01 Apost. Mat. Financ. Janeiro 2017 Edimilson 4 Aulas.pdf

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3 SUMÁRIO 1. PROGRAMA DA DISCIPLINA ........................................................................... 4 1.1 EMENTA ............................................................................................................ 4 1.2 CARGA HORÁRIA TOTAL .......................................................................................... 4 1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................ 4 1.4 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ..................................................................................... 4 1.5 METODOLOGIA .................................................................................................... 4 1.6 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ....................................................................................... 4 1.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA .................................................................................. 5 CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR ........................................................................... 5 2. MATERIAL COMPLEMENTAR ............................................................................ 6 2.1 SITES PARA CONSULTA ........................................................................................... 6 2.2 PLANO DE AULAS.................................................................................................. 7 3. INTRODUÇÃO.................................................................................................. 8 3.1 PORQUE ESTUDAR O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO? ..................................................... 8 4. UNIDADE I ...................................................................................................... 9 4.1 CONCEITO DE JUROS ............................................................................................. 9 4.2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA ...............................................................................10 4.3 CONCEITOS GERAIS – JUROS ..................................................................................11 4.4 JUROS SIMPLES ..................................................................................................14 4.5 DESCONTO SIMPLES ............................................................................................17 4.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ......................................................................................18 5. UNIDADE II .................................................................................................. 21 5.1 JUROS COMPOSTOS .............................................................................................21 5.2 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS .......................................................................23 5.3 TAXAS DE JUROS ................................................................................................25 5.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ......................................................................................28 6. UNIDADE III ................................................................................................. 35 6.1 SÉRIES UNIFORMES .............................................................................................35 6.2 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO...................................................................................41 6.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ......................................................................................47 6.4 MÉTODOS DE ANÁLISE DE FLUXOS DE CAIXA ................................................................50 6.4.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)..........................................................................50 6.4.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) ........................................................................51 6.4.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ...................................................................................55

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1. PROGRAMA DA DISCIPLINA 1.1 Ementa Juros simples e Juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. Valor Presente e valor Futuro. Equivalência de taxas de juros e equivalência de fluxos de caixa. Sistemas de amortização. Price e SAC. Análise de Investimentos. Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno.

1.2 Carga horária total 24 horas/aula

1.3 Objetivos Permitir ao aluno: • Conhecer e compreender as definições e simbologias empregadas nas práticas do mercado financeiro. • Entender os fluxos de caixa para otimizar os resultados operacionais da empresa na escolha das alternativas. • Praticar os cálculos utilizados na obtenção dos parâmetros que dão sustentação às tomadas de decisão no cotidiano do mercado.

1.4 Conteúdo programático Juros simples: Conceito de juros simples. Desconto de duplicatas. Desconto de títulos. Valor de face e valor de mercado. Juros compostos: Conceito de juros compostos. Valor do dinheiro no tempo. Valor presente e valor futuro. Equivalência de taxas de juros e equivalência de fluxos de caixa. Períodos de Capitalização. Taxas anuais, mensais e diárias. Equivalência de fluxos de caixa. Sistemas de amortização. Tabela Price, SAC. Análise de Investimentos: Valor presente líquido e taxa interna de retorno. Taxa de desconto. Valor e custo. Problemas da TIR.

1.5 Metodologia Aulas teóricas expositivas intercaladas com sessões de exercícios de aplicação prática. OBS: Preferencialmente, utilização da calculadora financeira HP12c em todas as aulas.

1.6 Critérios de avaliação Prova Individual (sem consulta)

100%

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1.7 Bibliografia recomendada ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 13a ed. São Paulo: Atlas, 2016. PUCCINI, Abelardo L.. Matemática Financeira - Objetiva e Aplicada. 9a ed. Elsevier Campus, 2011.

Curriculum resumido do professor Edimilson Costa Lucas, Doutor em Administração de Empresas (Linha de Finanças) pela EAESP/FGV-SP, Mestre em Estatística aplicada a Finanças pela UNICAMP, MBA em Finanças pela FGV, extensão em Finanças pelo INSPER, FIPECAFI-USP, FEA-USP e IME-USP, Bacharel em Matemática pela Univ. Federal de Uberlândia. Consultor financeiro e de modelagem quantitativa, sócio-proprietário da ECL Consultoria e Treinamento Ltda. Diversos clientes atendidos em consultorias e treinamentos tais como Banco Itaú (Brasil e América do Sul), Credit Suisse Hedging-Griffo, COPASUL, Medley, Bauducco, Colibri, Davene, K&M Indústria Química, Jonhson&Jonhson, entre outros. Atuou durante cinco anos como Professor da área de Métodos Quantitativos Aplicados dos cursos de MBA da ESPM-SP. Professor ganhador do Prêmio Anual de Reconhecimento de Mérito Docente pela FGV na área de Finanças/Quantitativo referente aos anos de 2007, 2013 e 2014. E-mail: [email protected], [email protected] Skype: [email protected]

