u efektivnim naprezanjima. Pokazuje se da se iz jednadžbi ravnoteže (momenti oko osi na slici 4.1.) može dobiti da je:

τ ij = τ ji

(4.3.)

što znači da su posmična naprezanja jednaka na okomitim ravninama (npr. xy i yx, na slici 4.1.). Naprezanja se vrlo često promatraju u ravnini, pa je na nekom elementu općenito moguće razlikovati normalna i posmična naprezanja kao na slici 4.2. Na pravokutniku proizvoljno odabranom oko točke u tlu djeluju na svim stranicama normalno i posmično naprezanje σ i τ, na svim stranicama, tako da su na suprotnim stranicama jednaki σ a na susjednim stranicama su jednaki τ. Postoje ravnine na kojima djeluju samo normalna naprezanja dok su posmična naprezanja nula - to su ravnine glavnih naprezanja. One se mogu odrediti za svako poznato stanje naprezanja i ravninu na kojoj ono djeluje pomoću tzv. pola ravnina u Mohrovom dijagramu naprezanja (slika 4.2.). Mohr je predložio dijagram u kojem se stanje naprezanja prikazuje kružnicom za svaku točku, tako da spojnica točke na kružnici koja definira stanje naprezanja (σ i τ) i pola ravninja bude paralelna ravnini na kojoj to naprezanje djeluje. Presjecište kruga naprezanja s osi σ daje glavna naprezanja, a spoj tih točaka s polom položaj ravnine glavnih naprezanja.

σ

τ

σ1

σ2

τ

σ2

σ

τ

σσσσ

σ1

σ

pol ravnine slika 4.2. Mohrova kružnica naprezanja, pol ravnina i glavna naprezanja

Za elastično tijelo može se izračunati deformacija od naprezanja ako se poznaje modul elastičnosti i Poissonov koeficijent, prema izrazu 4.4.

3

εi = uz

σ1

1 (σ i − υ ⋅ (σ j + σ k )) E

(4.4.)

i,j,k = 1,2,3

σ2 σ3

a σi,,j,k su glavna naprezanja

(E = Youngov modul elastičnosti, ν = Poissonov koeficijent (=ε2/ ε1)) 4.3. GEOSTATSKA NAPREZANJA U TLU I u tlu se naprezanje definira kao djelovanje sile na jedinicu površine tla, a relativna deformacija kao odnos naprezanja i modula tla.

P σ = A

ε=

,

σ

(4.5.)

E

Specifičnost tla je u tome što modul (ovdje uvjetno označen kao E) nije konstanta materijala nego ovisi o načinu opterećenja i uvjetima deformiranja, o povijesti opterećenja tla, o vrsti tla, o anozotropiji tla (uvjeti nastanka tla), o veličini naponskog stanja te o brzini djelovanja opterećenja (kratkotrajno ili dugotrajno opterećenje). Ova činjenica utječe na različito određivanje modula tla za pojedina naponska stanja i uvjete deformacije u tlu. Tlo je nelinearno elastično, nehomogeno i anizotropno. Često se uvode pretpostavke o njegovim svojstvima (da je linearno elastično, homogeno, izotropno) radi jednostavnijeg računanja naprezanja i deformacija u tlu. Takva pojednostavljenja moraju se uzimati u obzir kod razmatranja složenijih i/ili osjetljivijih kontrukcija i kod značajnijih deformacija.

z

Th Nv

Tv Nh

A

σv =

Nv A

, τh =

Th Nh σ = h A , A

τ = , v

Tv A

slika 4.3. Shema djelovanja sila na zrnima tla na vertikalnoj i horizontalnoj ravnini

