02 One Dimension Of Motion

03/06/51

y การศึกษาการเคลื่อนทีเ่ ราอธิบายการเคลือ่ นทีแ่ บบเชิงเส้นด้วยปริมาณดังต่อไปนี้ y การกระจัด (Displacement) เป็ นปริมาณเวกเตอร์ใช้บอกตําแหน่ งของวัตถุเทียบกับจุด กําเนิด y เวลา (Time) ปรมาณตางๆ ปริมาณต่างๆ มกขนกบเวลา มักขึน้ กับเวลา เมอเวลาเปลยนไป เมือ่ เวลาเปลีย่ นไป การเคลอนทกเปลยนไป การเคลือ่ นทีก่ เ็ ปลีย่ นไป

[ บทท บทที่ 2 การเคลอนทแบบหนงมต การเคลือ่ นทีแ่ บบหนึ่งมิติ ]

y ความเร็ว (Velocity) y ความเร่ง (Acceleration)

2

ตัวอย่างที่ 2-1 ถ้าอนุภาคเคลือ่ นทีโ่ ดยเขียนเป็ นเวกเตอร์การกระจัดของ การเคลือ่ นทีไ่ ด้ดงั นี้ y การกระจัดเป็ นปริมาณเวกเตอร์บอกตําแหน่ งเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิง มีหน่ วยเป็ น เมตร

O x1

P1

x(t ) = t 3 + 2t + 1 จงหาการกระจัดของอนุุ ภาคนี้ทเ่ี วลา 1 วินาที และ 3 วินาที

P2 Δx = x2 − x1

x2

y เมือ่ เวลา t1 รถอยูท่ แ่ี หน่ ง P1 ซึง่ มีการกระจัดเป็ น x1 และเมื่อเวลาผ่านไปจนเท่ากับ t2 รถคันนี้อยูต่ าํ แหน่ ง P2 ซึง่ มีการกระจัดเท่ากับ P2 3

4

การกระจัดของอนุภาคขึน้ กับเวลาตามสมการ

x(t ) = t 3 + 2t + 1

y ความเร็วเฉลี่ย (Average Velocity) หมายถึง อัตราการเปลีย่ นตําแหน่ งหรือ การกระจัดทีเ่ ปลีย่ นแปลงไปในช่วงเวลา หนึนง่ง

ดังนัน้ การกระจัดของอนุภาคทีเ่ วลา t = 1 วินาที x(t = 1) = (1) + 2(1) + 1 = 1+ 2 +1 เมตร =4 และการกระจัดของอนุภาคทีเ่ วลา t = 3 วินาที 3

v av =

x(t = 3) = (3) + 2(3) + 1 = 27 + 6 + 1 เมตร = 34 3

5

Δx x2 − x1 = Δt t 2 − t1

y ความเร็วขณะหนึ่ ง (instantaneous velocity) คือความเร็วของวัตถุขณะ เวลาใดๆ ซึง่ หาได้จากการเปลีย่ น ตําแแหน่นงงของวั งวตถุถในช่ ใน วงเวล วงเวลาทีสสนม ่ นั ้ มากๆๆ จนเข้าสู่ศนู ย์

v = lim

Δt → 0

Δx dx = Δt dt

6

1

03/06/51

x(m) P2

x2

อัตราเร็ว (speed)

ความเร็ว (velocity)

y อัตราเร็ว คือ อัตราส่วนระหว่างระยะทางทีว่ ตั ถุ

y ความเร็ว คือ อัตราส่วนระหว่างตําแหน่งที่

เคลื่อนทีไ่ ด้กบั ช่วงเวลาทีใ่ ช้ในการเคลื่อนที่ y อัตราเร็วเป็ นปริมาณสเกลาร์

เปลีย่ นแปลงไปกับเวลาทีใ่ ช้ในการเปลีย่ น ตําแหน่ง y ความเร็วเป็ นปริมาณเวกเตอร์

Δx = x2 − x1

x1

ปุจฉา อัตราเร็วเฉลีย่ และความเร็วเฉลีย่ จาก P1 ไป P5 เท่ากันหรือไม่ ?

