02 - Bi Pemodelan Komputer

BUKU INFORMASI DAN BUKU KERJA PEMBELAJARAN BERBASIS KOMPETENSI MATA KULIAH PEMODELAN KOMPUTER

DAFTAR PENYUSUN MODUL NO.

NAMA

INSTITUSI

1.

Dr.Eng R.B.Seno Wulung

Politeknik ATK

2.

Midarto Dwi Wibowo, ST, MT

Politeknik ATK

3.

Taukhid Wisnu Broto, ST, MT

Politeknik ATK

KEMENTERIAN PERINDUSTRIAN REPUBLIK INDONESIA POLITEKNIK ATK YOGYAKARTA Jl. Prof. Wirjono Prodjodikoro (Ring Road Selatan), Glugo, Panggungharjo, Sewon, Bantul, D.I. Yogyakarta 55188

Judul Modul: Pemodelan Komputer Buku Informasi dan Buku Kerja

2

Halaman: 2 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

DAFTAR ISI DAFTAR ISI ---------------------------------------------------------------------------------------------------2 BAB I PENDAHULUAN 4 A. Deskripsi

singkat

mata

kuliah

4 B. Tujuan

Pembelajaran

4 C. Capaian

Pembelajaran

4 D. Pokok

Bahasan

4 E. Evaluasi

Penilaian

5 F. Daftar

Pustaka

5 BAB II PENGENALAN PEMROGRAMAN-------------------------------------------------- 5 2.1.

Window pada MATLAB ------------------------------------------------------------- 6

2.2.

Operasi Matematika MATLAB ----------------------------------------------------- 7

2.3.

Variabel ------------------------------------------------------------------------------ 9

2.4.

Operasi Matrik ----------------------------------------------------------------------- 9

BAB III M-FILEDAN KENDALI ALIR ------------------------------ ------------- 13 3.1.

M-FILE --------------- -------------------------------------------------------------- 13

3.2.

Kendali alir -------------------------------------------------------------------------- 15

Tugas Aplikasi 1 -----------------------------------------------------------------------------18 BAB IV DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL --------------------------------------- 20 4.1.

Differensial -------------------------------------------------------------------------- 20

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 3 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

4.2.

Integral ----------------------------------------------------------------------------- 23

Tugas Aplikasi 2--------------------------------------------------------------------------- 25 BAB V PEMROGRAMAN LINIER-------------------------------------------------------- 26 5.1.

Pemrograman Biner -------------------------------------------------------------- 27

5.2.

Pemrograman mixed integer -----------------------------------------------------27

Tugas Aplikasi 3---------------------------------------------------------------------------- 28 BAB VI PEMROGRAMAN NON-LINIER ---------------------------------------- 29 Tugas Aplikasi 4----------------------------------------------------------------------------30 BAB VII CURVE FITTING ------------------------------------------------------- 31 7.1.

Polinomial dan akar-akarnya -----------------------------------------------------32

7.2.

Curve fitting ----------------------------------------------------------------------- 33

Tugas Aplikasi 5--------------------------------------------------------------------------- 33 BAB VIII PENYELESAIAN NUMERIS ------------------------------------------ 34 8.1.

Metode bisection ------------------------------------------------------------------34

8.2.

Metode Secant ------------------------------------------------------------------- 36

8.3.

Metode Newton Raphson --------------------------------------------------------37

Tugas Aplikasi 6---------------------------------------------------------------------------39 BAB IX PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDINER------------------------------ 40 9.1.

Metode euler----------------------------------------------------------------------- 42

9.2.

Metode Runge Kutta ------------------------------------------------------------- 43

9.3.

Metode Prediktor korektor--------------------------------------------------------45

Tugas Aplikasi 7---------------------------------------------------------------------------48 BAB X (PENGAYAAN) SIMULASI DENGAN MOLDFLOW ADVISER --------- 49

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 4 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 5 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Singkat Matakuliah Mata kuliah ini berisi materi tentang pemodelan sistem nyata ke dalam sistem artificial berupa program komputer. Sistem modeling sangat bermanfaat untuk pemecahan permasalahan industri mencakup pemecahan permasalahan di bagian produksi, seperti halnya penentuan parameter proses dalam pemastian kualitas produk, penjadwalan produksi, dan penugasan mesin, permasalahan di bagian logistik dan rantai pasok produksi. Sistem Modeling mampu mengurai persoalan yang rumit di sistem nyata dunia industri dengan mentransformasikan persoalan tersebut ke dalam model matematika. Mahasiswa kemudian memecahkan model matematika tersebut dan membawa-nya kembali ke sistem nyata.

B. Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa mampu menggunakan tools pemodelan komputer dalam melakukan identifikasi masalah, formulasi masalah, dan penyelesaian masalah di industri karet dan plastik.

C. Capaian Pembelajaran (LO) Setelah menempuh mata kuliah ini mahasiswa: 1. Mampu memodelkan permasalahan industri ke dalam suatu model matematis. 2. Mampu menggunakan program MATLAB (Program yang digunakan dalam matakuliah ini) untuk melakukan pemodelan matematis. 3. Mampu memodelkan sistem nyata industri karet dan plastik ke dalam sistem artificial dan kemudian memecahkan permasalahan pada sistem nyata tersebut. 4. Mampu membuat program komputer untuk menyelesaikan permasalahan industri yang memiliki kecukupan (adequate) dan kesederhanaan (parsimony). D. Pokok Bahasan Pemodelan sistem, Pengenalan MATLAB, M-File, Pemrograman Integral, Pemrograman Differensial, Metode penyelesaian numeris, Persamaan Differensial Ordiner, Linier programming, Non-Linier programming, Integer Programming, Curve Fitting.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 6 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

E. Evaluasi dan Penilaian Kriteria penilaian yang akan digunakan untuk mengetahui keberhasilan kegiatan pembelajaran dalam mata kuliah ini adalah: No. 1 2 3

Komponen Penilaian Bobot (%) Ujian Akhir 40 Ujian tengah semester 30 Tugas Praktek* 30 Jumlah (Nilai Angka) 100 *) Tugas Praktek harus 100 %, jika tidak lengkap dinyatakan TIDAK LULUS mata kuliah pemodelan komputer. Selanjutnya nilai angka yang dicapai mahasiswa dikonversikan ke dalam nilai huruf A, B, C, D atau E sesuai dengan ketentuan di Politeknik ATK Yogyakarta sebagai berikut: No. 1. 2. 3. 4. 5.

