02 One Dimension Of Motion

[ บทที่ 2 การเคลื่อนที่แบบหนึ่งมิติ ]

การศึกษาการเคลื่อนที่เราอธิบายการเคลื่อนที่แบบเชิงเส้นด้วยปริมาณดังต่อไปนี้ การกระจัด (Displacement)

เป็นปริมาณเวกเตอร์ใช้บอกตำาแหน่งของวัตถุเทียบกับจุดกำาเนิด เวลา (Time) ปริมาณต่างๆ มักขึ้นกับเวลา เมื่อเวลาเปลีย่ นไป การเคลื่อนที่ก็เปลีย่ นไป ความเร็ว (Velocity) ความเร่ง (Acceleration)

2

การกระจัดเป็นปริมาณเวกเตอร์บอกตำาแหน่งเมื่อเทียบกับจุดอ้างอิง มีหน่วยเป็น เมตร

O

x1

P1

∆ x = x2 − x1

P2

x2

เมื่อเวลา t1 รถอยู่ที่ตำาแหน่ง P1 ซึ่งมีการกระจัดเป็น x1 และเมื่อเวลาผ่านไปจนเท่ากับ

t2 รถคันนี้อยู่ที่ตำาแหน่ง P2 ซึ่งมีการกระจัดเท่ากับ x2 3

ตัวอ ย่า งที่ 2- 1 ถ้าอนุภาคเคลื่อนที่โดยเขียนเป็นเวกเตอร์การกระจัดของการเคลื่อนที่ได้ดั งนี้ x  t   t 3  2t  1 จงหาการกระจัดของอนุภาคนี้ที่เวลา 1 วินาที และ 3 วินาที

4

การกระจัดของอนุภาคขึ้นกับเวลาตามสมการ x  t   t 3  2t  1

ดังนั้นการกระจัดของอนุภาคที่เวลา t = 1 วินาที

x  t  1   1  2  1  1 3

 1 2 1 4

และการกระจัดของอนุภาคที่เวลา t = 3 วินาที

เมตร

x  t  3   3  2  3  1 3

 27  6  1  34

เมตร 5

คว ามเ ร็ วเฉ ลี ่ย (aver age

vel oci ty) หมายถึง อัตราการเปลี่ยนตำาแหน่งหรือการกระจั ดที่เปลีย่ นแปลงไปในช่วงเวลาหนึ่ง

x x2  x1 vav   t t2  t1

คว ามเร็ วข ณะหน ึ่ง

( inst antane ou s v eloci ty) คือความเร็วของวัตถุขณะเวลาใดๆ ซึ่งหาได้จากการเปลี่ยนตำาแหน่งของวัต ถุในช่วงเวลาที่สั้นมากๆ จนเข้าสู่ศูนย์

x dx v  lim  t  0 t dt

6

x(m)

P2

∆x = x2 − x1

คว

าม ช

ัน =

คว

าม เร

็วเฉ ลี่ย

x2

x1

P1

t1

∆t = t 2 − t1

t2

t(s)

ความเร็วเฉลี่ยระหว่างจุด P1 และ P2 คือความชันของเส้นตรงที่ลากจาก P1 ไปยัง P2 จากรูปความชันมีค่าเป็นบวก ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยมีค่าเป็นบวก เมื่อคำานวณค่าความเร็วเฉลี่ยในช่ว งเวลาที่สั้นลงเรื่อยๆ ค่าที่ได้จะเข้าสู่ค่าความเร็วขณะหนึ่ ง จนกระทั้งค่า t→0 ค่าความชันของเส้นตรง P1P2 จะเข้าสู่ค่าความชันของเส้นสัมผัสโ ค้งที่จุด P1 ค่าความชันนี้มีค่าเท่ากับความเร็วข 7 องวัตถุที่ตำาแหน่ง P

อัต รา เร ็ว (sp eed)

ควา มเร็ ว (ve locit y)

อัตราเร็ว คือ

ความเร็ว คือ

อัตราส่วนระหว่างระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้กั บช่วงเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ อัตราเร็วเป็นปริมาณสเกลาร์

อัตราส่วนระหว่างตำาแหน่งทีเ่ ปลี่ยนแปลงไปกับ เวลาที่ใช้ในการเปลี่ยนตำาแหน่ง ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์

ปุจฉ า อัตราเร็วเฉลีย่ และความเร็วเฉลีย่ จาก P1 ไป P5 เท่ากันหรือไม่ ?