4

Naprezanja u tlu mogu se promatrati preko sila koje djeluju u tlu na vertikalnoj ravnini i na horizintalnoj ravnini položenoj u nekoj točki u tlu, na dubini z (slika 4.3.). Normalno naprezanje u tlu koje djeluje na horizontalnoj ravnini zovemo vertikalno naprezanje (σv), a normalno naprezanje koje djeluje na horizontalnoj ravnini zovemo horizontalno naprezanje (σh). Na svakoj od tih ravnina općenito postoji posmično naprezanje (τ). Za drugačije položene ravnine naprezanja bi bila drugačija (na primjer za dvije ravnine pod 450 i1350 u odnosu na horizontalu) po iznosu i po smjeru djelovanja (vidi poglavlje 4.2.). Dogovoreno je da se tlačna naprezanja u tlu označavaju kao pozitivna a vlačna naprezanja kao negativna. U porama tla nalazi se voda i zrak (osim kada je tlo suho, ili kada je potpuno zasićeno). Ukupna sila koja se prenosi na neku površinu u tlu izaziva naprezanja među česticama tla i naprezanja (tlak) u vodi i zraku u porama. Ukupno naprezanje u tlu jednako je zbroju efektivnog naprezanja ((σv' = naprezanje među česticama tla) i tlaka u (vodi) u porama (u). Time je definiran jedan od najvažnijih principa u mehanici tla - PRINCIP EFEKTIVNIH NAPREZANJA:

σ , =σ −u

(4.6.) efektivno naprezanje = totalno naprezanje - porni tlak (tlak vode u porama) PONAŠANJE TLA KONTROLIRANO JE NAPREZANJEM MEĐU NJEGOVIM ČESTICAMA. Ukupna vertikalna sila koja djeluje na neki presjek je u ravnoteži sa zbrojem reaktivnih sila u tom presjeku: sila na čestice tla + sila na vodu.

1

σ=

1

ΣN I d ⋅d

σ ⋅ d ⋅ d = σ , ⋅ ac + u ⋅ av presjek 1-1 kroz zrna

N1

površina kontakata zrna na valovitoj plohi

N2 d

d

slika 4.4. Prenos sila u tlu : preko čestica tla i preko tlaka u tekućini u porama

5

Površina kontakata među zrnima (ac) je vrlo mala (slika 4.4.), oko 1-3% od ukupne površine (uvjetnog presjeka). Dakle površina na koju djeluje tlak vode (av) je gotovo jednaka ukupnoj površini (na slici 4.4. površini d x d). Međutim, sile među česticama tla su izuzetno velike pa je konačni dio naprezanja koji one proizvode efektivno naprezanje (σ'=ac σc) koje se može svesti na površinu totalnog presjeka d x d (slika 4.4.) i jednadžbu 4.6. Odnos horizontalnog i vertikalnog efektivnog normalnog naprezanja zove se koeficijent horizontalnog tlaka K= σ’h / σ’v ,

(4.7.)

Kada su ta efektivna naprezanja geostatska onda se koeficijent horizontalnog tlaka zove koeficijent tlaka mirovanja, i označava se Ko (čita se "ka nula"). Na tlo djeluje njegova vlastita težina te dodatno opterećenje (na površini ili ispod njetemelji). Sukladno Arhimedovom zakonu tlo koje je potopljeno ima težinu umanjenu za uzgon. Taj zakon također potvrđuje princip efektivnih naprezanja. Oznake za jedinične težine tla su: γ = zasićeno tlo-nepotopljeno , γ’= potopljeno tlo - težina uronjenog tla. Uobičajene vrijednosti težina jedinice volumena tla su: γ = 16-22 kN/m3, γv = 10 kN/m3, γ’ = 6-12 kN/m3, uobičajeno se uzima γ’= 10 kN/m3 a vrijedi izraz: , (4.8.) v

γ = γ −γ

Vertikalno geostatsko naprezanje u nekoj dubini dobije se kao zbroj naprezanja od pojedinog sloja tla do te dubine, prema jediničnim težinama tla u pojedinom sloju (slika 4.5.).

σ v 0 , = Σγ , i ⋅ hi

h1 , γ’1 NPV h2 , γ’2 σv h3 , γ’3

slika 4.5. Geostatska naprezanja u tlu, princip izračuna Geostatska naprezanja prikazuju se po dubini tla i označavaju se simbolom σ'vo, gdje je "v" indeks oznaka za vertikalna naprezanja a "o" indeks oznaka za naprezanja u stanju Ko (geostatska naprezanja). Linija koja predstavlja promjenu naprezanja po dubini ima

6

lomove na mjestima promjene jedinične težine tla i na razini nivoa podzemne vode (gdje jedinična težina tla prelazi u uronjenu težinu tla).