Nilai Angka > 80 65 < N < 80 55 < N < 65 40 < N < 55 < 40

Nilai Huruf A B C D E

F. Daftar Pustaka 1. Arhami, M., Desiani, A. 2004. Pemrograman MATLAB. Penerbit Andi. Yogyakarta 2. Kwon.R.H. 2014. Introduction to linear optimization and extensions with MATLAB. CRC Press.London. 3. Suarga. 2012. Komputasi Numerik: Pemrograman MATLAB untuk Metode Numerik. Penerbit Andi. Yogyakarta 4. Sianipar, R.H. 2013. Pemrograman MATLAB dalam contoh dan penerapannya. Penerbit Informatika. Bandung 5. Zhou, H. 2013. Computer modeling for injection molding: Simulation, optimization and control. Wiley and Sons .inc. Canada

BAB II PENGENALAN PEMROGRAMAN

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 7 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Dalam mata kuliah pemodelan komputer ini, digunakan program MATLAB yang merupakan program yang baik untuk melakukan analisis dan komputansi numeric dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matrik. Matlab banyak digunakan pada: 

Matematika dan komputansi



Pengembangan dan algoritma



Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototype



Analisis data, eksplorasi, dan visualisasi



Analisis numerik dan statistik



Pengembangan aplikasi teknik

1.1.

Window-window pada MATLAB

Ada beberapa macam window yang tersedia dalam MATLAB antara lain: a. MATLAB command window Merupakan command window uang dibuka pertama kali setiap MATLAB dijalankan. Dalam command window ini, dapat dijalankan. Pada command window dapat diketikkan perintah-perintah dan memunculkan hasil. MATLAB command window dapat dilihat pada gambar 2.1.

Gambar 2.1. MATLAB Command Window b. Matlab editor (Editor M-File) Window ini merupakan tool yang disediakan oleh MATLAb sebagai editor script MATLAB M-File. Pembahasan lebih lanjut tentang M-File dibahas pada Bab III. Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 8 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

c. MATLAB Help window MATLAB menyediakan sistem help yang dapat diakses dengan perintah help. Sistem ini memungkinkan pengguna MATLAB memperoleh informasi mengenai perintah fungsi dan syntax lainnya, misalnya linprog untuk linear programming. Menu help dapat dilihat apda gambar 2.2.

Gambar 2.2. Menu Help pada MATLAB 1.2.

Operasi Matermatika dalam MATLAB

Operasi matematika dalam MATLAB dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 9 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Tabel 2.1. Operasi Matematika dalam MATLAB Operasi

Format Aljabar

MATLAB

Contoh

Penjumlahan

a+b

a+b

5+7

Pengurangan

a-b

a-b

5-3

Perkalian

axb

a*b

7.65*5.4

Pembagian

a:b

a/b

7.68/4.43

Pemangkatan

ab

a^b

4^3

Derajat Keutamaan dalam operator-operator matematika dalam MATLAB: 1. Tanda kurung, dimulai dari yang paling dalam 2. Pemangkatan (^), dari kiri ke kanan 3. Perkalian (*) dan pembagian (/ ) dengan keutamaan setingkat , dari kiri ke kanan 4. Penjumlahan (+) dan pengurangan (-) dengan derajat keutamaan setingkat, dari kiri ke kanan Contoh operasi matematika dalam command window MATLAB ditunjukkan oleh gambar 2.3.

Gambar 2.3. Operasi Matematika dalam command window MATLAB 2.3. Variabel Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 10 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Dalam membuat program dalam, matlab, maka perlu didefinikan variable variable yang digunakan untuk perhitungan. Variabel dalam MATLAB adalah merupakan objek-objek bernama, dimana penugasan-nya dengan operator “=” dan dibatasi 31 karakter. Contoh pendefinisian variabel pada command window dapat dilihat pada gambar 2.4.

Gambar 2.4. Pendefinisian Variabel dalam Command Window MATLAB 2.4. Matrik Kemampuan dalam melakukan perhitungan dengan matrik adalah sangat penting, karena mendasari perhitungan-perhitungan dalam MATLAB. Untuk Membuat Matrik dalam MATLAB, diperlukan: •

Memulainya dengan kurung siku buka ([)

•

Memisahkan elemen-elemen di dalam suatu baris dengan koma atau spasi

•

Menggunakan titik koma untuk memisahkan antar baris

•

Mengakhiri suatu matrik dengan kurung siku tutup (])

Contoh Pendefinisian Matrik pada MATLAB dideskripsikan pada gambar 2.5.

Gambar 2.5. Pendefinisian Matrik 2.4.1. Pembangkitan Matrik Sederhana Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 11 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Beberapa cara sederhana dalam membangkitkan matrik:

zeros

: suatu matriks yang diisi oleh semua elemen bernilai nol.

ones

: suatu matriks yang diisi oleh semua elemen bernilai satu

rand

: suatu matrik dengan elemen-elemen acak terdistribusi seragam

randn

: suatu matrik dengan elemen-elemen acak terdisribusi normal

eye

: suatu matrik identitas

Contoh pembangkitan matrik sederhana dapat dilihat pada gambar 2.6 dan gambar 2.7.

Gambar 2.6. Matrik sederhana “zeros”

Gambar 2.7. Matrik sederhana “ones”, “rand”, dan “eye” 2.4.2.

Operasi Matrik

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 12 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

1. Penjumlahan dan pengurangan Dua buah matrik dapat dijumlahkan dan/atau dikurangkan, jika kedua matrik tersebut memiliki dimensi (baris x kolom) yang sama. Contoh penjumlahan dan pengurangan Matrik dapat dilihat pada gambar 2.8

Gambar 2.8. Penjumlahan Matrik Pada gambar 2.8, matrik A (3x2) dijumlahkan dengan matrik B (3x2) dan menghasilkan matrik C (3x2). 2. Perkalian matrik dengan scalar Sebuah matrik dapat dikalikan dengan bilangan skalar. Contoh perkalian matrik dengan skalar ditunjukkan gambar 2.9.

Gambar 2.9. Perkalian Matrik dengan Skalar

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 13 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Dari gambar 2.9, dapat diketahui bahwa matrik A dapat dikalikan dengan skalar (c=8), dengan bilangan skalar diletakkan didepan matrik. Hasil perkalian pada gambar 2.9 adalah matrik K, dimana elemen-elemen pada matrik K, adalah elemen matrik A dikalikan dengan skalar (c=8). 3. Perkalian matrik dengan matrik Perkalian matrik dengan matrik dapat dilakukan jika matrik pertama memiliki jumlah kolom sama dengan jumlah baris matrik kedua. Sebagai contoh: Jika matrik A adalah matriks dengan ukuran m x r dan matrik B adalah matriks r x n, maka kedua matrik tersebut dapat dikalikan dan hasilnya adalah matrik m x n. Perkalian matrik pada matlab dapat ditunjukkan oleh gambar 2.10.