P1

P2

P4

เฉลย

P3

P5 8

วิ สัชน ไม่ า เท่ากันเนื่องจากความเร็วเฉลีย่ คืออัตราการเปลีย่ นตำาแหน่งในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นจากรูป ตำาแหน่ง P1 และ P5 คือตำาแหน่งเดียวกันดังนั้น ความเร็วเฉลีย่ จึงเท่ากับศูนย์

P1

P2

P4

P3

P5 แต่อตั ราเร็วเฉลีย่ คืออัตราส่วนระหว่าง ระยะทางทีว่ ัตถุเคลือ่ นทีไ่ ด้ต่อช่วงเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ ดังนั้นการหาอัตราเร็วเฉลีย่ จากรูปต้องวัดระยะทางในการเคลือ่ นทีจ่ าก ตำาแหน่ง P1 จนกระทัง้ กลับมายัง P5 แล้วหารด้วยเวลาที่ใช้

9

ตัวอ ย่า งที่ 2- 2 จากตัวอย่างที่ 2-1 จงหาความเร็วเฉลี่ยของอนุภาคระหว่างเวลา t = 1 และ t = 3 วินาที และความเร็วของอนุภาคที่เวลา x x2  x1 vav   t จาก = 1 วินาที t

t2  t1

เมื่อ x1 คือการกระจัดของอนุภาคทีเ่ วลา t = 1 s และ x2 คือการกระจัดของอนุภาคที่เวลา t = 3 s (ซึ่งได้จากตัวอย่างที่ 2-1) ดังนั้น

x 34  4 30 vav    t 3 1 2  15

เมตร/วินาที 10

ความเร็วทีเ่ วลา t = 1 s เป็นความเร็วขณะเวลาหนึง่ จึงต้องหาจาก x dx v  lim  t  0 t dt x  t   t 3  2t  1

จากสมการการกระจัดของอนุภาค จะได้

dx d 3 v   t  2t  1  3t 2  2 dt dt

ดังนั้นความเร็วของอนุภาคทีเ่ วลา t = 1 s คือ v  t  1  3  1  2  5 2

เมตร/วินาที 11

ความเร่งเฉลี่ย (average acceleration)

คืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่ว งเวลาหนึ่ง

v v2  v1 aav   t t2  t1

ความเร่งขณะหนี่ง (instantaneous

acceleration) คือการเปลีย่ นแปลงความเร็วที่ขณะเวล าใด ๆ หรือในช่วงเวลาสั้นๆ จนเข้าสู่ศูนย์

v dv d 2 x a  lim   2 t  0 t dt dt

12

v(m/s)

P2

v2

∆v = v2 − v1

v1

P1 t1

ความเร่งเฉลีย่ ระหว่าง t1 และ t2 มีค่าเท่ากับความชันของเส้น P1P2 ความเร่งขณะหนึง่ ที่ P1 มีค่าเท่ากับความชันของเส้นสัม ผัสที่ P1

∆t = t 2 − t1

t2

t(s)

13

เครื ่อ งห มาย ความเ ร็ ว

+ + -

เครื ่อ งห มาย ความเ ร่ ง

+ + -

การ เคลื ่ อน ที ่ วัตถุกำาลังเคลือ่ นที่ไปในทิศการกระจัดเป็น + ด้วยความเร็วเป็น + มากยิ่งขึ้น วัตถุกำาลังเคลือ่ นที่ไปในทิศการกระจัดที่เป็น + แต่ความเร็วในทิศทางนั้นมีค่าลดลง วัตถุกำาลังเคลือ่ นที่ไปในทิศการกระจัดที่เป็น แต่ความเร็วของวัตถุเป็นลบน้อยลง วัตถุเคลื่อนทีไ่ ปในทิศการกระจัดเป็น ด้วยความเร็วที่เป็นลบมากยิ่งขึ้น

14

เค รื่ อง หมา ยของ ควา มเ ร่ ง วัตถุจะเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อ ทิศทางของความเร่งตรงกันข้า มกับทิศของการเคลื่อนที่

15

ตัวอ ย่า งที่ 2- 3 สมมติว่าความเร็วของรถยนต์ ที่เวลา t ใดๆ มีค่าเป็นไปตามสมการ

v  60  0.5t

2

จงหา (1) ความเร่งเฉลีย่ ของรถยนต์ในระหว่าง t1 = 1.0 s และ t2 = 3.0 s (2) ความเร่งที่ t = 1.0 s และ t = 3.0 s

16

(1) จากสมการ

v v2  v1 aav   t t2  t1

เมื่อ v1 คือความเร็วรถยนต์ที่เวลา t = 1.0 s และ v2 คือความเร็วของรถยนต์ทเี่ วลา t = 3.0 s

v  t  1.0   60  0.5  1.0   60.5

เมตร/วินาที

v  t  3.0   60  0.5  3.0   64.5

เมตร/วินาที

2

2

ดังนั้น

v 64.5  60.5 4.0 aav     2.0 t 3.0  1.0 2.0

เมตร/วินาที2

17

dv (2) จากนิยามความเร่งขณะหนึ่ง a  dt

ดังนั้นจากสมการความเร็วของรถยนต์ ความเร่งของรถยนต์ที่เวลาใดๆ หาได้จาก dv d a   60  0.5t 2   1.0t dt dt