P1 Δt = t 2 − t1

t1

t2

P1

t(s)

P2

P4

เฉลย

P3

P5 7

ตัวอย่างที่ 2-2 จากตัวอย่างที่ 2-1 จงหาความเร็วเฉลีย่ ของอนุภาค ระหว่างเวลา t = 1 และ t = 3 วินาที และความเร็วของอนุภาคทีเ่ วลา t = 1 วินาที จาก

v av =

ความเร็วทีเ่ วลา t = 1 s เป็ นความเร็วขณะเวลาหนึ่งจึงต้องหาจาก

v = lim

Δt → 0

Δx x2 − x1 = Δt t 2 − t1

Δx dx = Δt dt

x(t ) = t 3 + 2t + 1

จากสมการการกระจัดของอนุภาค

เมือ่ื x1 คือื การกระจัดั ของอนุภาคทีเ่ี วลา t = 1 s และ x2 คือื การกระจัดั ของ อนุภาคทีเ่ วลา t = 3 s (ซึง่ ได้จากตัวอย่างที่ 2-1) ดังนัน้

8

จะได้

Δx 34 − 4 30 = = vav = 3 −1 2 Δt = 15 เมตร/วินาที

v=

(

)

dx d 3 = t + 2t + 1 = 2t 2 + 2 dt dt

ดังนัน้ ความเร็วของอนุภาคทีเ่ วลา t = 1 s คือ

v(t = 1) = 2(1) + 2 = 4 2

9

y ความเร่งเฉลีย่ (average acceleration) คืออัตราการเปลีย่ นแปลงความเร็วใน ช่วงเวลาหนึ่ง

Δv v2 − v1 aav = = Δt t 2 − t1

a = lim

Δt → 0

10

v(m/s)

y ความเร่งขณะหนี ขณะหนี่ง (instantaneous acceleration) คือการเปลีย่ นแปลง ความเร็วทีข่ ณะเวลาใด ๆ หรือในช่วง เวลาสัสนๆ เวล น้ ๆ จนเข้ จนเ าสูส่ศนนย์ ู

เมตร/วินาที

P2

v2

Δv = v2 − v1

Δv dv d x = = Δt dt dt 2 2

v1

P1 Δt = t 2 − t1

t1

11

t2

t(s)

12

2

03/06/51

เครื่องหมายความเร็ว เครื่องหมายความเร่ ง

การเคลือ่ นที่

+

วัตถุกาํ ลังเคลื่อนที่ไปในทิศการกระจัดเป็ น + ด้วยความเร็วเป็ น + มากยิง่ ขึ้น

+

-

วตถุ วัตถกํกาลงเคลอนทไปในทศการกระจดทเปน าลังเคลื่อนที่ไปในทิศการกระจัดที่เป็ น + แต่ความเร็ วในทิศทางนั้นมีค่าลดลง

-

+

วัตถุกาํ ลังเคลื่อนที่ไปในทิศการกระจัดที่เป็ น แต่ความเร็ วของวัตถุเป็ นลบน้อยลง

-

-

วัตถุเคลื่อนที่ไปในทิศการกระจัดเป็ น - ด้วย ความเร็วที่เป็ นลบมากยิง่ ขึ้น

+

เครือ่ งหมายของความเร่ง วัตถุจะเคลือ่ นทีช่ า้ ลงเมื่อ ทิศทางของ ความเร่งตรงกันข้ามกับทิศของการ เคลือ่ื นที่ี

13

ตัวอย่างที่ 2-3 สมมติว่าความเร็วของรถยนต์ ทีเ่ วลา t ใดๆ มีค่าเป็ นไป ตามสมการ

14

(1) จากสมการ

v = 60 + 0.5t 2

aav =

Δv v2 − v1 = Δt t 2 − t1

เมือ่ v1 คือความเร็วรถยนต์ทเ่ี วลา t = 1.0 s และ v2 คือความเร็วของรถยนต์ท่ี เวลา t = 3.0 s v(t = 1.0 ) = 60 + 0.5(1.0 ) = 60.5

เมตร/วินาที

v(t = 3.0 ) = 60 + 0.5(3.0 ) = 64.5

เมตร/วินาที

2

จงหา (1) ความเร่งเฉลีย่ ของรถยนต์ในระหว่าง t1 = 1.0 s และ t2 = 3.0 s (2) ความเร่ง่ ที่ี t = 1.0 s และ t = 3.0 s