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2. MATERIAL COMPLEMENTAR 2.1 Sites para consulta economia.uol.com.br/cotacoes/bolsas/bvsp-bovespa/ - Site para acompanhar as cotações das ações negociadas na bolsa de valores de São Paulo. www.institutoassaf.com.br - Site dedicado ao estudo de finanças; vários indicadores financeiros de empresas de capital aberto, bem como indicadores econômicos. www.anefac.com.br - Site da Associação Nacional das Factoring www.valor.com.br – Jornal Valor com diversas informações financeiras. www.bacen.gov.br - Site do Banco Central do Brasil www.bloomberg.com - A americana Bloomberg reúne notícias e cotações atualizadas do Brasil e do exterior durante o dia. www.bndes.gov.br - Site do Banco Nacional de Desenvolvimento e Social apresenta : a empresa; seus produto e serviços; o programa de privatização; publicações ; notícias; programa cultura. www.bmfbovespa.com.br - Site da BM&F/BOVESPA. www.infomoney.com.br - Site com informações financeiras. www.exame.com.br – Site com várias informações financeiras de empresas de diversos setores da economia, bem como reportagens diversas. www.ipea.gov.br – Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada. www.economatica.com.br – Site com informações financeiras e de risco. www.comdinheiro.com.br – Site com informações financeiras e de risco.

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2.2 Plano de aulas AULAS

01

02

03

04

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO Introdução à Matemática Financeira. Cálculos percentuais. Juros Simples e Desconto Simples. Introdução aos Juros Compostos. Exercícios de aplicação.

Juros Compostos. Fórmulas e práticas. Equivalência de Fluxos de Caixa. Taxas de Juros. Taxas Nominais e efetivas de juros. Taxas proporcionais e equivalentes. Exercícios de aplicação.

Juros compostos. Sistemas de Financiamentos. Séries de Pagamentos Uniformes. Séries Antecipadas, Postecipadas e Diferidas. Exercícios de Aplicação. Sistemas de Amortização. Tabelas Price e SAC. Métodos de avaliação de fluxos de caixa: VPL e TIR.

“CASES”/TRABALHO EM GRUPO/DINÂMICAS ASSAF NETO, Alexandre. Exercícios básicos de Matemática Financeira e aplicação. suas Aplicações. 12a ed. São Paulo: Atlas, 2012. Exercícios de Juros Simples e Desconto Simples. Apostila da disciplina. LEITURA RECOMENDADA

Exercícios de Juros Compostos e ASSAF NETO, Alexandre. equivalência de fluxos Matemática Financeira e de caixa. suas Aplicações. 12a ed. São Paulo: Atlas, 2012. Exercícios sobre transformação das taxas de juros. Apostila da disciplina. Trabalho – parte 1. Exercícios de aplicação. ASSAF NETO, Alexandre. Exercícios de revisão. Matemática Financeira e suas Aplicações. 12a ed. Exercícios de Séries de São Paulo: Atlas, 2012. Pagamentos Uniformes. Apostila da disciplina. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. 12a ed. São Paulo: Atlas, 2012. Apostila da disciplina.

Exercícios sobre Análise de Viabilidade de Projetos. Exercícios Gerais.

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3. Introdução 3.1 Porque estudar o Valor do Dinheiro no Tempo? Organize sua vida financeira e descubra que possui mais recursos do que pensa ter para investir. Faça um PLANEJAMENTO FINANCEIRO e responda: Para onde vai o meu dinheiro? Por que investir? Mantenho minhas aplicações ou pago minhas dívidas? Como selecionar meus objetivos? Quais são as minhas opções de investimentos? Mantenho minhas aplicações ou pago minhas dívidas? Depende do custo de suas dívidas Você tem um ativo (suas aplicações) e um passivo (suas dívidas). Se a remuneração do ativo, que é a taxa de retorno de sua aplicação, for mais alta do que o custo do passivo, que é a taxa de juros cobrada por sua dívida, deixe tudo do jeito que está. Do contrário, liquide a dívida. Quais são as minhas opções de investimentos? • • • •

Comprando um imóvel ou outros ativos? Aplicando em títulos de renda fixa? Aplicando em ações ou Fundo de investimento? Caderneta de poupança?