4.4. DODATNA NAPREZANJA U TLU OD OPTEREĆENJA Kada se tlo opterećuje objektom tada se težina objekta prenosi na tlo i izaziva dodatna naprezanja u tlu. Izvedbom nekog geotehničkog zahvata mijenja se stanje naprezanja u tlu tako da se općenito mijenjaju i normalna i posmična naprezanja (tj. i vertikalna i horizontalna naprezanja u tlu, te se mogu izazvati i promjena posmičnih naprezanja). Za nas je od interesa ustanoviti rasprostiranje dog dodatnog naprezanja ostvarenog na površini tla sa dubinom. Najjednostavnije se to može ilustrirati na primjeru raspodjele vertikalnog opterećenja po dubini po principu stošca: ako se usvoji da se sila prenosi u dubinu pod nekim kutem (npr. 300 ili 450) onda je jasno da se na svakoj novoj dubini povećava ploha na koju sila djeluje pa proizlazi da će se naprezanje smanjivati s dubinom jer sila djeluje na sve većoj površini. To vrijedi samo za dodatna naprezanja ispod centralno simetrične točke plohe opterećenja. Za vertikale izvan te točke raspodjela naprezanja po dubini može biti drugačija. Teoretska rješenja za naprezanje u dubini od djelovanja sile na površini tla temelje s ena pretpostavkama o tlu, tako da se usvaja da je tlo poluprostor, HOMOGEN (svojstva jednaka u svim točkama), ELASTIČAN (vrijedi Hookov zakon), IZOTROPAN (svojstva u svakoj točki jednaka u svim smjerovima). Premda tlo nije homogeno, nije elastično osim za vrlo male deformacije i nije izotropno pogreške u prognozi naprezanja usljed odstupanja ovakvih pretpostavki od realnog ponašanja tla su male (do 20%).

P θ φ

z

σz σr

r

dz

σt dr

r dφ

z slika 4.6. Oznake za određivanje dodatnog naprezanja u tlu pod djelovanjem sile P Zadatak se svodi na određivanje naprezanja u točki u tlu na dubini z, na udaljenosti r od vertikale ispod pravca djelovanja sile, prema slici 4.6. Danas se koristi u praksi rješenje koje je dao Boussinesq (1885) – rješenje za dodatne napone od koncentrirane sile, prema kojem je vertikalno naprezanje od sile P u nekoj točki poluprostora definirano izrazom (4.9.).

7

σz =

3Pz 3

(

2π r + z 2

)

5 2 2

(4.9.)

P = vertikalna sila, r i z sa slike 4.6. Često se koristi pojednostavljenji izraz:

σz = K

P z2

(4.10.)

gdje je K utjecajni faktor (vidi dijagram na slici 4.7.)

slika 4.7. Dijagram za određivanje koeficijenta raspodjele naprezanja u tlu pod djelovanjem sile P

8

30 28 26

Tank

40 kPa

24 22

35 30

18

25 20 15

16 10

14 12 5

Elevation (metres)

20

10 8 6 4 2 0

slika 4.8. Raspodjela naprezanja u tlu u simetrali ispod jednoliko opterećene plohe rezervara s kružnim temelja, jedinice u kN/m2 (primjer iz programa GEOSLOPE) Istraživanja pokazuju da vertikalno dodatno naprezanje ne ovisi o modulu E, a o Poissonovom koeficijentu ovisi samo tangencijalno i radijalno naprezanje (tj. horizontalno naprezanje). Istraživači su dali razna rješenja za tlo s promjenjivim modulom elastičnosti po dubini, za spriječeno bočno deformiranje, za različitu dubinu do krute podloge, za što se u litaraturi mogu naći rješenja u obliku dijagrama. U geotehničkim analizama vrlo je važan proračun slijeganja, koja se dešavaju usljed djelovanja vertikalnog dodatnog naprezanja pa se ta naprezanja najčešće računaju od djelovanja opterećenja na površini. Na slici 4.8. prikazana je raspodjela vertikalnih naprezanja ispod centra kružnog elastičnog temelja, opterećenog jednolikim opterećenjem od 40 kPa. Linije eliptičnog oblika povezuju točke jednakog vertikalnog naprezanja po dubini. Za vertikalu izvan ili na rubu plohe opterećenja vidljivo je da je vertikalno naprezanje pri mali i velikim dubinama manje (ili je nula) a u srednjem dijelu veće. Za geotehničke analize uobičajeno se crtaju geostatska i dodatna naprezanja na jednom dijagramu kao na slici 4.9. Za praktične potrebe računa se da se dodatna naprezanja trebaju ustanoviti do dubine 3.5-4 B (B je širina temelja), jer nakon te dubine imaju vrijednosti koje ne utječu bitno na proračun slijeganja (uoči na slici 4.8. na toj dubini je dodatno naprezanje ispod 20% od naprezanja na površini).