2

เฉลย

ดังนัน้

aav =

Δv 64.5 − 60.5 4.0 = = = 2.0 เมตร/วินาที2 Δt 3. 0 − 1. 0 2. 0

15

dv dt ดังนัน้ จากสมการความเร็วของรถยนต์ ความเร่งของรถยนต์ทเ่ี วลาใดๆ หาได้จาก

(2) จากนิยามความเร่งขณะหนึ่ง

16

a=

(

y การเคลือ่ นทีอ่ ย่างง่ายทีส่ ดุ คือ การเคลือ่ นทีใ่ นแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงตัว ในกรณี นี้ความเร็วเปลีย่ นด้วยอัตราเดียวตลอด

)

dv d a= = 60 + 0.5t 2 = 1.0t dt dt

y เราสามารถหาสมการการเคลื่อนทีส่ าํ หรับตําแหน่ ง x และความเร็ว v เมือ่ วัตถุเคลือ่ นที่ ดวยความเรงคงตวไดจากสมการความเรงเฉลย ด้วยความเร่งคงตัวได้จากสมการความเร่งเฉลีย่

ความเร่งทีเ่ วลา t = 1.0 s คือ

a (t = 1.0 ) = 1.0(1.0 ) = 1.0

v2 − v1 t 2 − t1 y ให้ t1 = 0 s และให้ t2 เป็ นเวลา t ใดๆ ให้ u เป็ นความเร็วเริม่ ต้นทีเ่ วลา t1 = 0 s และ v เป็ นเวลาขณะเวลา ใดๆ จะได้ aav =

เมตร/วินาที2

ความเร่งทีเ่ วลา t = 3.0 s คือ

a (t = 3.0 ) = 1.0(3.0 ) = 3.0

เมตร/วินาที2

a= 17

v−u t −0

v = u + at 18

3

03/06/51

y เราสามารถหาสมการสําหรับตําแหน่ ง x สําหรับวัตถุทเ่ี คลื่อนทีด่ ว้ ยความเร่งคงตัวโดย พิจารณาจากความเร็วเฉลีย่ x −x vav = 2 1 t 2 − t1

y แต่จาก

1 vav = u + at 2 y และจากนิยามของความเร็วเฉลีย่ vav = x − x0 t −0

y ให้เวลาเริม่ ต้น t = 0 วัตถุอยู่ทต่ี าํ แหน่ ง x0 จากนัน้ เมือ่ เวลาผ่านไปทีเ่ วลา t ใดๆ วัตถุ อยูท่ ต่ี าํ แหน่ ง x จะได้ x − x0 vav = t −0

y จะได้สมการ

y ความเร็วทีเ่ ปลีย่ นด้วยอัตราคงตัว ในกรณีน้ีความเร็วเฉลีย่ ในช่วงเวลาใดๆ มีคา่ เท่ากับ ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของความเร็วทีต่ อนต้นและตอนปลายของช่วงเวลานัน้ สําหรับกรณี ช่วงเวลาตัง้ แต่ t = 0 ถึงเวลา t ใดๆ

vav =

v = u + at เมือ่ แทนลงในสมการความเร็วเฉลีย่ จะได้

1 x = x0 + ut + at 2 2

y กรณีทพ่ี จิ ารณาปญั หาทีไ่ ม่มเี วลามาเกีย่ วข้อง เราจะใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง ตําแหน่ ง ความเร็ว และความเร่ง จากสมการ t = v − u เมือ่ แทนค่าลงในสมการการกระจัด a ด้านบนจะได้

v+u 2

v 2 = u 2 + 2a( x − x0 )

19

20

ตัวอย่างที่ 2-4 จงหาเวลาทีใ่ ช้ของรถยนต์ในการเคลือ่ นทีใ่ ห้ได้ระยะทาง 30 เมตรจากหยุดนิ่งโดยทีร่ ถคันนี้มอี ตั ราเร่ง 2.0 m/s2 y การตกอย่างอิสระ เป็ นการเคลือ่ นทีใ่ นแนวดิง่ ด้วยความเร่งคงที่