Porque estudar Matemática Financeira? •

•

Em linguagem simples, direta e acessível, a matemática financeira fornecerá noções básicas do mercado financeiro e os educará para o hábito de planejar despesas, poupar e investir. Trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.

Objetivos da Matemática Financeira • • •

Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes, com aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo. Obter a taxa interna de retorno, embutida no fluxo de caixa. Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma operação.

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4. UNIDADE I 4.1 Conceito de Juros DEFINIÇÕES DE JUROS - Remuneração do dinheiro aplicado. - Custo do dinheiro tomado emprestado. REGIMES DE JUROS - Juros simples (Linear, Progressão Aritmética) - Juros Compostos (Exponencial, Progressão Geométrica) TAXAS DE JUROS - % a.d. - % a.s. - % a.m.

(diárias) (semestrais) (mensais)

% a.a. (anuais) % a.t. (trimestrais)

Situações: - $1.000,00 na data de hoje não são iguais a $1.000,00 em outra data futura. - O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros. - Se aplicarmos $1.000,00, hoje, a 8% a.a. teremos um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00, no final do ano. - Para uma taxa de juros de 8% a.a., tanto faz termos $1.000,00, hoje, ou $1.080,00, daqui a um ano. - $1.000,00 hoje somente serão iguais a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser nula. - Montantes em datas diferentes só devem ser somados após transformados em valores de uma mesma data, mediante aplicação correta de uma taxa de juros

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4.2 Diagrama do Fluxo de Caixa A matemática financeira se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos momentos de tempo, um conjunto de entradas e saídas de caixa definidos como fluxo de caixa.

•

FLUXO DE CAIXA - Convenções: Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do seu prazo de duração.

•

As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática financeira.

•

As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.

•

As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima. Representação Gráfica:

FC1

FCn

FC2 FC4

0

...

3 1

2

4

FC3

n

Per’odos (unidades de tempo)

FCj = Fluxo de Caixa j

FC0

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4.3 Conceitos Gerais – Juros “Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no presente (P) e o que é cobrado no período de tempo futuro (F), quer seja ano, mês ou dia” “Taxa de Juros (i) é definida como:” – –

Quantifica a remuneração de capital Geralmente apresentada em %

A Taxa percentual – refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de: Juro = 1000 x (20/100) = = 1000 x 0,20 = 200 = remuneração do capital investido. A Taxa unitária – refere-se a unidade de capital. Reflete o rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada. Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de: Juro = 1000 x 20 / 100 = = 1000 x 0,20 = 200 = remuneração do capital investido.

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12 Primeiras Operações na HP12c:

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13 Cálculo de Porcentagens: (AQUECIMENTO) 1) O preço original de um produto era R$ 450,00. O mesmo sofreu acréscimos seguidos de 4% e de 9%, sofrendo em seguida uma redução de 15%. Qual foi a variação percentual acumulada na operação?

2) Um produto teve reduções consecutivas de 7% e 14%, sendo posteriormente aumentado de 5%, 6% e 8%. Ao final, qual foi a variação percentual acumulada?

3) Devido à baixa procura, um produto entrou em promoção com 17% de desconto, passando a ser vendido por R$ 112,00. Qual o preço de venda antes da promoção?

4) Uma loja pretendia promover um aumento real de 3,5% em seus preços. Para isso, utilizou-se de uma prática muito comum no mercado: aplicou um aumento e posteriormente um desconto. Pergunta-se: Dado que o aumento inicial foi de 12,5%, qual a taxa de desconto anunciada na “promoção”?

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4.4 Juros Simples Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem apesar de ficarem retidos pela instituição financeira. Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em progressão aritmética) Exemplo: Capital inicial = $10.000,00 Taxa de juros simples = 10% a.a. Prazo de aplicação = 4 anos. Anos

Saldo

Juros

0 1 2 3 4 Monte uma representação gráfica:

Saldo Acumulado

$ 15.000 $ 14.000 $ 13.000 $ 12.000 $ 11.000 $ 10.000 0

1

2

3

4

Anos

Fórmula de JUROS SIMPLES:

FV = PV (1 + i.n) Onde: FV = Valor Futuro; Montante; Valor de Face; Valor Nominal PV = Valor Presente ou Principal i = taxa unitária de juros n = quantidade de períodos

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15 Exemplos: 1) Aplicando um capital de R$4.000 hoje a uma taxa de juros simples de 5% a.m., quanto você terá ao final de 6 meses?

2) Determinar o valor do principal que deve ser aplicado com uma taxa de juros de 1,5% a.m, para produzir um montante de $10.000,00 no prazo de dois semestres, no regime de juros simples.