9

geostatsko naprezanje (h γ)

dodatno naprezanje z

slika 4.9. Slika općenite raspodjele geostatskih i dodatnih naprezanja po dubini; uoči da se pri manjim geostatskim naprezanjima pojavljuju veća dodatna naprezanja i obrnuto Dva su rješenja zanimljiva za geotehničke analize, a izrađena su na temelju rješenja po Bousinesq-u za djelovanje kontinuiranog opterećanja (integracijom rješenja za jednu silu), a to su rješenje po Steinbrenneru (1934.) za jednoliko opterećene prvokutne pohe, te rješenje po Newmarku (1942.) za nejednoliko kontinuirano opterećene plohe proizvoljnog oblika. Rješenje po Steinbrenner-u daje raspodjelu dodatnih naprezanja ispod kuta pravokutne plohe(1934). Za bilo kakvu pravokutnu plohu vrijedi pravilo superpozicije (radi pretpostavke o elastičnosti tla) – razdijeliti plohu na manje plohe i od njih računati utjecaj u točki od interesa (ispod plohe ili izvan plohe), kako to pokazuje slika 4.10. Vertikalno naprezanje u dubini z dobije se kao dio opterećenja na plohi prema izrazu

σ z = pI σ

(4.11.) Koeficijenti Iσ odrede se za svaku od ploha sa slike 4.10. prema dijagramu na slici 4.11. Konačno naprezanje je zbroj naprezanja od svake pojedinačne plohe umjetno odabrane tako da se točka ispod koje se traži naprezanje u dubini koristi za podjelu plohe opterećenja na pravokutnike. Za svaku odabranu dubinu se odrede koeficijenti Iσ , pa se proračun ponavlja za potrebne dubine. Ako je točka u sredini opterećene plohe tada se računa za jedan pravokutnik (četvrtinu opterećene plohe) i utjecajni faktor množi sa četiri.

=

-

-

+

slika 4.10. Princip superpozicije za rješenje po Steinbrenneru

10

slika 4.11. Koeficijenti za dodatna naprezanja ispod kuta jednoliko opterećene pravokutne plohe (za rješenje po Steinbrenneru) Newmarkovo rješenje (1942) za dodatna naprezanja dato je izrazom (4.12.).



σ z = q 1 − 

 3/ 2  r 2 / z 2 + 1 

(

1

)

(4.12.)

Vrijednosti r/z predstavljaju koncentrične krugove relativnog polumjera. Ako se crtaju za odabrano mjerilo za dubinu z onda se dobije niz koncentričnih krugova. Grafička primjena ovog rješenja svodi se na crtanje plohe opterećenja u određenom mjerilu sa krugovima kod kojih svako polje daje jednaki utjecajni faktor. Veličina plohe definira broj pokrivenih utjecajnih polja, koja mogu imati i različito opterećenje. Centar krugova postavlja se na točku ispod koje se traže dodatna naprezanja po dubini. Broj koncentričnih krugova i pravaca koji ih dijele a prolaze kroz centar daje utjecajni faktor (jer se tako odredi broj polja, pa je za 10 krugova i 10 pravaca kroz centar koji tvore 20 polja među njima ukupno 10 x 20 = 200 polja, te je utjecajni faktor 1/200 = 0.005). Potrebno je naglasiti da rješenje po Boussinesq-u odstupa od stvarne raspodjele u sljedećim situacijama: - kod male debljine stišljivog sloja na nestišljivom tlu - kod tla različite krutosti po dubini (nehomogenost) - kod opterećenja u dubini tla (duboki temelj) Ta odstupanja mogu biti i do 50% vrijednosti određene na temelju rješenja po Bousinesq-u. Danas se raspodjela dodatnih napona po dubini računa kompjutorskim programima, za razne (proizvoljne) uvjete opterećanja i svojstva tla.