Gambar 2.10 Perkalian matrik dengan matrik 4. Transpose matrik Pada MATLAb, dapat dicari transpose dari matrik untuk perhitungan matematis, perintah transpose matrik pada MATLAB dapat dilihat pada gambar 2.11

Gambar 2.11. Tranpose Matrik Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 14 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB III M-FILE DAN KENDALI ALIR 3.1. M-File Beberapa alas an, mengapa M-File dibutuhkan pada pemrograman menggunakan MATLAB adalah: 1. Command windows tidak efisien karena baris yng tersimpan dalam diary tidak dapat di-load, jika sudah keluar dari MATLAB 2. Command window hanya dilakukan baris perbaris perintah Cara membuat file baru M-File diilustrasikan oleh gambar 3.1.

Gambar 3.1. Cara membuat file baru M-File Aturan dan sifat M-File adalah sebagai berikut: •

Nama “fungsi” dan file harus identik.

•

Pertama kali MATLAB mengeksekusi suatu fungsi M-File, MATLAB membuka file fungsi tersebut dan mengkompilasi perintah-perintah didalamnya menjadi suatu representasi internal dalam memori yang mempercepat eksekusi semua pemanggilan berikutnya.

•

Jika fungsi juga melibatkan

pemanggilan ke fungsi M-File yang lain,

fungsi M-File yang dipanggil itu juga akan dikompilasi ke dalam memori. •

Jumlah argument input dan output yang digunakan jika suatu fungsi dipanggil hanya terdapat dalam fungsi tersebut.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 15 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

•

M-File dapatmemuat lebih dari sebuah fungsi

•

Fungsi dapat berbagi variabel dengan fungsi lain, dan ruang kerja MATLAB

•

Fungsi M-File berhenti dieksekusi dan kembali ke prompt jika telah mencapai akhir dari M-File.

3.1.1 Perhitungan dalam M-File Perhitungan-perhitungan pada command window dapat ditransfer ke dalam M-flile. Contoh perhitungan dengan menggunakan M-file dapat dilihat pada gambar 3.2.

Gambar 3.2. Perhitungan dalam M-file Dari gambar 3.2. tanda %, membuat baris dalam M-File hanya dibaca sebagai teks dan tidak dibaca sebagai program. Hal tersebut bermanfaat untuk memberi tanda dan keterangan pada program. Perhitungan dalam M-file juga dapat serta menimbulkan grafik. Contoh perhitungannya ditunjukkan oleh gambar 3.3.

Gambar 3.3. Perhitungan Grafik dalam M-File Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 16 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

3.1.2 Function dalam M-file M-file dapat memfasilitasi pengguna MATLAB untuk mendefinisikan sebuah fungsi. Struktur perintah untuk fungsi pada M-File adalah sebagai berikut: function[output1,output2,…]=NamaFunction(input1,input2,…) Contoh mendefinisian fungsi dengan menggunakan M-File dapat dilihat pada gambar 3.4.

Gambar 3.4. Pendefinisian fungsi pada M-File Dari gambar 3.4., diindikasikan bahwa nama fungsi dalam M-file haruslah sama dengan nama file M-File. Selanjutnya fungsi dalam M-file dapat dieksekusi melalui input data dalam command windows atau dipanggil melalui M-file yg lain. 3.2. Kendali Alir (Loop) Dalam membuat program perhitungan pada MATLAB, dibutuhkan alur perhitungan algoritma tertentu. Oleh karena itu pada MATLAB ada kendali alir (loop) yang dapat melakukannya. Ada beberapa kendali alir dalam MATLAb, antara lain: 1. Loop for, Memungkinkan untuk membuat sekelompok perintah diulang sebanyak jumlah yang tetap 2. Loop while, Mengerjakan sekelompok perintah pengulangan yang diulang secara tidak terbatas 3. Kontruksi if-else-end, Mengerjakan sederetan perintah yang harus dikerjakan berdasar pada suatu hasil rasional

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 17 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

3.2.1.

Loop For

Penggunaan loop For dalam M-file dapat dicontohkan pada Gambar 3.5.

Dengan hasil:

Gambar 3.5. Loop For

3.2.2.

Loop while

Contoh penggunaan Loop while dapat dilihat pada gambar 3.6

Gambar 3.6. Loop while Dari gambar, line 5 “x=x+1” digunakan untuk menghentikan program. Jika perintah tersebut tidak ada, maka program akan dijalankan perulangan tak hingga.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 18 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

3.2.3.

Kontruksi if-else-end

Struktur if-else-end yang merupakan kendali alir program dapat diilustrasikan dengan gambar 3.7.

Gambar 3.7. Konstruksi if-else-end Pada gambar 3.7, digunakan dua konstruksi sekaligus, yaitu “for”dan “if-else-end”: •

Loop “for” untuk range variabel x

•

Loop “if-else-end” untuk prasyarat operasi rasional

Algoritma program pada gambar 3.7 adalah sebgai berikut: 1. Line 1, teks 2. Line 2, loop for untuk range x, yaitu dari 0 sampai dengan 2 dengan interval 0.1 3. Line 3, Jika x lebih besar sama dengan satu dan x kurang sama dengan 2 ( 1≤x≤2), maka y akan dihitung dengan persamaan pada line 4 4. Line 5, jika x lebih besar sama dengan nol dan x kurang dari 1 ( 0≤x<1),maka y dihitung dengan persamaan pada line 6. 5. Line 7, end menutup IF-else 6. Line 8, end menutup For

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 19 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

TUGAS APLIKASI 1 Selesaikanlah persoalan dibawah ini dengan menggunakan kendali alir dan dikerjakan dalam M-File. Sebuah perusahaan akan menyimpan bahan Polypropylene dengan sebuah tangki tabung. Di pasaran yangki tersebut memiliki diameter antara 1 sampai 5 meter, dimana tinggi adalah 2 kali diameter untuk diameter 1-2 meter dan 1,2 kali untuk diameter 3-5 meter. Hitunglah volume dan luas penampang kelima alternatif tabung tersebut. Jika harga plat/m2 adalah 200US$, pilihlah jenis tangki yang paling efisien.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 20 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB IV DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL MATLAB

dapat

perancangan,

memudahkan operasi

dan

untuk

menyelesaikan

pengambilan

keputusan

persoalan, yang

baik

terkait

dalam dengan

penggunakan differensial dan integral. 4.1. Differensial Penyelesaian permasalahan diffrensial pada MATLAB dapat diselsesaikan dengan cara analitis/simbolis dan penyelesaian numeris. Fungsi diff digunakan untuk Menghitung

derivatif simbolis atau fungsi yang didefinisikan oleh suatu ekspresi

simbolis, dengan tahapan: 1. Mendefinisikan ekspresi simbolis 2. Mendefinisikan variabel-variabel simbolis 3. Membangun ekspresi matematis Contoh penggunaan fungsi diff diilustrasikan pada gambar 4.1. sedangkan hasilnya dapat dilihat pada gambar 4.2.