3) Determinar o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com uma taxa de juros de 2% a.m, no regime de juros simples.

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16 4) Determinar o valor da taxa de rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um principal de $1.000,00 se transformar num montante de $1.250,00, num prazo de 20 meses.

5) Uma TV é vendida nas seguintes condições: $1.800,00 à vista, ou 30% de entrada mais $1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa mensal de juros simples cobrada na venda a prazo.

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4.5 Desconto Simples Também é conhecido como: - Desconto comercial; - Desconto bancário; - Desconto “por fora”.

PV

FV

0

n

Fórmula de Cálculo: (Desconto Simples) PV = FV (1 – d.n)

Exemplos: (Desconto Simples) 1) Determinar o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês.

2) Determinar o valor da taxa mensal de desconto “por fora” usada numa operação de desconto de 60 dias, de um título com valor de resgate de $10.000,00 e com valor do principal igual a $9.750,00.

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4.6 Exercícios Resolvidos 1 – Uma aplicação financeira de R$40.000,00 foi realizada pelo prazo de 5 meses, a uma taxa linear de juros de 2% a.m. Determine o valor do montante final. PV = 40.000 n=5 i = 2% FV = 40.000 ( 1 + 0,02 x 5) FV = 44.000 2 – Considerando o sistema de juros simples, Thander tem uma dívida de R$4.000,00 com vencimento de 3 meses, e uma outra dívida de R$6.000,00, com vencimento em 10 meses (em relação a data inicial do contrato). Se Thander desejar quitar toda essa dívida a partir de um pagamento único a ser realizado no mês 6, qual deve ser o valor desse pagamento, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3%a.m.?

0

4.000

?

6.000

3

6

10

Vamos encontrar os dois valores na data de interesse (data 6), usando a fórmula de juros simples: FV = PV ( 1 + i n) Como é Juros simples, temos que encontrar, primeiramente, todos os valores na data zero. Ou seja, vamos achar o PV de cada um deles: PV1=4.000/(1+0,03x3) = 3.669,72 PV2 = 6.000/(1+0,03x10) = 4.615,38 PV1+PV2 = 8.285,10 Agora, achamos o FV na data 6: FV = 8.285,10 (1+0,03x6) = $9.776,42 3 – Uma empresa toma empréstimo de R$150 mil à uma taxa de 1,8% a.m. no regime de capitalização simples. Sabendo-se que a amortização será feita 6 meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago ao final deste período. FV = 150.000 ( 1+0,018 x 6 ) = 166.200 4 – Um agente financeira aplica R$85.000,00 por cinco meses à uma taxa de 0,9% a.m. Qual foi o valor do juros obtido nessa aplicação, considerando capitalização simples? FV = 85.000 ( 1+ 0,009 x 5 ) = 88.825 Juros = 88.825 – 85.000 = 3.825

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19 5 – Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remuneração deste capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juros simples ao mês dessa operação? PV = 50.000 FV = 50.000 + 4.350 = 54.350 n=4 54.350 = 50.000 ( 1+i x 4) 54.350/50.000= 1+4 i 1,0870 = 1 + 4 i 0,0870 = 4 i i = 0,0870/4 = 2,18% a.m.

6 – Um título com valor nominal de R$100 mil, foi descontado 90 dias antes de seu vencimento, proporcionando valor atual de R$89.625,75. Determine a taxa de desconto simples mensal desta operação. PV = FV (1-d.n) 89.625,75 = 100.000 ( 1 – d. 3) 89.625,75/100.000 = 1- 3 d 0,89625 = 1 – 3 d 0,89625 – 1 = - 3 d -0,1038 = -3 d d = 0,1038/3 = 3,46%a.m.

7 – Uma empresa possui um borderô de duplicatas, as quais serão descontadas a uma taxa de desconto simples de 2,75% a.m.. Calcule o valor total de desconto. Duplicata Valor (R$) Vencimento (em dias corridos) AAX 20.000,00 45 BBX

10.000,00

64

XXX

8.000,00

82

Encontrando o PV de cada duplicata, teremos: Desc1 = 20.000 – 19.175 = 825 PV1 = 20.000 (1-0,0275 x 45/30) = 19.175 PV2 = 10.000 (1-0,0275 x 64/30) = 9.413,33 Desc2 = 10.000 – 9.413,33 = 586,67 PV3 = 8.000 (1-0,0275 x 82/30) = 7.398,67 Desc3 = 8.000 – 7.398,67 = 601,33 Valor total de desconto: Desc1 + Desc2 + Desc3 = R$ 2.013,00

