ĐỀ RA KÌ NÀY - TẠP CHÍ KVANT 03-2006 Nhóm dịch thuật Kvant - Cộng đồng MathVn http://mathvn.org
M1996. Tìm tất cả các giá trị tự nhiên n sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên với , , … , phân biệt. M1997. Cho tam giác vuông với diện tích 1 đơn vị, về phía ngoài các cạnh tam giác dựng các hình vuông vuông tâm lần lượt là , , . Chứng tỏ rằng diện tích tam giác nhỏ hơn 2. M1998. Có hai hộp đựng sỏi, hộp thứ nhất chứa hòn sỏi, hộp còn lại chứa hòn sỏi. Cứ sau 1 phút ta tự động lấy đúng một nửa số sỏi của hộp có số sỏi là số chẵn và bỏ qua hộp còn lại. Qui ước: Nếu 2 hộp đều có số sỏi là chẵn thì chọn ngẫu nhiên, và cả 2 hộp đều số sỏi là lẻ thì quá trình dừng lại. Hỏi tồn tại bao nhiêu cặp , có thứ tự không lớn hơn 1000, sao cho sau 1 khoảng thời gian nhất định quá trình dừng lại. M1999. Có thể sắp đặt lên tờ giấy kẻ ô vuông vô hạn 2005 hình chữ nhật gồm 3 ô sao cho mỗi hình chữ nhật có đúng một điểm chung với hai hình chữ nhật khác và không có điểm chung nào với các hình chữ nhật còn lại. M2000. Có nhà hiền triết một lượng vô hạn chiếc mũ với màu khác nhau. Các nhà hiền triết đồng thời nhắm mắt lại, mà mỗi người họ đội lên đầu mình một cái mũ (có thể các mũ được đội có cùng màu). Tiếp theo các nhà hiền triết mở mắt ra. Mỗi người thấy các mũ được đội của người khác nhưng không thấy mũ của mình màu gì. Sau đó mỗi nhà hiền triết thử đoán màu mũ của mình, viết các giả định của mình vào một tờ giấy. Chứng minh rằng các nhà hiền triết có thể sớm kết luận được trong bất kì trường hợp có ít nhất một người đoán được màu mũ của mình. M2001. Cho tam giác và các đường phân giác , ,
. Số đo các góc tam giác tỉ lệ với 4:2:1. Chứng minh rằng . M2002. Tổng các số dương , , bằng 1. Chứng minh rằng 1 1 1 25 1 478 M2003. Chứng minh các khẳng định sau
a. Với bất kì số nguyên dương , , , phương trình
! " luôn có nghiệm
nguyên dương , !, " b. Với bất kì số chẵn 3 và bất kì số nguyên dương , , thì phương trình có nghiệm nguyên dương , !, ", $.
! " $ luôn
M2004. Kahlson có 1000 lọ mứt, các lọ không nhất thiết phải giống nhau về thể tích nhưng không có lọ nào chứa nhiều hơn 1/100 lượng mứt trong tất cả các lọ. Kahlson có thể ăn sáng với lượng như nhau trong 100 lọ bất kì. Chứng minh rằng sau một số hữu hạn bữa ăn sáng thì Kahlson có thể ăn hết số mứt trong các lọ. M2005. Chứng tỏ rằng bất kì hình đa diện lồi đỉnh nào đều không thể chia ra thành ít hơn % 3 tứ diện