03 Analisis Dimensional

ANÁLISIS DIMENSIONAL

M. en C. RICARDO ROBERTO HORTA OLIVARES PROFESOR DE LA ACADEMIA DE BIÓNICA.

Ejemplo 1, 1ª Y 2ª Leyes de Newton Galileo hizo un gran avance en la comprensión del movimiento cuando descubrió el Principio de Inercia: si un objeto se abandona y, si no es perturbado, continúa moviéndose con una velocidad constante en una línea recta si es que estaba originalmente moviéndose ó continúa en reposo si es que estaba en reposo.

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por ejemplo:

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Para conocer la relación entre nuestras tres variables básicas, L, m y t, con la variación de L en el tiempo (v, velocidad), aplicamos el Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

Π 1 = Π 1 (L, m, t , v ) = La M b t c Ld t − d = La + d M b t c − d Sea : a = 1 ⇒ d = −1, c = −1 y b = 0 Por lo tanto : L L 1 0 −1 −1 Π1 = L m t v = ∴ v= t ⋅v t Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Newton escribió 3 leyes, la 1ª ley fue una mera confirmación del Principio de Inercia de Galileo. La 2ª ley dio una manera específica para determinar como la velocidad cambia bajo diferentes influencias llamadas “fuerzas”. La 3ª ley describe las fuerzas con algún detalle de la igualdad de la acción y reacción. La 2ª Ley de Newton sostiene que las fuerzas cambian el movimiento de un objeto de este modo: “la variación temporal de una cantidad llamada momentum (p) es proporcional a la fuerza”. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevas tres variables básicas, L, m, y v con la cantidad de masa en movimiento (p, momentum), aplicamos el Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

Π1 = Π1 (L, m, v, p ) = La M b Lc t − c M d Ld t − d = La +c+ d M b+ d t − c−d Sea : b = 1 ⇒ d = −1, c = 1 y a = 0 Por lo tanto : mv 0 1 1 −1 Π1 = L m v p = ∴ p = m⋅v p

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

De nuevo, para conocer la relación entre nuestras nuevas tres variables básicas, L, t, y p con la variación de p en el tiempo (F, fuerza), aplicamos el Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un producto adimensional Π1: Π1 = Π1 (L, t , p, F ) = La t b M c Lc t − c M d Ld t −2 d = La+c+d M c+d t b−c−2 d Sea : c = 1 ⇒ d = −1, b = −1 y a = 0 Por lo tanto : p p Π1 = L0t −1 p1 F −1 = ∴ F= F ⋅t t v v ⇒ F = m⋅ ∴ F = m⋅a Con : a = t t a = aceleración Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Ejemplo 2, Definiciones Eléctricas. En el S.I. De unidades, por acuerdo internacional, se ha aceptado que para medir la intensidad de una corriente eléctrica se use el amperio, nombre que recuerda al sabio físico y matemático francés, André Marie Ampere; para la diferencia de potencial, el voltio, como reconocimiento a Volta y para la resistencia eléctrica el ohmio, para perpetuar la memoria del sabio alemán descubridor de la ley. La corriente eléctrica es una corriente de electrones (Q), por consiguiente, el número de ellos en cierto lapso de tiempo (t) a través de una resistencia unitaria (R) es lo que se llama intensidad de corriente eléctrica. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Para conocer la relación entre nuestras tres variables básicas, Q, t, y R con la variación de Q en el tiempo (I, corriente), cantidad de carga en movimiento, aplicamos el Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

Π1 = Π1(R, Q, t, I ) = RaQbt cQdt −d = RaQb + dt c − d Sea : b = 1 ⇒ d = −1, c = −1 y a = 0 Por lo tanto : Q Q 0 1 −1 −1 Π1 = R Q t I = ∴ I= t⋅I t Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

El físico alemán, George Simón Ohm, despues de una serie numerosa de experimentos para fijar los factores que afectan a la corriente eléctrica, estableció en 1827 la relación que existe entre ellos y enunció su ley como sigue: “La intensidad de una corriente eléctrica (I ) varía directamente proporcional a la diferencia de potencial (V ) e inversamente a la resistencia del conductor (R )”

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Ahora, para conocer la relación entre nuestras tres variables básicas, I, t, y R con el potencial eléctrico producido en una resistencia unitaria por una corriente unitaria (V, voltaje), aplicamos el Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