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20 8 – Juca, em 12/06/2015, realizou uma operação com 160 dias corridos. Determine a data de resgate dessa aplicação. f clx g D.MY f 6 (6 casas decimais) 12.062015 ENTER 160 g DATE 19.11.2015 4 (quinta-feira) 9 - Um capital de $80.000,00 é aplicado à taxa linear de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Solução: J = 80.000,00 x 0,025 x 3 = $6.000,00 10 - Javirone tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em $270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Solução: 270.000 = PV x 0,06 x 9 => PV = $500.000,00 11 - Um capital de $40.000,00 foi aplicado em um fundo de investimentos por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação. Solução: 9.680 = 40.000 x i x 11 => i = 2,2% a.m. 12 - Uma aplicação de $250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. Solução: 27.000 = 250.000 x 0,018 x n => n = 6 meses 13 - Salomão aplica $18.000,00 à taxa linear de juros de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. Solução: FV = 18.000 (1 + 0,015x8) = $20.160,00

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5. UNIDADE II 5.1 Juros Compostos - Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras. - Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o novo capital. (crescimento exponencial). Exemplo: Capital inicial = $10.000,00 Taxa de juros = 10% a.a. Prazo de aplicação = 4 anos. Anos

Saldo

Juros

0 1 2 3 4 Monte uma representação gráfica:

Saldo Acumulado

$ 15.000 $ 14.000 $ 13.000 $ 12.000 $ 11.000 $ 10.000 0

1

2

3

4

Anos

Fórmula de Juros Compostos:

FV = PV (1 + i ) n Onde: FV = Valor Futuro, Montante, Valor de Face, Valor Nominal PV = Valor Presente, Principal i = taxa unitária de juros n = quantidade de períodos Obs: As nomenclaturas são as mesmas utilizadas em juros simples.

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22 Exemplos: 1) Calcular o montante de um principal de R$3.500,00 aplicado por 8 meses a juros compostos de 2%a.m.

2) A que taxa de juros um capital de R$13.200,00 poderá transformar-se em R$35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses no regime de juros compostos?

3) Os rendimentos de uma aplicação de R$ 17.800,00 somaram R$ 6.700,00 ao final de 7 meses. Determine a taxa mensal de juros compostos da aplicação.

4)

Anacreonte deseja fazer um financiamento de $70.000 para aquisição de um bem. Este financiamento será pago em três prestações mensais de $20.000, $25.000 e $15.000 para o 1º, 2º e 3º mês, respectivamente. Sabendo-se que Anacreonte tem que pagar mais uma parcela adicional (intermediária) no 2º mês, qual deve ser o valor desta parcela, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 5% a.m.?

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5.2 Juros Simples x Juros Compostos

Juros compostos

Juros simples

n=1 EXERCÍCIOS JUROS COMPOSTOS: 1) Uma pessoa depositou R$2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois deposita mais R$2.500,00 e, dois meses depois deste último depósito, realiza uma retirada de R$1.300,00. Qual será o saldo da poupança ao final do quinto mês se a taxa de juros compostos ganha for de 1%a.m.?

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24 2) Uma pessoa deve R$3.000,00 com vencimento em 2 anos e R$4.500,00 com vencimento em 6 anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento único a ser efetuado no final de 4 anos. A juros de 10%a.a., calcular o valor do pagamento único que liquida a dívida.

3) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 9 anos, à taxa de 10% a.a., produz um montante final de R$ 205.000,00 ?

4) Um capital, aplicado a juros compostos, durante 7 meses, transformou-se num montante igual ao seu dobro. Determine a taxa mensal da aplicação.

5) Uma determinada empresa teve seu faturamento aumentado de R$ 80.000,00 para R$ 400.000,00 em apenas 3 anos. Determine o percentual de crescimento exponencial anual desse faturamento.

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5.3 Taxas de Juros -

Taxa efetiva: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

-

Taxa nominal: é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais.

-

Taxas proporcionais: são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do dinheiro, no regime de juros simples.

-

Taxas equivalentes: são taxas de juros que permitem o mesmo crescimento do dinheiro, no regime de juros compostos. Relação entre as taxas de juros:

Taxas Proporcionais: (Juros Simples)

Taxas Equivalentes: (Juros Compostos)

nquero

iquero = (1 + itenho ) ntenho − 1

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26 Exemplos e observações sobre as transformações de taxas de juros:

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27 Exemplos: 1 – Determinar as taxas efetivas anuais que são equivalentes a uma taxa nominal de 15%a.a., com os seguintes períodos de capitalização: mensal, bimestral e trimestral. a) 15% a.a. com capitalização mensal:

b) 15% a.a. com capitalização bimestral:

c) 15% a.a. com capitalização trimestral:

2 – Determinar o montante acumulado ao final de três anos, ao se aplicar R$5.000,00, à taxa de 11% ao ano, capitalizados mensalmente.