Gambar 4.1. Penggunaan Fungsi diff untuk Differensiasi Simbolik

Gambar 4.2 Hasil Differensiasi Simbolik Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 21 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Differensiasi persial juga dapat dilakkan dengan menggunakan MATLAB. Contoh differensiasi parsial ditunjukkan oleh gambar 4.3.

Gambar 4.3. Penggunaan Differensial Parsial pada MATLAB Pada gambar 4.3, algoritma program adalah sebagai berikut: 1. Line 1, teks 2. Line 2, pendefinisian simbol, karena akan digunakan simbol x dan y pada program ini, maka didefinisikan syms x y 3. Line 3,Pendefinisian persamaan matematis yang akan dideferensialkan(fungsi g). 4. Line 4, A merupakan differensiasi dari g terhadap x 5. Line 5, B merupakan differensiasi dari g terhadap y Selain differensiasi parsial, MATLAB juga dapat menyelesaikan differensiasi dengan order tinggi. Differensiasi order lebih tinggi dapat dilihat pada gambar 4.4.

Gambar 4.4. Differensiasi order lebih tinggi. Penjelasan dari gambar 4.4. adalah sebagai berikut: 1. Line 1, merupakan pendefinisian simbol 2. Line 2, Pendefinisian fungsi matematis 3. Line 3, B merupakan differensiasi dari A

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 22 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

4. Line 4, C merupakan differensiasi kedua dari A 5. Line 5, D merupakan differensiasi ketiga dari A 6. Dalam algoritma program ini, fungsi A hanya di differensiasikan terhadap x Dimana hasil dari program pada gambar4.4. ditunjukkan oleh gambar 4.5.

Gambar 4.5. Hasil output differensiasi order yang lebih tinggi 4.1.1.

Evaluasi numerik differensial

Differensial dapat dievaluasi secara numerik menggunakan fungsi subs. Fungsi subs mengganti atau mensubtitusi semua variabel simbolis di dalam suatu ekspresi. Contoh evaluasi numerik sebuah fungsi dapat dilihat pada gambar 4.6.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 23 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 4.6. Evaluasi numerik fungsi Penjelasan algoritma pada gambar 4.6. adalah sebagai berikut: 1. Line 1, teks 2. Line 2, mendefiniskan simbol yang akan dipakai, yaitu x dan y 3. Line3, Pendefinisian fungsi S 4. Line 4, A adalah meng-evaluasi fungsi S dengan mensubtitusi x dengan 3 5. Line 5, B adalah meng-evaluasi fungsi S dengan mensubtitusi x dengan 3, dan y dengan 2. 6. Line 6, C adalah meng-evaluasi fungsi S dengan mensubtitusi x dengan x, dan y dengan x+1. Pendifferensialan dan evaluasi numerik nya ditunjukkan dengan gambar 4.7. sementara hasilnya dapat dilihat pada gambar 4.8.

Gambar 4.7. Evaluasi Numerik Differensial Dari gambar 4.7, F merupakan fungsi awal, kemudian G adalah fungsi hasil differensiasi fungsi F terhadap x, kemudian H adalah meng-evaluasi G dengan range 0 sampai 1, dengan interval 0.1.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 24 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 4.8. Output hasil evaluasi numeric differensial dari gambar 4.7. 4.2.

Integral

Setelah

dapat

membuat

penyelesaian

differensial,

MATLAB

juga

dapat

menyelesaikan permasalahan integral. 4.2.1.

Indifinite Integral

Indefinite integral dapat menggunakan Fungsi int, dimana dipakai untuk mencari integral tak tentu atas sebuah fungsi yang didefinisikan dalam suatu ekspresi simbolis. Contoh penggunaan fungsi int, dilustrasikan oleh gambar 4.9.

Gambar 4.9. Penggunaan fungsi int dalam MATLAB Penjelasan algoritma pada gambar 4.9 adalah sebagai berikut: 1. Line 1, mendefiniskan simbol yang digunakan, yaitu a, b, t, x, y, z. 2. Line 2, Teks 3. Line 3,5, 7, Fungsi A, B, dan C adalah hasil pengintegralan dari fungsi di dalam kurung. Hasil dari algoritma pada gambar 4.9 dapat dilihat pada gambar 4.10.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 25 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 4.10. Hasil Indefinite integral dari gambar 4.9 4.2.2.

Definite Integral

Setelah dapat menentukan integral tak tentu, maka dapat pula ditentukan integral tertentu yaitu antara a sampai b. Contoh menentukan integral tertentu/definite adalah ditunjukkan gambar 4.11.

Gambar 4.11. Mengitung integral tertentu/definite Gambar 4.11. memiliki algoritmas sebagai berikut: 1. Line 1, pendefinisian simbol yang digunakan 2. Line 2, pendefinisian fungsi A 3. Line 5, B merupakan integral dari fungsi A dari 0 sampai 1 4. Line 9, C merupakan integral dari fungsi A dari 0 sampai 10. Hasil program pada gambar 4.11 dapat dilihat pada gambar 4.12.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 26 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 4.12. Hasil integral tertentu dari algoritma pada gambar 4.11

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 27 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

TUGAS APLIKASI 2 Selesaikanlah persoalan dibawah ini dengan menggunakan integral dan dikerjakan dalam M-File. Sebuah pabrik hendak mengosongkan tangki sedimentasinya. Namun ternyata valve keluaran bawah macet, sehingga perlu dipompa dari atas. Jika dimensi tangki adalah seperti pada gambar 4.13 dibawah ini:

Tentukan

kerja

yang

harus

dilakukan

untuk

mengosongkan

air,

dengan

memperhatikan bahwa pompa tidak boleh terisi oleh sludge padatan di bawah tangki.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 28 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB V PEMROGRAMAN LINIER Pemrograman (programming) secara umum berkaitan dengan penggunaan atau pengalokasian sumberdaya yang langka – tenaga kerja, bahan, mesin dan modal – dalam cara yang “terbaik” sehingga diperoleh biaya yang minimum atau profit yang maksimum. Istilah “terbaik” mengimplikasikan bahwa terdapat satu himpunan alternatif tindakan yang tersedia bagi pengambilan keputusan. Secara umum, keputusan terbaik diperoleh dengan memecahkan suatu masalah matematis. Contoh persoalan pemrograman linier adalah sebagai berikut: Pembatas: 1) Ketersediaan bahan Bahan A :

x1 + 2x2  6

Bahan B : 2x1 + x2  8 2) Permintaan Selisih permintaan:

x2 – x1 1

Permintaan cat interior : x2  2 3) Pembatas tak negatif

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 Fungsi Tujuan: Memaksimumkan Pendapatan total Z = 3x1 + 2x2 Untuk menyelesaikan pemrograman linier dengan MATLAB dapat menggunakan perintah linprog untuk persoalan dengan spesifikasi:  A.x  b  min f x such that  Aeq.x  beq x lb  x  ub  T

F, x, b, beq, lb, and ub adalah vector, A dan Aeq adalah matrik Syntax pada MATLAB untuk pemrograman linier sebagai berikut: x = linprog (f,A,b), Dengan constrain pertidaksamaan A*x <= b x = linprog (f, A, b, Aeb, beq), Ditambah dengan persamaan Aeq*x = beq Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 29 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

x = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub), Ditambah dengan batas atas dan batas bawah x = linprog (f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0), Ditambah dengan awal pencarian x 0 x = linprogf, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, option), Ditambah dengan option Contoh pemrograman dapat dilihat pada gambar 5.1.

