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Elementi di algebra matriciale Per matrice m × n si intende una tabella di mn numeri disposti in m righe ed n colonne. Tale matrice si suole indicare con A. Se aij è l’elemento della riga i-esima e della colonna j-esima, allora

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(1)

 a11 a12 K  a a22 K A =  21  M M   am1 am 2 K

a1n   a 2n  M  amn 

Per abbreviare la notazione si scrive anche A = (aij). In questo caso si suppone che i vari da 1 a m e j vari da 1 a n. Se accade che m = n si dice che A è quadrata. Gli elementi aij della matrice che considereremo da qui in avanti saranno numeri reali.

Si chiama trasposta di una matrice A di dimensioni m × n la matrice AT oppure A’ di dimensioni n × m le cui righe sono le colonne di A:

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(2)

AT

 a11 a21 K  a a22 K =  12  M M   a1n a2 n K

am1   am 2  M  amn 

La matrice A è detta simmetrica se AT = A. Le matrici simmetriche sono necessariamente quadrate. Si osservi che (AT)T\= A per qualunque matrice A.

Molto spesso si deve considerare un vettore n-dimensionale x come una matrice n × 1 avente n righe ed 1 colonna:

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(3)

 x1    x x= 2  M    xn 

In quanto tale, x è chiamato vettore colonna. xT ha una riga ed n colonne per cui è chiamato vettore riga: (4)

xT = ( x1 , x2 ,..., xn )

Per matrici m × n è definita la somma (o differenza): A ± B = C = (cij). Ogni elemento cij = aij + bij Slide 4

La conformabilità per la somma delle due matrici richiede che esse siano dello stesso ordine. La somma è associativa e commutativa. Esempio

Gran parte dell’utilità delle matrici dipende dalla seguente definizione di moltiplicazione fra matrici, che permette di combinare due matrici, ottenendone una sola, e in modo da preservare le relazioni lineari. Se A = (aij) è una matrice m × n e B = (bij) è una matrice n × p, allora il prodotto AB è la matrice C = (cij) di dimensione m × p i cui elementi sono dati da: n

cij = ∑ aik bkj ,

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i = 1, …, m,

j = 1,…, p

k =1

Due matrici A e B sono conformabili se è possibile il prodotto AB, ossia se sono di opportuna dimensione. Se la prima è m × n e la seconda è p × n esse non sono conformabili. La moltiplicazione matriciale è associativa, infatti: A(BC) = (AB)C. La moltiplicazione matriciale non è commutativa. Inoltre, può sorgere un problema di conformabilità, che impedisce che la moltiplicazione sia commutativa.

La matrice identità n × n è la matrice:

(11) Slide 6

1 0 I= M 0

0 1 M 0

K K O K

0 0 M 1

Ovviamente, I commuta con ogni matrice n × n: IA = AI = A. AB = IAB = AIB = ABI → A0nn = 0mn = 0mmA → Moltiplicazione con scalare

Moltiplicazione di matrici scomposte. Se

due

matrici

A

e

B

sono

opportunamente

scomposte,

la

loro

moltiplicazione può aver luogo come se le submatrici fossero elementi di una matrice, nel modo seguente:

| A12  B11 | B12   A11B11 + A12 B21 | A11 B12 + A12 B22  A 11      AB =  − − − − − −   − − − − − −  =  − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  A 21 | A 22  B 21 | B 22   A21B11 + A22 B21 | A21 B12 + A22 B22  purchè le submatrici come A11 e B11 siano appropriatamente conformabili. Questo risultato è generalmente vero e la moltiplicazione delle matrici per Slid

blocchi può essere interpretata come un’estensione della regola di

e7

moltiplicazione ordinaria. Ciò si può illustrare mostrando che:

B 1  M A 2 ]  L  = A1B1 + A 2B 2 B 2 

[ A1

Gli ordini di A1, A2, B1 e B2 devono essere, rispettivamente: 1xp; 1x(n-p); lx1; (n-l)x1. Nella slide seguente mostriamo gli ordini delle submatrici di A (mxn) e B (nxs) quando si voglia ottenere il prodotto AB usando le scomposizioni prima evidenziate delle 2 matrici. A ∈ ¡ m× n n p n–p l m

m– l

| A12  A 11 − − − − − −    A 21 | A 22 

B∈ ¡ q

n× s

s s–q

| B12  B 11 − − − − − −    B 21 | B 22 

p n– p

Sli de 8

A11 ∈ ¡

l× p

B11 ∈ ¡

p×q

A21 ∈ ¡

( m −l) × p

B 21 ∈ ¡

( n − p) ×( s − q)

A12 ∈ ¡ l ×( n− p ) B12 ∈ ¡ p×( s − q ) A22 ∈ ¡ ( m −l )× ( n− p ) B 22 ∈ ¡ ( n − p )×( s − q ) Nel matrice prodotto risultante è evidenziato qui di seguito che gli elementi della prima riga sono il prodotto di submatrici conformabili. A 11B 11 + A 12B 21    (l × p ) × ( p × q) [ l ( n − p ) ] × (n − p )( s − q )    A 21B 11 + A 22B 21 

A 11B 12 + A 12B 22

   (l × p) [ p ( s − q) ] l ( n − p) [ ( n − p )( s − q ) ]     A 21B 12 + A 22B 22 

Proprietà delle MX trasposte (A + B)T = A T + BT; (AB)T = BTA T ; (A T)T = A ; I T = I Se A T = A, A è una matrice simmetrica, ossia aij = aji. Se A ∈ ¡ Slide 9

n× n

, x’Ax è uno scalare (forma quadratica) nelle variabili x.

La matrice A può essere sempre scritta in modo che A = A’. Una simile matrice può servire per assegnare dei pesi alle variabili che compongono il vettore x, elevate al quadrato. (Interpretare x’Ix.) y’Az è detta forma bilineare ed è anch’essa uno scalare. La matrice A può servire per dare dei pesi alle combinazioni (prodotti) delle variabili che compongono i due vettori,

Determinante e matrice inversa In generale è possibile definire il determinante det(A) per una qualunque matrice quadrata. Per un matrice quadrata di dimensione n × n si indica il suo determinante come:

Slide 10

(5)

a11 a12 K a a22 K det(A ) = 21 M M an1 an 2 K

a1n a 2n M ann

Non cercheremo di dare una definizione formale di determinante, ma noteremo che un determinante n × n può essere sviluppato nei minori secondo qualunque sua riga o colonna, e quindi può essere espresso come somma di multipli di determinanti (n – 1) × (n – 1)

Continuando questo processo possiamo alla fine ricondurci al calcolo di (forse parecchi) determinanti 2 × 2 o 3 × 3, di cui ora daremo la definizione. Il determinante di una matrice A di dimensioni 2 × 2 risulta essere così definito: Slide 11

(6)

a b = ad – bc c d

Analogamente, un determinante 3 × 3 risulta essere così definito: (7)

a d g

b e h

c f = aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb i

Si osservi ora che possiamo ricondurci al calcolo interattivo di determinanti di ordine 2 raccogliendo a fattor comune gli elementi della prima riga:

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(8)

a d g

b e h

c f = a(ei – fh) – b(di – fg)+ c(dh – eg) i

(9)

=a

e h

f d −b i g

f d +c i g

e h

I determinanti 2 ×

2 così ottenuti vengono chiamati minori del

determinante 3 ×

3. Questo processo è chiamato sviluppo del

determinante 3 × 3 nei minori secondo la prima riga. Lo sviluppo dei minori può essere effettuato secondo qualunque riga o colonna.

Si noti che compare un segno “–“ in ogni termine il cui minore è ottenuto eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima, quando i + j è un numero dispari. Ad esempio possiamo sviluppare il determinante precedente in minori lungo la seconda colonna nel modo seguente: Slide 13

a d g

(10) Naturalmente

questo

b e h

valore

c d f = −b g i coincide

f a c a +e −h i g i d con

quello

c f ottenuto

in

precedenza.