สิง่ ทีเ่ ราได้จากโจทย์คอื ระยะทางเริม่ ต้น x0 = 0 รถเริม่ เคลือ่ นจากหยุดนิ่งดังนัน้ ความเร็วเริม่ ต้น u = 0 อัตราเร่งคงที่ a = 2.0 m/s2 ระยะทางทีเ่ คลือ่ นทีไ่ ด้ x = 30 m ต้องการหาเวลา t = ? ซึง่ แทนค่าลงในสมการการเคลือ่ นทีด่ ว้ ยความเร่งคงที่

y เมือ่ เราปล่อยวัตถุให้ตกจากทีส่ งู ความเร็วของวัตถุจะเปลีย่ นแปลงด้วยอัตราคงทีค่ อื ค่า ความเร่งโน้มถ่วงของโลก (g = 9.8 m/s2) y ซงสามารถใชสมการการเคลอนทดวยความเรงคงทอธบายได ซึง่ สามารถใช้สมการการเคลือ่ นทีด่ ว้ ยความเร่งคงทีอ่ ธิบายได้

1 x = x0 + ut + at 2 2 1 30 = 0 + 0 + (2.0 )t 2 2

ดังนัน้ จะได้

t = 30 = 5.5

ปุจฉา วัตถุทม่ี มี วลมากกับวัตถุทม่ี มี วลน้อย ถ้าปล่อย ให้ตกอย่างอิสระ แบบใดตกถึงพืน้ ก่อนกัน ? เฉลย วินาที 21

ตัวอย่างที่ 2-5 โยนลูกบอลขึน้ จากพืน้ ไปในแนวดิง่ ด้วยความเร็วต้น 25 m/s จงหา 1) ต้องใช้เวลานานเท่าใดลูกบอลจึงขึน้ ไปอยู่ ณ จุดสูงสุด 2) ความสูงทีต่ าํ แหน่งสูงทีส่ ดุ เป็ นเท่าไร 3) ความเร็วของลูกบอลเมือ่ กลับมาถึงพืน้ อีกครัง้ 4) เวลาทีใ่ี ช้ใ้ นการเคลือ่ื นทีท่ี งั ้ หมด

23

22

1) เมือ่ ลูกบอลเคลือ่ นทีข่ น้ึ ทิศของความเร็วในการเคลือ่ นทีส่ วนทางกับทิศของ ความเร่ง (a = -g) ทําให้ความเร็วลดลง เมือ่ ไปถึงจุดสูงสุด ความเร็วของลูก บอลจะมีคา่ เป็ นศูนย์ ดังนัน้ ทีจ่ ุดสูงสุด v = 0 จากสมการ

v = u + at

จะได้

v = u − gt u 25 t= = = 2.55 g 9.8

วินาที

24

4

03/06/51

2) ระยะทางจากพืน้ ไปถึงจุดสูงสุดหาได้จากสมการ

y = y0 + ut −

3) เมือ่ ลูกบอลกลับมาถึงพืน้ แสดงว่าตําแหน่งเริม่ ต้นกับตําแหน่งปลายเป็ น ตําแหน่งเดียวกันดังนัน้ Δy = y - y0 = 0

1 2 gt 2

จากสมการ

กําหนดให้ตาํ แหน่งเริม่ ต้น y0 = 0

y = 0 + (25)(2.55) −

1 (9.8)(2.55)2 2

= 31.9

จะได จะได้

v 2 = u 2 − 2 g ( y − y0 )

v2 = u 2 v = ±u = 25

เมตร

เมตร/วินาที

25

26

4) เวลาทัง้ หมดทีใ่ ช้ในการเคลือ่ นทีข่ องลูกบอล 1 y − y0 = ut − gt 2 2 1 0 = ut − gt 2 2 ⎛1 ⎞ t ⎜ gt − u ⎟ = 0 ⎠ ⎝2

y การบอกตําแหน่งและความเร็วเป็ นปริมาณ

y

y

จะได้วา่ การกระจัด y - y0 มีคา่ เป็ น 0 ทีเ่ วลา t = 0 ซึง่ เป็ นเวลาเริม่ ต้น และทีเ่ วลา ลูกบอลเคลือ่ นทีจ่ นกระทัง้ กลับมาทีพ่ น้ื อีกครัง้ หนึ่งคือ 2u 2(25) t= = = 5.1 g 9.8