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28

5.4 Exercícios Resolvidos 1 – Um capital de R$12.000,00 foi aplicado durante 2 anos, a uma taxa de juros de 0,6% a.m.. Determine o montante acumulado. 12.000 CHS PV 24 n (meses) 0,6 i (taxa mensal) FV = 13.852,65 2 – Qual o capital que deverá ser aplicado hoje para atingir um montante final de R$20.000,00, considerando uma taxa de 0,7%a.m. e um prazo de 36 meses. 20.000 CHS FV 0,7 i 36 n PV = 15.558,55 3 - Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5%a.m ? Se o rendimento iguala-se ao capital, então FV será o dobro do PV. 1 CHS PV 2 FV 5i n = 15 meses 4 - (DESAFIO)- Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2%am e o segundo, a 1,5am. O primeiro capital é de R$ 10.000,00 maior que o segundo e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. Temos que montar um conjunto de equações: (juros compostos) Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2%a.m. e o segundo, a 1,5a.m. (I) FV1 = PV1 (1,02)24 = PV1 (1,6084) FV2 = PV2 (1,015)24 = PV2 (1,4295) (II) O primeiro capital é de R$ 10.000,00 maior que o segundo PV1 = 10.000+PV2 (III) e seu rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Rend1 = 6.700 + Rend2 (IV)

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29 Mas, Rend1 = FV1 - PV1 Rend2 = FV2 - PV2

(V) (VI)

Na equação (IV) substitua os rendimentos (V e VI) (FV1 - PV1) = 6.700 + (FV2 - PV2) No lugar de FV1 e FV2 substitua pelas equações I e II. PV1 (1,6084) - PV1 = 6.700 + ( PV2 (1,4295) - PV2) 0,6084 PV1 = 6.700 + 0,4295 PV2 No lugar de PV1, substitua pela equação III 0,6084 (10.000 + PV2) = 6.700 + 0,4295 PV2 6.084 + 0,6084 PV2 = 6.700 + 0,4295 PV2. Logo, PV2 = 3.443,32 (lembre-se que esses valores estão aproximados, pois truncamos em quatro casas decimais os nossos cálculos, está OK!) PV1 = 13.443 5 - (DESAFIO)- Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% a.m. produz um montante que excede em R$4.500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4%am. Primeiro, FV = PV (1,04)3 = PV (1,1249) (montante dos juros compostos) Segundo, FV = PV (1+0,04 x 3) = PV (1,12) (montante dos juros simples) produz um montante que excede em R$4.500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples FV = 4.500 +1,12PV Substituindo: 1,1249 PV = 4.500 +1,12 PV PV = 925.164,47

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30 6 – Um agente de mercado aplicou R$60 mil pelo período de 213 dias. Foi totalizada uma quantia de R$8.250,00 de juros. Qual é a taxa de juros anual dessa aplicação? 60.000 CHS PV 68.250 FV 213 ENTER 360 ÷ n i = 24,33%a.a.

7 – Um financiamento bancário cobra uma taxa nominal de juros de 36%a.a. com capitalização trimestral. Determine a taxa efetiva anual da operação. itrim = 36/4 = 9%a.t. 100 CHS PV 9i 4n FV = 141,16 141,16 – 100 = 41,16%a.a. (taxa efetiva anual)

8 – Numa aplicação financeira a taxa efetiva da operação é de 1,5% a.m.. Determine a taxa efetiva para 6 meses. 100 CHS PV 1,5 i 6n FV = 109,34 109,34 – 100 = 9,34%a.s.

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31 9 – Numa operação de venda, o valor à vista cobrado seria de R$60.000,00. No entanto, Genivaldino não possui esse valor total para pagamento à vista. Faz uma proposta para pagar R$20.000,00 no ato do contrato, mais R$30.000,00, em 2 meses e o restante para 8 meses. Qual o valor desse último pagamento sabendo-se que a taxa de juros praticada pela empresa credora é de 2% a.m.? Vamos trabalhar com todos os valores na mesma data (data zero). 30.000 CHS FV 2n 2i PV = 28.835,06 Na data zero: 60.000 – 20.000 – 28.835,06 = 11.164,94 Como esse valor será pago na data 8, basta encontrar o FV correspondente: 11.164,94 CHS PV 8n 2i FV = 13.081,51 10 – Um banco cobra uma taxa efetiva de juros de 20%a.a.. Determine a taxa efetiva trimestral dessa operação. Faça PV = 100. Como a taxa é de 20%a.a.. Então FV=120 (na data 1 ano). Dentro do ano, temos 4 trimestres. Assim, 100 CHS PV 120 FV 4n Peça a taxa i = 4,66%a.t..