Gambar 5.1. Pemrograman Linier dengan linprog 5.1.

Pemrograman Linier Biner

Pemrograman linier dapat dimodifikasi menjadi pemrograman biner dengan perintah

bintprog, dimana hasil yang dicari adalah berupa bilangan biner (0 atau 1). Contoh pemrograman linier biner ditunjukkan oleh gambar 5.2.

Gambar 5.2. Pemrograman Linier Biner dengan bintprog 5.2.

Pemrograman Linier Mixed Integer

Selain permrograman dengan bilangan biner, permrograman linier juga dapat dibuat hasilnya berupa bilangan bulat, yang disebut mixed integer linier programming (MILP). Contoh algoritma pemrograman linier mixed integer diilustrasikan dengan gambar 5.3.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 30 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 5.3. Mixed Integer Linier Programming TUGAS APLIKASI 3 Selesaikanlah permasalahan dibawah ini dengan menggunakan pemrograman linier menggunakan MATLAB: Sebuah perusahaan PT X menghasilkan bahan kimia cair sebagai aditif dalam pencetakan plastik. Perusahaan tersebut akan memasok bahan kimia ke perusahaan pencetakan pencetakan plastic dengan menggunakan pipa. Jalur pipa tersebut disajikan pada gambar 1. Perusahaan PT X disimbolkan dengan titik S (source), dan perusahaan pencetakan plastic adalah titik t. Aliran bahan kimia tersebut dapat mengalir melalui pipa dari titik 1 , 2, sampai 6. Kapasitas tiap jalur (I,j) mengindikasikan maksimum bahan kimia yang dapat dialirkan dari titik i ke titik j. Hitunglah bahan kimia yang bisa dipasok ke perusahaan pencetakan plastic oleh PT X

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 31 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB VI PEMROGRAMAN NON-LINIER Pemrograman dengan MATLAB dapat memecahkan permasalahan dalam formulasi persamaan non-linier. Dalam pemrograman MATLAB, perintah yang sering digunakan

dalam

permrograman

non-linier

adalah

fmincon,

yaitu

untuk

memecahkan persoalan non-linier programming dengan constraint. Penggunana

fmincon dapat dilakukan dengan sintax sebagai berikut:

 A.x  b  min f T x such that  Aeq.x  beq x lb  x  ub  x = fmincon (fun,x0, ,A,b), Dengan constrain pertidaksamaan A*x <= b x = fmincon(fun,x0, A, b, Aeb, beq), Ditambah dengan persamaan Aeq*x = beq x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeb,beq,lb,ub),ditambah dengan batas atas dan batas bawah. X = fmincon(fun,x0, A, b, Aeb, beq, lb, ub, option), Ditambah dengan option Pemrograman non-linier dengan MATLAB dapat dicontohkan pada gambar 6.1.

Gambar 6.1. Pemrograman Linier dengan fmincon Modifikasi: Pembatas juga dapat dibuat fungsi, dan kemudian dapat dipanggil oleh program utama. Sebagaicontoh dapat dilihat pada program di gambar 6.2.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 32 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 6.2. Pemrograman linier dengan fungsi terpisah Dari gambar 6.2 dapat ditunjukkan, bahwa fungsi utama memakai fungsi yang terpisah dengan M-ifle tersendiri (constinc), dan mengambil data dari M-file yang lain (tekinc1) TUGAS APLIKASI 4 Data pencetakan benda plastik dari Polipropilen adalah seperti dibawah ini: No 1 2 3 4 6

Waktu pendinginan (menit) 2 3 4 5 49

% Kristalisasi

No

Waktu pendinginan

% Kristalisasi

3 11 18 30 6

7 8 9 10 11

7 8 9 10 11

68 74 79 82 84

Derajat kristaliasi bahan dari polipropilen adalah minimal 0 dan maksimal 96. Suhu pendingin akan mempengaruhi kecepatan pendinginan, dimana penurunan 5 0 C suhu pendingin akan mempercepat pendinginan dua kali-nya. Dalam pencetakan di pabrik, pendingan maksimal adalah 10 menit. Jika suhu air pendingin yang digunakan untuk datatabel diatas adalah 250C, tentukan suhu pendingin dan waktu pendinginan untuk mencapai derajat kristalisasi yang maksimal.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 33 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB VII CURVE FITTING 7.1.

Polinomial dan akar-akarnya

Salah satu hal yang sangat penting dan diperlukan dalam pemodelan matematis adalah mencari akar fungsi-fungsi polinomial dan melakukan plotting secara grafis untuk mengidentifikasi kecenderuangan fungsi polinomial tersebut. Polinomial dalam MATLAB direpresentasikan

oleh

akar

akarnya.

Sebagai

contoh,

persamaan

polynomial:

3 x 3  2.23x 2  5.1x  9.8 , dalam MATLAB dapat dinyatakan sebagai: >> c = [ 3 -2.23 -5.1 9.8], karena basis MATLAB adalah matrik. Untuk mengevaluasi fungsi polinomial seperti diatas untuk setiap nilai x, maka dapat menggunakan perintah: >> x = -1:0.1:1;, Menentukan range dari data yang dievaluasi >> y = polyval(c,x); , Menentukan nilai y dari fungsi polinomial yang ada Selain melakukan evaluasi dan plotting fungsi polinomial, dapat dicari akar persamaan polinomial tersebut dengan perintah: >> r = roots(c) Dengan output: r= -1.5985 1.1709 + 0.8200i 1.1709 - 0.8200i Output diatas Memiliki satu akar bilangan real dan dua akar yang merupakan bilangan kompleks. MATLAB juga dapat mencari differensia simbolik dari fungsi polinomial tersebut dengan perintah: >> dc =polyder(c) Dengan output: dc = 9.0

-4.4600 -5.1000

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 34 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

7.2.