11

Obično se na gotove dijagrame, kao onaj na slici 4.12., u mjerilu slike ucrta opterećena ploha za odabranu dubinu z (mjerilo za dubinu z je uvijek razmak točaka A i B). Za veće dubine tlocrt plohe opterećenja se smanjuje pa tako i naprezanja opadaju s dubinom.

slika 4.12. Dijagram za određivanje utjecajnih faktora za dodatna naprezanja po Newmarku 4.5. DODATNA NAPREZANJA U TLU OD VODE Promjena nivoa podzemne vode izaziva dodatna naprezanja u tlu. Zbog sniženja nivoa vode tlo "oteža" radi smanjneja uzgona. Takva dodatna naprezanja su jednaka po dubini jer se radi o promjeni u čitavom poluprostoru. Posebna dodatna opterećenja nastaju usljed strujanja vode u tlu. Ta pojava shematski je prikazana na slici 4.13. Razlika potencijala na krajevima uzorka izaziva tečenje koje se sasvim potroši na trenje kroz uzorak, izazivajući strujne sile u tlu. Gradijent toka (hidraulički gradijent, i=h/L) djeluje suprotno od sile tla ( može izazvati nastanak kritičnog hidrauličkog gradijenta) Neka je rezultantna sila na tlo sa slike 4.13. volumska sila označena po jedinici volumena kao γ'', pa je jednadžba ravnoteže ta vertikalne sile:

γ ,, ⋅ L ⋅ A = z ⋅ γ v ⋅ A + γ ⋅ L ⋅ A − (L + z + h )γ v ⋅ A što se može raspisati na dva načina: h γ , , = γ − γ V + ⋅ γ v = γ , + iγ v L što je ekvivalentno izrazu

γ ,, = γ − γ V +

h ⋅ γ v = γ − (γ v − iγ v ) = γ − u v L

(4.13.) (4.14.)

(4.15.)

12

h

z γv A z γv A

z

= L

+

γ γ

L+z h γv A strujanje (trenje)

(z + L) γv A (čisti uzgon)

(h + z + L) γv A (ukupna sila od vode) slika 4.13. Utjecaj strujanja vode na sile (i naprezanja) na tlo To znači da se konačna sila na jedinicu volumena tla može dobiti kao ZBROJ URONJENE TEŽINE I STRUJNOG TLAKA ili kao ZBROJ TOTALNE TEŽINE I PORNOG TLAKA. (treba primijeiti da su jednadžbe 4.13-4.15. u stvari vektorske-vrijede za bilo koji smjer tečenja vode). Sličan dokaz pokazat će se i grafički, na slici 4.14. Prema dijagramu sila na jedinicu volumena na slici 4.14. vidi se da se preko nerastavljenih sila (γ i u) može dobiti konačna sila analogna izrazu 4.15. a isto tako ta sila se može dobiti kada se uzme u obir djelovanje uzgona (γ-γv=γ') i djelovanje strujnog tlaka (iγv). γ’

u = hγv

γv

γ’’ γ

iγv

u

slika 4.14. Određivanje dodatnih sila na jedinični volumen tla od strujanja vode Porni tlak i strujni tlak u bilo kojoj točki tla kada postoji strujanje vode mogu se odrediti pomoću strujne mreže. Porni tlak je lako odrediti za svaku točku pomoću ekvipotencijale koja njome prolazi, vodeći računa da je ukupni potencijal zbroj piezometarskog (tlačnog) i geodetskog (položajnog), pa je tlačna visina vertikalna udaljenost od promatrane točke na ekvipotencijali do horizontalne crte koja prolazi sjecištem te ekvipotencijale i strujnice s tlakom nula (vodno lice). Tlak u toj točki je produkt tlačne visine i jedinične težine vode.

13

4.6. DODATAK - dijagrami za određivanje dodatnih naprezanja u tlu

za kružni temelj s jednolikim opterećenjem

14

b

a

a) vertikalna naprezanja ispod jednoliko opterećene pravokutne plohe b) vertikalna naprezanja ispod trokutasto opterećene trake