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32 11 – Qual capital que aplicado hoje, produzirá um rendimento de $10.000 ao final de 4 anos, considerando uma taxa de 10%a.a.? Rendimento = 10.000  FV = PV+10.000. Aplicando a fórmula de juros compostos, teremos: PV+10.000 = PV (1+0,10)4 PV+10.000 = 1,4641 PV  Assim, PV=$21.547,08. INVESTIMENTOS FINANCEIROS • • • •

Poupança Fundos de renda fixa Fundos de ações Bolsa de Valores A mágica dos juros compostos

Juros sobre juros... Capitalização composta dos juros!!!

CURIOSIDADES... •

A Ilha de Manhattan, na cidade de N.Y., foi comprada dos índios nativos americanos por Peter Minuit em 1624, por US$24.

•

Esses mesmos US$24, se aplicados a juros compostos anualmente, à taxa de 8%, valeriam, no final de 2016, 392 anos depois, cerca de US$304 trilhões.

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33 VAMOS REFLETIR: •

Márcia e Patrícia, 25 anos, são irmãs gêmeas que trabalham em uma mesma empresa. Visam aposentar-se daqui a 35 anos. Márcia decidiu poupar agora R$2.000,00 por ano durante 10 anos. Patrícia preferiu adiar o início da poupança, começando-a só daqui a 10 anos, quando estiver com 35 anos.

Com uma taxa de 8%a.a. •

Márcia: – Período: de 25 a 35 anos – Tempo de contribuição: 10 anos – Total poupado: R$20.000,00 – Valor final aos 60 anos: R$198.422,00

•

Patrícia: – Período: de 35 a 60 anos – Tempo de contribuição: 25 anos – Total poupado: R$50.000,00 – Valor final aos 60 anos: R$146.212,00 Conclusão: Comece a poupar o quanto antes possível!!!!

A importância de começar a poupar cedo

R$ 250.000,00

R$ 198.422,00

R$ 200.000,00

R$ 146.212,00

R$ 150.000,00

Total Poupado Valor Final R$ 100.000,00

R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 20.000,00

R$ Márcia

Patrícia

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34 Quando aposentar? Contribuição de R$300,00/mês: Taxa de Retorno (a.m.)

Tempo de Contribuição

1,5%

1,0%

0,7%

20 anos

R$692.656,31

R$296.776,61

R$185.753,34

30 anos

R$4.234.075,62 R$1.048.489,24 R$485.141,27

40 anos

R$25.373.950,89 R$3.529.431,75 R$1.176.607,13

DICA 1- Tenha um montante emergencial em investimentos de baixo risco e alta liquidez. 2- Depois de cumprido a parte 1, diversifique os seus investimentos de acordo com os seus objetivos. 3- Pense a longo prazo, e BOA SORTE!!!

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35

6. UNIDADE III 6.1 Séries Uniformes Séries Uniformes: É o conjunto de entradas ou saídas de caixa que ocorrem periodicamente e são todas iguais. No programa financeiro das calculadoras, o pagamento periódico é identificado pela função PMT (Periodic payMenT)

Considere o seguinte formato de fluxo de caixa: (Fluxo de caixa postecipado – END)

FV

PV = ?

1

2

3

………..

n-2

n-1

n

PMT Matematicamente, podemos provar que:

 (1+ i)n −1  FV = PMT  i   e

 (1+ i)n −1  PV = PMT  n  (1+ i) i 

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36 Exemplos: 1) Gerdite comprou um carro de R$ 25.000,00, pagou R$ 12.000,00 de entrada, e o restante financiou em 24 meses a uma taxa de 2% a.m.. Qual o valor da prestação?

2) Gerdite não consegue pagar uma prestação desse valor. Consegue pagar apenas R$ 500,00 por mês, logo, qual deve ser a entrada a ser oferecida?