ความเร่งที่เวลา t = 1.0 s คือ

a  t  1.0   1.0  1.0   1.0

เมตร/วินาที2

ความเร่งที่เวลา t = 3.0 s คือ

a  t  3.0   1.0  3.0   3.0

เมตร/วินาที2

18

การเคลื่อนที่อย่างง่ายที่สุด คือ การเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงด้วยความเร่งคงตัว

ในกรณีนี้ความเร็วเปลีย่ นด้วยอัตราเดียวตลอด เราสามารถหาสมการการเคลือ่ นที่สำาหรับตำาแหน่ง x และความเร็ว v เมื่อวัตถุเคลือ่ นที่ด้วยความเร่งคงตัวได้จากสมการความเร่งเฉลี่ย v2  v1 aav  t2  t1

ให้ t1 = 0 s และให้ t2 เป็นเวลา t ใดๆ ให้ u เป็นความเร็วเริ่มต้นที่เวลา t1 = 0 s และ

v เป็นเวลาขณะเวลา ใดๆ จะได้ v u a t 0

v  u  at 19

เราสามารถหาสมการการกระจัด x

สำาหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัวโดยพิจารณาจากความเร็วเฉลี่ย x2  x1 vav  t2  t1

ให้เวลาเริ่มต้น t = 0 วัตถุอยู่ที่ตำาแหน่ง x0 จากนั้นเมื่อเวลาผ่านไปที่เวลา t ใดๆ

วัตถุอยู่ที่ตำาแหน่ง x จะได้

x  x0 vav  t 0

ความเร็วที่เปลี่ยนด้วยอัตราคงตัว ในกรณีนี้ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดๆ

มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความเร็วที่ตอนต้นและตอนปลายของช่วงเวลานั้น สำาหรับกรณีช่วงเวลาตัง้ แต่ t = 0 ถึงเวลา t ใดๆ vu vav  2 20

แต่จาก

v = u + at

เมื่อแทนลงในสมการความเร็วเฉลี่ยจะได้ 1 vav = u + at 2 x − x0 และจากนิยามของความเร็วเฉลี่ย vav = t −0 จะได้สมการ

1 2 x = x0 + ut + at 2

กรณีที่พจิ ารณาปัญหาที่ไม่มีเวลามาเกี่ยวข้อง เราจะใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง ตำาแหน่ง v −u t = ความเร็ว และความเร่ง จากสมการ a

เมื่อแทนค่าลงในสมการการกระจัดด้านบนจะได้

v = u + 2a( x − x0 ) 2

2

21

ตัวอ ย่า งที่ 2- 4 จงหาเวลาที่ใช้ของรถยนต์ในการเคลื่อนที่ให้ได้ระยะทาง 30 เมตรจากหยุดนิ่งโดยที่รถคันนี้มีอัตราเร่ง 2.0 m/s2

สิ่งทีเ่ ราได้จากโจทย์คือ ระยะทางเริ่มต้น x0 = 0 รถเริ่มเคลือ่ นจากหยุดนิ่งดังนั้นความเร็วเริ่มต้น u = 0 อัตราเร่งคงที่ a = 2.0 m/s2 ระยะทางทีเ่ คลือ่ นที่ได้ x = 30 m ต้องการหาเวลา t = ? ซึ่งแทนค่าลงในสมการการเคลือ่ นที่ด้วยความเร่งคงที่ 1 2 x = x0 + ut + at 2 1 30 = 0 + 0 + ( 2.0 ) t 2 2

ดังนั้นจะได้

t = 30 = 5.5

วินาที 22

การตกอย่างอิสระ เป็นการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งด้วยความเร่งคงที่ เมื่อเราปล่อยวัตถุให้ตกจากที่สูง

ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราคงที่คือค่าความเร่งโน้มถ่วงของโลก (g = 9.8 m/s2) ซึ่งสามารถใช้สมการการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่อธิบายได้

ปุจฉ า วัตถุที่มีมวลมากกับวัตถุทมี่ ีมวลน้อย ถ้าปล่อยให้ตกอย่างอิสระ แบบใดตกถึงพืน้ ก่อนกัน ? เฉลย 23

วิสัช นา การตกเมือ่ ไม่คิดแรงต้านอากาศ

การตกเมื่อคิดแรงต้ านอากาศ

จากสมการ

1 2 y = y0 + ut + gt 2

2y เมื่อปล่อยวัตถุจากที่สูง u = 0 เวลาในการเคลือ่ นทีจ่ ะหาได้จาก t = g 2

ซึ่งไม่มีมวลเข้ามาเกีย่ วข้องดังนัน้ วัตถุทงั้ สองจะตกถึงพืน้ พร้อมกัน แต่สาเหตุทเี่ มื่อขนาดของวัตถุต่างกันแล้วทำาให้ตกถึงพืน้ ไม่พร้อมกันนั้นเนือ่ งมาจากผลจากแรงต้านอากาศ