y

วินาที

y 27

สัมพัทธ์ เนื่องจากปริมาณเหล่านี้เป็ น ปริมาณทีข่ น้ึ กับตําแหน่งอ้างอิง จากรูป ให้ผชู้ ายทีเ่ ดินบนพืน้ เลื่อนมี ความเร็วเป็ น v สัมพัทธ์กบั พืน้ นิ่ง (วัดได้ โดยผูห้ ญิงทีย่ นื อยู่บนพืน้ นิ่ง) และผูช้ ายมีความเร็วเป็ น v’ สัมพัทธ์กบั พืน้ เลื่อน (วัดได้โดยผูห้ ญิงทีย่ นื อยู่บนพืน้ เลื่อน และให้พน้ื เลื่อนมีความเร็วเป็ น V สัมพัทธ์ กับพืน้ นิ่ง ความเร็วทัง้ สามสัมพันธ์กนั ตามสมการ

v = v′ + V 28

ตัวอย่างที่ 2-6 นักซิง่ ผูห้ นึ่งขับรถด้วยความเร็ว 65 Km⋅hr-1 บนถนนทีจ่ าํ กัด ความเร็วไว้ท่ี 40 Km⋅hr-1 จราจรเรียกให้หยุด แต่นกั ซิง่ ไม่ยอมหยุด จราจร จึงขีม่ อเตอร์ไซด์ไล่ตามด้วยความเร็ว 80 Km⋅hr-1 นักซิง่ เห็นจราจรเคลือ่ นที่ ด้วยความเร็วเท่าไร จากโจทย์ ให้ความเร็วของกรอบอ้างอิงทีเ่ คลือ่ นที่ (ความเร็วของนักซิง่ ทีส่ มั พัทธ์กบั พืน้ นิ่ง) V = 65 Km/hr ความเร็วของวัตถุทส่ี งั เกตสัมพัทธ์กบั พืน้ นิ่ง (ความเร็วของจราจร) v = 80 Km/hr ต้องการหาความเร็วของจราจรสัมพัทธ์กบั นักซิง่ (v’ = ?)

v′ = v − V = 80 − 65 = 15

Km/hr

29

30

5

03/06/51

วิ สชั นา

วิ สชั นา

การตกเมื่อไม่คดิ แรงต้านอากาศ

ไม่เท่ากันเนื่องจากความเร็วเฉลีย่ คืออัตราการเปลีย่ นตําแหน่งในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนัน้ จากรูป ตําแหน่ง P1 และ P5 คือตําแหน่งเดียวกันดังนัน้ ความเร็วเฉลีย่ จึงเท่ากับศูนย์

P1

P2

P4

P3

จากสมการ

y = y0 + ut +

P5 แต่อตั ราเร็วเฉลีย่ คืออัตราส่วนระหว่าง ระยะทางทีว่ ตั ถุเคลือ่ นทีไ่ ด้ตอ่ ช่วงเวลา ทีใ่ ช้ในการเคลือ่ นที่ ดังนัน้ การหาอัตราเร็วเฉลีย่ จากรูปต้องวัดระยะทางในการ เคลือ่ นทีจ่ าก ตําแหน่ง P1 จนกระทัง้ กลับมายัง P5 แล้วหารด้วยเวลาทีใ่ ช้ อัตราเร็วเฉลีย่ จึงไม่เท่ากับศูนย์

การตกเมื่อคิดแรง ต้านอากาศ

1 2 gt 2

2y

เมือ่ ปล่อยวัตถุจากทีส่ งู u = 0 เวลาในการเคลือ่ นทีจ่ ะหาได้จาก t = g ซึง่ ไม่มมี วลเข้ามาเกีย่ วข้องดังนัน้ วัตถุทงั ้ สองจะตกถึงพืน้ พร้อมกัน แต่สาเหตุทเ่ี มือ่ ขนาดของวัตถุตา่ งกันแล้วทําให้ตกถึงพืน้ ไม่พร้อมกันนัน้ เนื่องมาจากผลจากแรงต้านอากาศ 2

31

32

6