Per i determinanti è possibile enunciare le seguenti proprietà: • se due righe di un determinante si scambiano fra loro, il determinante cambia di segno; • se due righe di un determinante sono uguali il determinante ha valore nullo; Slide 14

• se un multiplo di una riga è sommato a un'altra riga, il determinante rimane inalterato. Se A e B sono due matrici n × n allora det(AT) = det(A). Inoltre det(AB) = det(A) det(B). Si dice che la matrice quadrata A è singolare se det(A) = 0. Se det(A) ≠ 0 si dice che A è non singolare.

L'inversa di una matrice quadrata A non singolare è una matrice quadrata non singolare A

(12)

–1

che soddisfa: AA

–1

=A

–1

=I

Ogni matrice quadrata non singolare A ha un’inversa A–1 unica. Inoltre l’inversa soddisfa

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1 det(A )

(13)

det(A -1 ) =

(14)

(A–1)T = (AT) –1

Indichiamo ora il modo per calcolare l’inversa di una MX A. I passi sono i seguenti: 1. si calcolano i cofattori Ars di ogni elemento ars di A. 2. si dispongano tali cofattori in una MX. 3. si ottenga la trasposta di questa matrice. 4. la A

Slide 16

–1

si ottiene dividendo la Mx di cui al punto precedente per il det

Il cofattore di ars in A è indicato con Ars, un determinante di ordine (n – 1) ottenuto da A di ordine n eliminando la resima riga e la sesima colonna e applicandovi il segno (–1)r + s. Vi sono tanti cofattori quanti sono gli elementi e possono essere disposti in una matrice [Ars] di ordine n × n. Si scriva la trasposta di questa matrice, detta matrice aggiunta di A:  A11 A [ Ars ]' =  12  ...   A1n

A21 A22 ... A2 n

... An1  ... An 2  ... ...   ... Ann 

La matrice inversa si forma dividendo ogni elemento in [Ars]’ per il valore del determinante A, dato che A ≠ 0. Questa matrice è indicata con A –1. Definizione:  A11   Ars  1  A12 −1 A = =  | A |  | A |  ...   A1n

A21 A22 ... A2 n

... An1  ... An 2  , (| A |≠ 0) ... ...   ... Ann 

E’ necessario che A sia quadrata e che A ≠ 0.

Proprietà dell’inversa.

A –1B ≠ B A (A –1)

–1

–1

=A

(A B) –1 = B–1 A (A’ )

–1

–1

= (A–1)’

Operazioni elementari e rango Operazione elementare: scambio di righe (o colonne); somma del multiplo h di una riga ad altra riga; prodotto di k per una riga. Matrice equivalente. A ottenuta da B per una sequenza di Slide 17

operazioni elementari. Propositi ed esempi Rango: submatrici; submatrici quadrate; ρ(A) = r, dove r è l’ordine massimo delle submatrici per le quali si ha Δ ≠ 0.

Trasformazioni lineari Una funzione F il cui dominio è lo spazio m-dimensionale ¡ m e la cui immagine è contenuta nello spazio n-dimensionale ¡ trasformazione lineare da ¡ m a ¡

n

n

è chiamata

se soddisfa la condizione

F(λ x + µ y) = λ F(x) + µ F(y)

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per tutti i punti x e y di ¡

m

e tutti i numeri reali λ

e µ . A tale

trasformazione lineare F corrisponde una matrice F di dimensione n × m tale che, per tutti x ∈ ¡ m , si abbia: F(x) = F x,

ovvero, espresso in termini delle componenti di x,

(15)

Slide 19

 x1    x F ( x1 , x2 ,..., xm ) = F  2   M    xn 

Si dice che F è una rappresentazione matriciale della trasformazione lineare F. Se m = n, per cui F trasforma ¡

m

in se stesso, allora F è una matrice

quadrata. In questo caso F è non singolare se e solo se F è biunivoca e ha l’intero ¡

m

come immagine.