24

25

ตัวอ ย่ าง ที่ 2- 5 โยนลูกบอลขึ้นจากพื้นไปในแนวดิง่ ด้วยความเร็วต้น 25 m/s จงหา 1) ต้องใช้เวลานานเท่าใดลูกบอลจึงขึ้นไปอยู่ ณ จุดสูงสุด 2) ความสูงที่ตำาแหน่งสูงที่สุดเป็นเท่าไร 3) ความเร็วของลูกบอลเมื่อกลับมาถึงพื้นอีกครั้ง 4) เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ทั้งหมด

26

1) เมื่อลูกบอลเคลือ่ นที่ขึ้นทิศของความเร็วในการเคลือ่ นที่สวนทางกับทิศของควา มเร่ง (a = -g) ทำาให้ความเร็วลดลง เมื่อไปถึงจุดสูงสุด ความเร็วของลูกบอลจะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นทีจ่ ุดสูงสุด v = 0 v = u + at จากสมการ จะได้

v = u − gt u 25 t= = = 2.55 g 9.8

วินาที

27

2) ระยะทางจากพื้นไปถึงจุดสูงสุดหาได้จากสมการ

1 2 y = y0 + ut − gt 2

กำาหนดให้ตำาแหน่งเริ่มต้น y0 = 0

1 2 y = 0 + ( 25)( 2.55) − ( 9.8)( 2.55) 2 = 31.9 เมตร

28

3) เมื่อลูกบอลกลับมาถึงพืน้ แสดงว่าตำาแหน่งเริ่มต้นกับตำาแหน่งปลายเป็นตำาแหน่งเดียวกันดังนั้น y = y y0 = 0 2 2 v = u − 2 g ( y − y0 ) จากสมการ จะได้

v2 = u2 v = ±u = 25

เมตร/วินาที

29

4) เวลาทั้งหมดที่ใช้ในการเคลือ่ นที่ของลูกบอล 1 2 y − y0 = ut − gt 2 1 2 0 = ut − gt 2 1  t  gt − u  = 0 2 

จะได้ว่าการกระจัด y - y0 มีค่าเป็น 0 ทีเ่ วลา t = 0 ซึ่งเป็นเวลาเริ่มต้น และที่เวลาลูกบอลเคลือ่ นทีจ่ นกระทัง้ กลับมาที่พนื้ อีกครั้งหนึ่งคือ 2u 2( 25) t= = = 5.1 g 9.8

วินาที 30

การบอกตำาแหน่งและความเร็วเป็นปริมาณ

สัมพัทธ์ เนื่องจากปริมาณเหล่านี้เป็นปริมาณที่ขึ้นกั บตำาแหน่งอ้างอิง จากรูป ให้ผชู้ ายที่เดินบนพื้นเลื่อนมีความเร็วเป็น v สัมพัทธ์กับพื้นนิ่ง (วัดได้โดยผู้หญิงที่ยืนอยู่บนพืน้ นิ่ง) และผูช้ ายมีความเร็วเป็น v’ สัมพัทธ์กับพื้นเลื่อน (วัดได้โดยผู้หญิงที่ยืนอยู่บนพืน้ เลื่อน และให้พื้นเลื่อนมีความเร็วเป็น V สัมพัทธ์กับพื้นนิ่ง

v = v′ + V 31

ตัวอ ย่ าง ที่ 2- 6 นักซิ่งผู้หนึ่งขับรถด้วยความเร็ว 65 Km⋅hr-1 บนถนนที่จำากัดความเร็วไว้ที่ 40 Km⋅hr-1 จราจรเรียกให้หยุด แต่นกั ซิ่งไม่ยอมหยุด จราจรจึงขี่มอเตอร์ไซด์ไล่ตามด้วยความเร็ว 80 Km⋅hr1 นักซิ่งเห็นจราจรเคลื่อนที่ดว้ ยความเร็วเท่าไร จากโจทย์ ให้ความเร็วของกรอบอ้างอิงที่เคลือ่ นที่ (ความเร็วของนักซิ่งทีส่ ัมพัทธ์กบั พืน้ นิ่ง) V = 65 Km/hr ความเร็วของวัตถุทสี่ ังเกตสัมพัทธ์กับพืน้ นิ่ง (ความเร็วของจราจร) v = 80 Km/hr ต้องการหาความเร็วของจราจรสัมพัทธ์กับนักซิ่ง (v’ = ?)

v′ = v − V = 80 − 65 = 15

Km/hr 32

33