Curve fitting

Curve fitting dari sebuah data-set dapat dikerjakan dengan menggunakan MATLAB. Input data pada persoalan curve fitting adalah vektor x dan y dengan ukuran yang sama. Dengan MATLAB, dapat ditentukan apakah dependensi variabel y pada x adalah sebuah fungsi polinomial. Kemudian lebih lanjut dapat ditentukan derajat polinom dari fungsi polinomial tersebut. Perintah dalam MATLAB: >> c = polyfit(x,y,d);, Mencari dependensi y terhadap x dengan derajat polinomial d Contoh pemrograman untuk curve fitting dapat dilihat pada gambar 7.1 dan gambar 7.2.

Gambar 7.1. Pemrograman Polyfit

Gambar 7.2. Pemrograman Polyval

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 35 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

TUGAS APLIKASI 5 Selesaikanlah persoalan di bawah ini dengan curve fitting menggunakan MATLAB Seorang peneliti melakukanpenelitian tentang derajat kristalisasi bahan plastik pada sampel berbentuk silinder sebagai fungsi terhadap jarak terhadap pusat silinder. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut:

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 36 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB VIII PENYELESAIAN NUMERIS Salah satu hal yang paling dibutuhkan dalam pemodelan matematis, Berbagai aplikasi dalam bidang sains dan teknologi sering memerlukan nilai suatu variabel x yang membuat fungsi f(x)= 0. Nilai variabel yang memenuhi tersebut biasa disebut sebagai akar sebuah fungsi. Jika persamaan yang digunakan mudah untuk difaktorkan, maka hal tersebut tidak menjadikan masalah. Namun jika, persamaan yang akan dicari akarnya sulit untuk difaktorkan, maka diperlukan penyelesaian numeris untuk menyelesaikannya. Contoh pernyelesaian pencarian akar secera analitis adalah sebagai berikut: f ( x)  6 x 2  7 x  2 , diuraikan menjadi:

 2 x  1 3x  2 Sehingga,

x 1

2

dan x  2

3

Contoh diatas merupakan persamaan yang secara mudah dapat difaktorkan dan dicari akarnya secara analitis, sedangkan yang sulit untuk dicpecahkan secara analitis dapat dicari dengan metode numeris. 8.1. Metode Bisection Metode yang berbasis pada teorema nilai tengah yang selalu mencari titik tengah antara dua titik perkiraan. Metode ini Sering disebut binary search method. Algoritma metode bisection adalah sebagai berikut: 1. Pilih titik a dan b sedemikian rupa sehingga f(a)*f(b) < 0 2. Hitung titik tengah m = a + (b-a)/2 3. Hitung nilai f(m) 4. Bila f(m) = 0 atau (b-a)/2 < tol maka tampilkan nilai akar = m, selesai Selain itu maka: Bila f(a)*f(m)>0, geser a menjadi m,jika tidak maka b menjadi m Contoh pemrograman metode bisection dengan MATLAB adalah ditunjukkan gambar 8.1.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 37 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 8.1. Metode Bisection dengan MATLAB. Seperti diilustrasikan oleh gambar 8.1., penyelesaian metode numeris dengan bisection dapat dibagi menjadi beberapa bagian: 1. Pendefinisian fungsi 2. Input nilai awal 3. Memperkecil area pencarian dengan bisection 4. Batas toleransi dan penghentian pencarian. 8.2. Metode Secant Metode secant memiliki kecepatan konvergensi lebih daripada metode bisection. Metode untuk mempercepat konvergensi metode bisection, dengan menggunakan titik potong antara garis yang menghubungkan (a,f(a) dengan (b,f(b)) terhadap sumbu x. Metode secant memiliki algoritma sebagai berikut: 1. Masukkan f(x), titik awal a dan b 2. Ulangi pemasukan titik awal a dan b hingga memenuhi syarat 3. p0 = a dan p1 = b 4. Tetapkan tol (toleransi) dan maxit (maksimum iterasi) 5. Hitung fp0 =f (p0), dan fp1= f(p1) Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 38 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

6. n=1 7. Selama (n<maxit) a. p2 =p1-fp1*(p1-p0)/fp1-fp0) b. bila abs(p2-p1)< tol maka cetak (akar = , p2), selesai c. bila tidak n=n+1, p0=p1, p1 = p2, fp0 = fp1 8. Cetak (“ gagal, maximum iterasi terlampaui) Aplikasi

algoritma

metode

secant

pada

pemrograman

MATLAB

adalah

sebagai

diperlihatkan pada gambar 8.2.

Gambar 8.2. Metode Secant dengan MATLAB. Bagian-bagian program MATLAB untuk metode secant, mirip dengan metode bisection, namun ditambah penentuan titik p0 dan p1, untuk membuat titik potong yang dapat mencapai konvergensi pencarian secara numerik.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 39 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

8.3. Metode Newton raphson Metode Newton Raphson cepat mencapai konvergensi, dengan syarat fungsi f(x) bisa dideferensiasi pada titik x dalam suatu interval tertentu. Metode Newton Raphson memiliki algoritma sebagai berikut: 1. Masukkan persamaan f(x) 2. Masukkan titik awal x0 3. Hitung turunan pertama f1(x) = diff (f(x)) 4. Tetapkan tol dan maxit 5. Lakukan perulangan dari i=1 s/d maxit a. hitung fx = f(0), f1x=f1(x0) b. hitung x1 = 0 – fx/f1x c. hitung ff = f(x1) d. tampilkan (1, x0, x1, ff) e. Bila |x1-x0| < tol maka cetak (“akarnya=“, x1), selesai bila tidak : x0 = x1 6. Bila (I > maxit), Cetak (“Gagal, telah melampaui maksimum iterasi”) Aplikasi

algoritma

metode

secant

pada

pemrograman

MATLAB

adalah

sebagai

diperlihatkan pada gambar 8.3.

Gambar 8.3. Metode Newton Raphson dengan MATLAB.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 40 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Dibandingkan dengan metode Bisection dan metode Secant metode Newton Raphson memerlukan differensiasi, yang ditunjukkan line 8 pada gambar 8.3. TUGAS APLIKASI 6 Selesaikanlah persoalan di bawah ini dengan metode numeris bisection, secant, dan newton raphson menggunakan MATLAB, dan dibandingkan hasilnya. Carilah akar persamaan x (1  x 2  x ) ln( x)  x 2  1 •

Dengan metode bisection , secant dan newton raphson

•

Dengan interval, titik duga kiri 0, dan titik duga kanan dari 1-10 dengan increment 1

