02upc072 Cifras Significativas Y Exactas

Módulo 2

Cifras significativas y cifras exactas

Métodos Numéricos

Posición de un dígito , Posición -4

Posición 3

Posición -3

Posición 2

Posición -2

Posición 1

Posición -1 Posición 0

Métodos Numéricos

Valor posicional de un dígito El valor posicional del dígito d en la posición k se denota p(d) y se define como:

p(d) = 10k Ejemplo:

7 348,064

Número = 7⋅p(7) + 3⋅p(3) + 4⋅p(4) + 8⋅p(8) + 0⋅p(0) + 6⋅p(6) + 4⋅p(4) = 7⋅1000 + 3⋅100 + 4⋅10 + 8⋅1 + 0⋅0,1 + 6⋅0,01 + 4⋅0,001 Métodos Numéricos

Cifras significativas Cuando un dígito 0 se incluye en un número con el único propósito de ocupar una posición dentro del número, ese dígito se llama cero no significativo. En los demás casos se dice que el cero es significativo. Todos los dígitos que no son ceros son significativos. Ejemplo:

0,0074800

Cifras no significativas

Cifras significativas

Métodos Numéricos

Dependencia del contexto Ayer desfilaron 1 000 000 de personas Ceros no significativos Ayer arribó al país el turista número 1 000 000 Ceros significativos

Métodos Numéricos

Notación científica Mantisa 10k Cifras significativas

Posición de la coma

0,007 480

7,480 ⋅ 10-3

1 000 000

1,0 ⋅106

Permite representar brevemente números muy grandes o muy pequeños. No deja dudas acerca de las cifras significativas. Métodos Numéricos

Cifra exacta Un dígito d de un número x se dice que es un dígito exacto o una cifra exacta si el error absoluto de x es menor o igual que la mitad del valor posicional de d.

E(x) ≤ 12 p(d)

Métodos Numéricos

Ejemplos x* = 12,38512

x = 12,38475

E(x) = 0,00037 Cifras exactas

E(x ) ≤ 12 p(d)

½ p(d) = 5 ½ p(d) = 0,5 ½ p(d) = 0,05 ½ p(d) = 0,005 ½ p(d) = 0,0005

E(x) > p(d ) 1 2

½ p(d) = 0,00005 ½ p(d) = 0,000005 Métodos Numéricos

Ejemplos x = 325,8723184 Em(x) = 0,0004 Cifras exactas Cifras dudosas

E(x ) ≤ 12 p(d)

½ p(d) = 0,005 ½ p(d) = 0,0005

E(x) = ?

½ p(d) = 0,00005 Métodos Numéricos

Contando las cifras exactas Cifras exactas La cantidad de cifras exactas de un número aproximado es la cantidad de dígitos significativos exactos de dicho número. Cifras decimales exactas La cantidad de cifras decimales exactas de un número aproximado es la cantidad de cifras exactas que están después de la coma decimal.

Métodos Numéricos

Ejemplos 5,07834

4 cifras exactas 3 cifras decimales exactas

0,00042532 3 cifras exactas 6 cifras decimales exactas exactas

423558

4 cifras exactas 0 cifras decimales exactas

525,4824

5 cifras exactas 2 cifras decimales exactas

Métodos Numéricos

Redondeo Redondear un número es sustituirlo por otro número que posea menos cifras significativas.

3,1415926

3,1416

5,6666666

5,667

0,4354765

0,435

Métodos Numéricos

Redondeo de números exactos Cuando se redondea un número exacto, el número aproximado que resulta tiene todas sus cifras exactas.

3,1415926...

3,1416

Métodos Numéricos

Redondeo de números aproximados Cuando se redondea un número aproximado, el error de redondeo puede añadirse al error que contenía el número. Redondeo x* = 3,1415926... x = 3,1413654234

Exactas

3,141

Exactas

Métodos Numéricos

Regla práctica Cuando redondee números aproximados, conserve una o dos de sus cifras no exactas o dudosas. Redondeo x* = 3,1415926... x = 3,1413654234

Exactas

3,1414

Exactas

Métodos Numéricos

Errores y cifras exactas El error absoluto máximo de un numero determina las cifras decimales exactas y viceversa. Cifras decimales exactas

Error absoluto máximo

2

0,005

3

0,0005

4

0,00005

Métodos Numéricos

Errores y cifras exactas El error relativo máximo de un número determina las cifras exactas y viceversa. x posee k cifras exactas x = m⋅10q donde m posee k-1 cifras decimales exactas E(m) < e( x ) =

1 2

⋅ 10 − (k − 1)

E(x ) ≤ x

E(x ) < 1 2

⋅ 10

−( k −1)

10

m ⋅ 10q

q

=

1 2

⋅ 10 −(k −1)10q −( k −1)

10 2m

No depende de q

Métodos Numéricos

Ejemplo x1 = 58300 x2 = x3 =

58,3

Exactas

0,583

Em(x1) = 50

em(x1) = 0,00086

Em(x2) = 0,05

em(x2) = 0,00086

Em(x3) = 0,0005

em(x3) = 0,00086

Métodos Numéricos

Bibliografía Matemática Numérica Segunda edición Álvarez, Guerra y Lau Sección 1.4

Métodos Numéricos