Π1 = Π1 (t , R, I , V ) = t a R b I c R d I d = t a R b + d I c + d Sea : b = 1 ⇒ d = −1, c = 1 y a = 0 Por lo tanto : RI 0 1 1 −1 Π1 = t R I V = ∴ V = R⋅I V Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Así pues, se define el ohmio como “la resistencia que presenta un conductor que al aplicarle entre sus extremos una diferencia de potencial de un voltio, es recorrido por una corriente de un amperio”. Así mismo el voltio es definido como “la diferencia de potencial eléctrico (V ) que existe entre dos puntos de un hilo conductor (R ), que transporta una corriente constante de un amperio (I ), cuando la potencia eléctrica (P ) disipada entre estos dos puntos es igual a un Vatio”. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Ahora, para conocer la relación entre nuestras nuevas tres variables básicas, I, R, y V con la potencia eléctrica disipada en una resistencia unitaria por una corriente y potencial unitarios (P, potencia), aplicamos el Teorema de Buckingham. Donde n=4 y k=3, por lo que n – k = 1. Un producto adimensional Π1:

Π1 = Π1(R, I, V, P ) = Ra I bV c I dV d = Ra I b + dV c + d Sea : b = 1 ⇒ d = −1, c = 1 y a = 0 Por lo tanto : I ⋅V 0 1 1 −1 Π1 = R I V P = ∴ P =V ⋅I P 2 V ó: P = RI 2 = R Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Ejemplo 3 La fuerza de arrastre Fa que actúa sobre un cuerpo (esfera) que se mueve por un fluido de viscosidad µ [M/LT] y densidad ρ [M/L3], es una función del diámetro D [L] y de la velocidad v [L/T] del objeto con relación al fluido. Determinar (a) la forma de la ecuación de esta fuerza y (b) la fuerza de arrastre de una esfera del doble de tamaño a la misma velocidad. Número de variables:

5

Número de dimensiones:

3 y sean D, v y ρ.

Número de Grupos Adimensionales:

5-3=2

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Fa = ( D, v, ρ , µ )

(a) Tenemos: Resolvemos para Π1 : a b

c

d

−b

c

−3c

Π1 = Π1 ( D v ρ µ ) a b

d

−d

Π1 = L L T M L M L T a + b −3c − d

Π1 = L

M

c+d

T

−b − d

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−d

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas:

a + b − 3c − d = 0 Sea b = 1   c+d =0   ⇒ d = −1  − b − d = 0 c =1 y a =1   Por lo tanto:

 Dvρ  Π1 = Π1 ( D v ρ µ ) = Π1    µ  1 1

1

−1

Que es el Número de Reynolds (Re), que es la razón de la Fuerza de Inercia a la de fricción. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Resolvemos para Π2 : a b

c

d

−b

c

−3c

Π 2 = Π 2 ( D v ρ Fa ) a b

d

d

Π2 = L L T M L M L T

−2d

Π 2 = La +b −3c + d M c + d T −b − 2 d Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas:

a + b − 3c + d = 0 Sea b = 1   c+d =0   ⇒ d = − 12  − b − 2d = 0  c = 1 y a = 1 2   Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto: 2 2     ρ D v ρ 1 1 12 2  = Π2  Π 2 = Π 2 ( D v ρ Fa ) = Π 2  Dv   Fa   Fa   −1

De acuerdo con Buckingham:

Π0 = f (Π1 , Π2 ) = 1  D2v2ρ   ρvD   = 1 Π1  ⋅ Π2  µ   Fa  2 2  ρvD  2 2 Fa = D v ρ  = D v ρ Re  µ  Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

(b) Por el principio de similitud, tenemos que D 2=2 D 1 y v1=v2: 2

2

2

2

D1 v1 ρ1 D2 v2 ρ 2 = Fa1 Fa 2 2

2

2

2

D1 D2 D1 4 D1 = ∴ = Fa1 Fa 2 Fa1 Fa 2 ⇒ Fa 2 = 4 Fa1

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Ejemplo 4, Grupos Adimensionales en la Mecánica de Fluidos. La fuerza de inercia FI que actúa sobre una burbuja que se mueve por un fluido de viscosidad µ [M/LT] y densidad ρ [M/L3], es una función del diámetro D [L] y de la velocidad v [L/T] del objeto con relación al fluido. Determinar la forma de las ecuaciónes de las fuerzas debidas a: la gravedad g [L/T2]; normales o de presión p [M/T2L]; fricción, debidas a la viscosidad µ; tangenciales, debidas a la tensión superficial σ [M/T2]; normales, debidas a la compresibilidad κ [M/LT2]. Número de variables: 9 3 y sean D, v y ρ. Número de dimensiones: Número de Grupos 9-3=6 Adimensionales: Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