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 41 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB IX PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDINER Berbagai permasalahan dalam ilmu teknik dan rekayasa dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial. Persamaan differensial tersebut dapat disertai persyaratan atau kondisi tertentu. Persamaan yang mewakili sistem fisis adakalanya memiliki bentuk yang khas sehingga memiliki solusi analitik yang khas. Namun persamaan-persamaan yang ada banyak yang tidak bisa dilakukan secara analitik Contoh persamaan differensial adalah sebagai berikut: F  ma  m

dv dt

dv c  g  d v2 dt m Persamaan

diatas,

yang

merupakan

persamaan

dinamika

benda

jatuh,

maka

penyelesaiannya adalah sebagai berikut: Solusi analitik: v

 gc  mg tanh t  cd  m 

Solusi numerik: c   vt 1  vt   g  d v 2 t m   Solusi numerik tersebut adalah persamaan iterasi berdasarkan perubahan waktu mulai dari 0 hingga t. Persamaan differensial biasa (ordinary differential equation/ODE) adalah persamaan differensial yang menyatakan hubungan antara dua variabel , misalnya antara y dan t. dy  f (t , y ), a  t  b. dt Dengan nilai awal, y (a)   Definisi: Suatu permasalahan nilai awal (initial value

problem/IVP) yang dinyatakan

dalam bentuk persamaan differensial biasa, disebut well posed problem. a. Terdapat solusi unik y(t) dari persamaan differensial tersebut b. Untuk setiap nilai ε> 0 terdapat tetapan k sedmikian rupa sehingga apabila Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 42 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

0  

dan

 (t )  

Suatu solusi unik z(t) dari permasalahan:

dz  f (t , z )   (t ), dt z (t )  y (t )  k

a  t  b, z ( a )     0

, Memenuhi:

, untuk semua a  t  b

Berikut ini adalah contoh persamaan differensial bernilai awal (IVP) dan solusinya :

Penyelesaian persoalan persamaan differensial ordiner, solusi awalnya adalah berdasar deret Taylor, sebagai berikut: x(t  h)  x(t )  hx' (t ) 

h2 h3 hn x" (t )  x ( 3) (t )  ...  x ( n ) (t ) 2 3! n!

Contoh penyelesaian dengan deret Taylor sebagai berikut: (1) 2 Cari solusi persamaan differensial (PD): x (t )  t  x , Dengan x(0) =1 pada titik t = 0.1

Ekspansi deret taylor sekitar t=0, dengan h = (t-t0) = t, maka: x (1)  t  x 2  x (1) (0)  t 0  x(0) 2  0  1  1 x ( 2)  1  2 x.x (1)  x ( 2) (0)  1  2 x(0).x (1) (0)  1  2(1)(1)  3 x (3)  2 x.x ( 2)  2( x (1) ) 2  x (3) (0)  2(1)(3)  2(1) 2  8  x ( 4 ) (0)  2(1)(8)  6(1)(3)  34

Sehingga solusi deret Taylor dari persamaan tersebut adalah: 3 8 34 x(t )  1  t  t 2  t 3  t 4 2 3! 4! , Untuk t=0.1 maka x(0.1) = 0.9138 Untuk penyelesaian persamaan differensial, dapat diselesaikan dengan beberapa metode, antara lain metode euler, metode runge kutta, dan metode predictor-corrector.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 43 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

9.1. Metode Euler Metode penyelesaian persoalan nilai awal (IVP) yang paling dasar, ketelitian rendah, yaitu (1) 2 O(h2), merupakan ekspansi taylor orde-1, sebagai berikut: x(t )  x(0)  h x (0)  O(h ) (1) Apabila diberikan Persamaan Differensial: x  f  t , x  , Dan nilai awal x(0) = x0, maka

x(t )  x(0)  h. f (t 0, x 0) Selanjutnya diadakan iterasi mulai dari t = t 0 hingga t yang diinginkan Contoh algoritma penggunaan metode euler secara lengkap adalah sebagai berikut: (1) 1. Nilai awal: x  f (t , x ) ; a  t  b ; x(a )  

2. Input : batas [a, b], banyaknya titik n, nilai α 3. Output : solusi pada titik b, atau x(b) 4. Masukkan batas [a, b], jumlah titik n, dan nilai α 5. Hitung h=(b – a)/n 6. Mula-mula t =a, dan w=α 7. Ulangi untuk i = 1,2,3, … n 8. Cetak (t, w) 9. w= w + h * f (t, w) 10.t = a + i* h 11. Selesai Aplikasi pemrograman dengan MATLAB untuk metode euler ditnjukkan oleh gambar 9.1.

Gambar 9.1. Metode Euler dengan MATLAB. Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 44 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Kenudian, jika metode euler pada gambar 9.1., akan dibuat grafik atau plotting,dapat dilanjutkan dengan program pada gambar 9.2.

Gambar 9.2. Plotting grafik 9.2. Metode Runge Kutta Metode runge kutta Dikembangkan untuk meniru deret taylor tanpa melakukan differensial analitik berulang kali. Dimana Metode Runge Kutta Orde 2, Berbanding dengan deret Taylor Orde 2, sedangkan Metode Runge Kutta Orde 4, Menjabarkan solusi persamaan differensial ber-orde lebih tinggi agar diperoleh akuraasi yg tinggi Contoh algoritma metode runge kutta orde 2 adalah sebagai berikut: (1) 1. Diberikan persoalan bernilai awal: x  f (t , x) ; a  t  b ; x (a)  

2. Input : batas [a,b], banyaknya titik n, nilai α 3. Output : w sebagai solusi pada titik b, atau x(b) 4. Masukkan batas [a,b], jumlah titik n, dan nilai α 5. Hitung h = (b-a)/n 6. Mula – mula t=a, dan w=α 7. Ulangi i=1,2,3,…n a. cetak (t,w) b. hitung K1=f(t,w); K2=f(t+h, w+h*K1) c. w = w+h*(K1+K2)/2 d. t=a+i*h 8. Selesai Dan contoh aplikasi pemrograman pad program MATLAB sesuai algoritma diatas dapat dilihat pada gambar 9.3.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 45 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 9.3. Metode Runge Kutta Orde 2 Sedangkan jika dibutuhkan grafik, dapat dilakukan plotting yang identic dengan program pada gambar 9.2. Selain, runge kutta order 2, jika dibutuhkan ketelitian yang lebih baik, dapat digunakan runge kutta orde 4, dengan contoh algoritma sebagai berikut: 1.

(1) Diberikan persoalan bernilai awal: x  f (t , x) ; a  t  b ; x (a)  

2.

Input : batas [a,b], banyaknya titik n, nilai α

3.

Output : w sebagai solusi pada titik b, atau x(b)

4.

Masukkan batas [a,b], jumlah titik n, dan nilai α

5. Hitung h = (b-a)/n 6.

Mula – mula t=a, dan w=α

7. Ulangi i=1,2,3,…n a. cetak (t,w) b. hitung K1=f(t,w); c.

K2=f(t+h/2, w+h*K1/2);

d.

K3=f(t+h/2, w+h*K2/2);

e.

K4=f(t+h/2, w+h*K3);

f. w = w+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/2 g. t=a+i*h 5. Selesai

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 46 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Dan contoh aplikasi pemrograman pada program MATLAB sesuai algoritma runge kutta orde 4 dapat dilihat pada gambar 9.4.