La composizione di trasformazioni lineari è ancora una trasformazione lineare e quindi avrà una rappresentazione matriciale. La motivazione reale su cui si basa la definizione di moltiplicazione matriciale è che la rappresentazione matriciale di una composizione di trasformazioni lineari è il prodotto delle matrici individuali che rappresentano le trasformazioni della composizione. Slide 20

Se F è una trasformazione lineare da ¡

m

a ¡ n , rappresentata dalla

matrice F di dimensione n × m, e se G è una trasformazione lineare da ¡

n

a ¡ p , rappresentata dalla matrice G di dimensione p × n, allora la

composizione G o F(x1, x2,…, xm) = G(F(x1, x2,…, xm)) è essa stessa una trasformazione lineare da ¡

m

a ¡ p , rappresentata dalla matrice GF di

dimensione p × m. Risulta cioè: G(F(x)) = GFx

Equazioni lineari Un sistema di n equazioni lineari in n incognite: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 Slide 21

(16)

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 M an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann x n = bn

può essere scritto in modo compatto come una singola equazione matriciale Ax = b,

dove

(17) Slide 22

 a11 a12 K  a a22 K A =  21  M M   an1 an 2 K

a1n   x1   b1       a 2n  x2    b2  x = b = , ,  M  M M      ann   xn   bn 

Confrontiamo l’equazione Ax = b con l’equazione ax = b per una sola incognita x. ax = b ha l’unica soluzione x = a–1b purchè a ≠ 0. Analogamente il sistema lineare Ax = b ha un’unica soluzione data da Ax = b a condizione che A sia non singolare.

Per vedere questo, si moltiplicano a sinistra per A–1 entrambi i membri dell'equazione Ax = b. Se A è singolare, allora il sistema Ax = b può avere o può non avere una soluzione, a seconda del vettore b, e se una soluzione esiste, allora non sarà unica. Consideriamo il caso b = 0 (vettore nullo). Allora qualunque vettore x perpendicolare a tutte le righe di A Slide 23

soddisferà il sistema. Siccome le righe di A giacciono in uno spazio di dimensione minore di n (poiché il det(A) = 0) vi sarà almeno una retta di tali vettori x. Quindi la soluzione di Ax = 0 non è unica se A è singolare. Lo stesso deve valere per il sistema ATy = 0: esisteranno vettori y non nulli che soddisfano l'equazione se A è singolare. Ma allora, se il sistema Ax = b ha qualche soluzione x, dobbiamo avere: (y ⋅ b) = yTb = yTAx = (xTATy)T = (xT0) T = (0)

Quindi Ax = b può avere soluzioni solo per quei vettori b che sono perpendicolari a ogni soluzione y di ATy = 0. Enunciamo ora, per concludere questo capitolo, un risultato di una certa importanza nella risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite. Regola di Cramer. Sia A una matrice non singolare n × n. Allora la Slide 24

soluzione x del sistema lineare Ax = b ha componenti date da x1 =

det(A n ) det(A 1 ) det(A 2 ) , x2 = , …, xn = det(A ) det(A ) det(A )

dove Aj è la matrice A in cui la j-esima colonna è stata sostituita dal vettore colonna b.

Differenziazione di vettori, forme quadratiche e bilineari. Se il vettore y dipende dal vettore x attraverso la forma y = Ax, esso può essere derivato rispetto ad x e la derivata è proprio la matrice A, detta matrice jacobiana o jacobiano. Slide 25

Anche le forma quadratiche (x’Ax) e bilineari (y’Bz) possono essere derivate (nel caso delle forme quadratiche). La formula della derivazione sfrutta la proprietà che A = AT e sono: ∂ ( x 'Ax ) = 2A x ; ∂x

∂ ( y 'Bz ) = Bz ; ∂ ( y 'Bz ) = B' y , ∂y ' ∂z

in termini di vettori colonna.