FI = m ⋅ a = Fg + Fp + Fµ + Fσ + Fκ

Tenemos:

Resolvemos para Π0 : a b

c

d

−b

c − 3c

Π0 = Π0(D v ρ FI ) a b

d d

Π0 = L L T M L M L T a + b − 3c + d

Π0 = L

M

c+d

T

−b − 2d

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− 2d

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas: a + b − 3c + d = 0  Sea b = 1   c + d = 0   ⇒ d = − 12  − b − 2d = 0  c = 1 y a = 1 2  

Por lo tanto: 2 2    ρ D vρ 1 1    Π0 = Π0(D v ρ FI ) = Π0 Dv = Π0  FI   FI   1 2

Es decir:

− 12

FI = D2v2ρ

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2 2

FI = D v ρ

Tenemos: Resolvemos para Π1 : a b

c

d

−b

c −3c d

Π1 = Π1(D v ρ g ) a b

Π1 = L L T M L L T a + b −3c + d

Π1 = L

c

MT

−b − 2d

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

− 2d

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas: a + b − 3c + d = 0  Sea b = 1   c = 0   ⇒ d = − 12  − b − 2d = 0  c = 0 y a = − 1 2  

Por lo tanto:

 v Π1 = Π1(D v ρ g ) = Π1  D⋅g − 12 1 0

− 12

   

Que es el Número de Froude (Fr), la razón de la Fuerza de Inercia a la de gravedad. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la gravedad es:

FI D2v2ρ 3 Fg = = = D gρ 2 v Fr Dg

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2 2

FI = D v ρ

Tenemos: Resolvemos para Π2 :

Π 2 = Π 2 ( D a v b ρ c Δp d ) a b

−b

c

−3c

d

−d

Π2 = L L T M L M L T a + b −3c − d

Π2 = L

M

c+d

T

−b − 2 d

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

−2d

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas: a + b − 3c − d = 0 Sea b = 1   c + d = 0   ⇒ d = − 12  − b − 2d = 0  c = 1 y a = 0 2  

Por lo tanto: 2    ρ v ρ 0 1    Π 2 = Π 2 ( D v ρ Δp ) = Π 2  v = Π 2    Δp   Δp  1 2

− 12

Que es el Número de Euler (Eu), la razón de la Fuerza de Inercia a la de presión. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la presión es:

2 2

FI D v ρ Fp = = 2 = D 2 Δp v ρ Eu Δp

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2 2

FI = D v ρ

Tenemos: Resolvemos para Π3: a b

c

d

−b

c

−3c

Π3 = Π3 (D v ρ µ ) a b

d

−d

Π3 = L L T M L M L T a + b −3c − d

Π3 = L

M

c+d

T

−b − d

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

−d

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas: a + b − 3c − d = 0 Sea b = 1   c + d = 0   ⇒ d = −1  − b − d = 0 c =1 y a =1  

Por lo tanto:

 Dvρ  Π 3 = Π 3 ( D v ρ µ ) = Π 3    µ  1 1

1

−1

Que es el Número de Reynolds (Re), la razón de la Fuerza de Inercia a la de fricción. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la fricción es:

FI D 2 v 2 ρ Fµ = = = Dvµ Dvρ Re µ

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2 2

FI = D v ρ

Tenemos: Resolvemos para Π4: a b

c

d

Π 4 = Π 4 (D v ρ σ ) Π 4 = La LbT −b M c L−3c M d T − 2 d Π 4 = La +b −3c M c + d T −b − 2 d

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas: a + b − 3c = 0 Sea b = 1   c + d = 0   ⇒ d = − 12  − b − 2d = 0  c = 1 y a = 1 2 2  

Por lo tanto: 2    D ρ Dv ρ 1     Π 4 = Π 4 (D v ρ σ ) = Π 4  v = Π4  σ   σ   1 2

1 2

− 12

Que es el Número de Weber (We), la razón de la Fuerza de Inercia a la tensión superficial. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la tensión superficial es:

2 2

FI D v ρ Fσ = = = Dσ 2 We Dv ρ σ

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2 2

FI = D v ρ

Tenemos: Resolvemos para Π5:

Π 5 = Π 5 ( D a v b ρ cκ d ) Π 5 = La LbT −b M c L−3c M d L− d T − 2 d a + b −3c − d

Π5 = L

M

c+d

T

−b − 2 d

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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas: a + b − 3c − d = 0 Sea b = 1   c + d = 0   ⇒ d = − 12  − b − 2d = 0  c = 1 y a = 0 2  

Por lo tanto:

     ρ v   0 1 12 − 12  = Π 5 Π 5 = Π 5 ( D v ρ κ ) = Π 5  v  κ  κ      ρ 

Que es el Número de Mach (Ma), la razón de la Fuerza de Inercia a la de elasticidad, siendo el radical la velocidad del sonido en el fluido. Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto, la Fuerza debida a la elasticidad es:

2 2

FI Dv ρ Fκ = = 2 = D 2κ v ρ Ma κ

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Ejemplo 5 La hemodinámia se encarga de investigar los fenómenos físicos que gobiernan el flujo de sangre en el sistema circulatorio. Utilizando el teorema de Buckingham establezca las expresiones que describen el flujo sanguíneo considerando las siguientes variables: masa M [M], longitud L [L], velocidad v [L/T], densidad ρ [M/L3], viscosidad µ [M/LT] y presión P [ML/(LT)2]. Número de variables:

6

Número de dimensiones:

3 y sean M, L y v.

Número de Grupos Adimensionales:

6-3=3

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Resolvemos para Π1 :

a b c

d

Π1 = Π1(M L v µ ) a b c

−c

d −3d

a+d

−c

Π1 = M L L T M L b + c −3d

Π1 = L

M

T

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Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas:

 a + d = 0  Sea : a = 1   b + c − 3d = 0  ⇒ d = −1  − c = 0  y b = −3   Por lo tanto:

 M  Π1 = Π1(M L v ρ ) = Π1 3   Lρ  1 −3 0

−1

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Resolvemos para Π2 : a b c

d

Π2 = Π2(M L v P ) a b c

−c

d −d

Π2 = M L L T M L T

− 2d

Π2 = Lb + c − d M a + dT −c − 2d Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas:

 a + d = 0  Sea : a = 1   b + c − d = 0  ⇒ d = −1  − c − 2d = 0  c = 2 y b = −3   Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

Por lo tanto:

 Mv  Π2 = Π2(M L v P ) = Π2 3   LP  1 −3 2

−1

Resolvemos para Π3:

a b c

d

Π3 = Π3(M L v µ ) a b c

−c

d −d

Π3 = M L L T M L T b+c−d

Π3 = L

M

a+d

T

−c − d

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

−d

Igualamos a cero los exponentes y resolvemos como ecuaciones simultáneas:

 a + d = 0  Sea : a = 1   b + c − d = 0  ⇒ d = −1  − c − d = 0  c = 1 y b = −2   Por lo tanto:

 Mv  Π3 = Π3(M L v µ ) = Π3 2   Lµ  1 −2 1

−1

Prof. Ricardo R. Horta Olivares, Acad. de Biónica, UPIITA.

BIBLIOGRAFÍA STREETER, L. VICTOR, MECÁNICA DE LOS FLUIDOS, ED. Mc. GRAW-HILL, 1990 AIN A. SONIN, The Phisical Basis of DIMENSIONAL ANALYSIS, 2a Edition, Department of Mechanical Engineering MIT, Cambridge, MA 02139 GEOFFREY GORDON, SIMULACIÓN DE SISTEMAS, ED. DIANA, 1980 STEPHEN BONE- BOGUMIL ZABA, BIOELECTRONICS, ED. WILEY, 1992 LOWEN SITERER-BOHDAN T. KULAKOWSKI, DINAMIC MODELING AND CONTROL OF ENGINEERING SYSTEM, EL COLLIER MACMILLAN, 1990 PAUL A. LUKER, BERND SCHMIOT, R. P. VAN WIJK VAN BRIEVING, D. P. F. MÖLLER, BIOMEDICAL MODELING AND SIMULATION ON A PC, ADVANCES IN SIMULATION, ED. SPRINGER-VERLAG, 1993

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