Gambar 9.4. Metode Runge Kutta Orde 4 Sedangkan jika dibutuhkan grafik, dapat dilakukan plotting yang identic dengan program pada gambar 9.2 9.3. Metode Prediktor-korektor Metode predictor-korektor dikenal sebagai metode yang lebih teliti dibandingkan dua metode sebelumya, karena memiliki dua tahap perhitungan. Namun, metode predictor korektor memiliki kerumitan lebih pada pemrograman-nya. Contoh algoritma metode perdiktor korektor adalah sebagai berikut: (1) 1. Diberikan persoalan bernilai awal: x  f (t , x) ; a  t  b ; x (a)  

2.

Input : batas [a,b], banyaknya titik n, nilai α

3.

Output : w sebagai solusi pada titik b, atau x(b) 4. Tetapkan f(t,y), batas [a,b], nilai awal alpha, dan itmax N 5. Hitung h = (b-a)/N 6. Nilai awal : t0 = a, w0 = alpha 7. Cetak (t,w) 8. Untuk i=1,2,3: (mencari titik awal menggunakan runge kutta

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 47 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

a. k1 = h*f(ti-1, wi-1 ) b. k2 = h*f(ti-1 + h/2, wi-1 +k1/2) c. k3 = h*f(ti-1 + h/2, wi-1 +k2/2) d. k4 = h*f(ti-1 + h, wi-1 +k3) e. wi = wi-1 + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6 f. t = a + i*h g. cetak (ti , wi ) 9. Untuk i = 4,…, N : a. t = a + i*h b. w = w3 + h*[55*f(t3 , w3 ) – 59*f(t2 , w2 )+37*f(t1 , w1 ) – 9*f(t0 , w0 )]/24 c. w = w3 + h*[9*f(t , w ) +19*f(t3 , w3 ) - 5*f(t2 , w2 ) + f(t1 , w1 )]/24 d. cetak (t,w) e. untuk j = 0,1,2 i. tj = tj+1 ii. wj = wj+1 f. t3 = t; w3 =w 10. Selesai Penyelesian metode Prediktor-Korektor dengan MATLAB dapat ditunjukkan dengan gambar 9.5. dan gambar 9.6.

Gambar 9.5. Metode Prediktor Korektor Bagian 1 (penentuan empat titik awal) Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 48 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar 9.5. menunjukkan metode predictor korektor bagian pertama, yaitu menentukan empat titik awal. Program selanjutnya untuk bagian predictor dan korektor dapat dilihat pada gambar 9.6.

Gambar 9.6. Metode Prediktor Korektor Bagian 2 (Prediktor- korektor)

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 49 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

TUGAS APLIKASI 7 Selesaikanlah persoalan di bawah ini dengan persamaan differensial metode euler, runge kutta orde 2, runge kutta orde 4, dan predictor-korektor menggunakan MATLAB, dan dibandingkan hasilnya. Sebuah dinding plat terbuat dari tembaga memiliki tebal 5 cm, memiliki suhu dinding luar 180 C. Akan didinginkan dengan cairan pendingin yg mengalir diluar didinding. Jika perpindahan panas dalam didinding berlaku hukum fourier untuk konduksi : q   kA

dT dx

Pendingin yang digunakan adalah air bersuhu 25 C, dan terjadi perpindahan panas konveksi dengan didinding plat sesuai persamaan: q  hA(Tw  Tc )

Carilah distribusi suhu pada dinding Plat tersebut.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 50 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

BAB X (PENGAYAAN) SIMULASI DENGAN MOLDFLOW ADVISER Selain membuat sebuah pemodelan matematis, mata kuliah pemodelan juga menyajikan materi aplikasi simulasi mesin injection molding menggunakan software moldflow adviser Langkah-langkah dalam melakukan simulasi cetak injeksi adalah sebagai berikut: 1. Langkah Pertama membuat project baru dengan cara pilih icon “New Project”

2. Membuat nama project dan simpan project pada folder yang dikehendaki. Untuk memudahkan akses simpan pada folder default penyimpanan pada saat instalasi aplikasi. Kemudian klik tombol OK setelah menentukan nama project yang dikehendaki

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 51 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

3. Klik icon import pada aplikasi posisi di pojok kiri atas untuk mengimport model creo parametric yang akan dilakukan simulasi injeksi molding.

4.

Sesuaikan ukuran unit model creo

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 52 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

5. Pastikan pada menu advanced option, ceklist “Automatic clean up” dan “Check suitability” kemudian klik next.

6.

Proses import akan berlangsung.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 53 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

7. Setelah selelai proses import wizard, ceklist “Advance – True 3D” untuk proses analisis kita nanti, kemudian klik tombol Finish.

8. Selamat anda berhasil melakukan proses import model creo parametric yang anda pilih.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 54 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

9. Langkah berikutnya kita akan mulai menganalisis injection molding, dengan cara pilih icon “Injection Locations” kemudian letakan pada bagian model creo ditempat yang diinginkan sebagai lokasi awal injeksi. Sebagai catatan kita bias meletakan lebih dari satu titik injeksi dan mengubah lokasi injkeksi setelah kita letakan titik injeksi pada model.

Sebagai contoh kita letakan titik lokasi injeksi seperti gambar dibawah ini

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 55 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

10.

Pilih material yang akan di injeksi pada model

Sebagai contoh kita menggunakan material Polypropylene (PP)

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 56 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

11. Kemudian kita pilih “Process setting wizard” untuk melakukan editing pada temperature mold, temperature melt, injection pressure, dan injection times.

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 57 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

12.

Kita mulai analisis dengan klik icon “Start Analisis”

13. Pada saat dilakukan analisis kita bisa mengobservasi pengisian material pada proses injeksi

Terlihat proses pengisian material pada model yang kita injeksi Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 58 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 59 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

14.

Setelah beberapa saat selesailah proses injeksi material

15. Kita bisa melihat hasil (Result) dari proses injeksi pada model creo berdasarkan Fill , dengan cara mengklik icon “Result” seperti gambar dibawah ini

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 60 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

tinggal ceklist data apa yang kita butuhkan. Berikut adalah contoh Fill berdasarkan

Gambar Result berdasarkan Fill time

Gambar Result berdasarkan Confidence of fill

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 61 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar Result berdasarkan Plastic Flow

Gambar Result berdasarkan Quality Prediction

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 62 dari 63

Modul Pembelajaran Berbasis Kompetensi Bidang Sistem Manufaktur

Gambar Result berdasarkan Injection Pressure Simpan Result analisis hasil injeksi

Judul Modul Pemodelan Komputer Buku Informasi da Buku Kerja

Halaman: 63 dari 63