3) Mark deseja ter $400.000,00 daqui a 10 anos para a compra de sua casa própria. Sabendo-se que Mark consegue uma taxa de 0,9% a.m. de rentabilidade no mercado, quanto ele deve depositar mensalmente (depósitos iguais) para conseguir poupar a quantia pretendida. (considere série postecipada)

4) Marilândia pretende casar-se com Bill no próximo ano. Sendo assim, o casal comprará todos os móveis novos e de qualidade nas Casas SOPHIA. Todos os bens custariam $5.000,00 se fossem pagos à vista. No entanto, a loja convenceu o casal a pagar toda a dívida em 48 parcelas mensais e iguais, com um período de carência de 6 meses. Considerando que as Casas SOPHIA cobra uma pequena taxa de 5,25% a.m., determine o valor das prestações.

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37 ESTUDO DE CASO: JEDIEL comprou um produto nas seguintes condições: R$ 165,00 de entrada mais 3 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 288,28. À vista, pagaria R$ 965,00. Qual a taxa mensal de juros da operação?

FLUXO DE CAIXA DE JEDIEL:

800,00

0

1

2

288,28

3

288,28

288,28

SOLUÇÃO ALGÉBRICA: Nesse caso deveríamos resolver a equação: 288,28

+

(1+i)

288,28 (1+i)2

+

288,28

= 800,00

(1+i)3

Uma das raízes é “0,04” ou 4%, isto é, i = 4% ao mês.

RESOLVENDO O MESMO PROBLEMA UTILIZANDO PROGRAMA FINANCEIRO DA HP-12C

f CLX g END 800 PV 288,28 CHS PMT 3 n i ? “4%”

limpeza dos registradores financeiros identificando uma série uniforme postecipada registrando o valor financiado registrando a prestação mensal registrando o número de pagamentos mensais perguntando a taxa mensal

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38 A CASTELÃO TELEVISORES financia aparelhos nas seguintes condições :  À vista, R$ 660,00 ou  A prazo, em 3 prestações mensais de R$ 242,36, a 1ª a 30 dias. Que taxa mensal de juros a Loja está praticando ?

A PARISIANA ofereceu dois planos de financiamentos a um cliente : à vista por R$ 720,00 ou em 3 prestações mensais de R$ 254,11, a 1ª no ato. Qual a taxa mensal utilizada ?

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39 Exercícios: (Séries Uniformes – PMT) 1) Um Projeto de Marketing com valor de $150.000,00 será financiado em 36 parcelas mensais, iguais e sucessivas, através de uma linha de crédito do BNDES. Considerando que a taxa efetiva do financiamento é de 22,00% ao ano, calcule o valor de cada uma das 36 prestações nas seguintes modalidades: a) a primeira paga no ato da contratação do financiamento. b) a primeira paga um mês após a contratação do financiamento. c) a primeira será paga considerando uma carência de 3 meses.

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40 2) Um automóvel importado foi adquirido por R$220.000,00, sendo 70% financiado em 12 parcelas mensais e iguais, e uma carência de 4 meses. Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 2,5% ao mês, calcular o valor da prestação mensal.

3) Um veículo pode ser adquirido por R$30.000,00, com 30% de entrada e o restante financiado em até 36 meses. João, que está interessado na aquisição, não possui recursos para pagar a entrada exigida. Mas, como conseguiu fazer um bom saldo médio em um banco, obtém os R$9.000,00 para a entrada por meio de uma operação de crédito pessoal, para ser liquidada em 6 prestações iguais; na financeira, consegue o financiamento necessário para completar o valor do veículo, optando por um plano com prazo de 36 meses, sendo 30 de amortização e 6 de carência. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 5% ao mês e a financeira 4,5% a.m., determinar o plano de liquidação da dívida total.

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41

6.2 Sistemas de Amortização Conceitos gerais O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor. Tais prestações consistem em duas parcelas: a amortização (A) e os juros (J), correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado. PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS OU

PMT = A + J Prestação é o valor pago pelo devedor e consiste em duas parcelas: a amortização e os juros correspondentes ao saldo devedor do empréstimo, ainda não reembolsado. Amortização é o pagamento do capital, efetuado por meio de parcelas pagas periodicamente. É a devolução do capital emprestado. Os juros são calculados sobre o saldo devedor do período anterior e também denominados “serviço da dívida”. Entre os principais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos cabe destacar o sistema francês de amortização (tabela Price) e o sistema de amortização constante (SAC). Sistema de amortização francês Nesse sistema de amortização, o mais utilizado pelas instituições financeiras e o comércio em geral, o devedor obriga-se a devolver o principal acrescido de juros em prestações iguais e consecutivas (séries uniformes de pagamento). Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em cinco prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros for de 5% a.m., veja como ficará a planilha de amortização: Mês (n)

Saldo devedor (SDn = SDn - 1 - An)

Prestação (PMT)

Juros (Jn = SDn - 1 . i)

Amortização (An = PMTn - Jn)

-

-

-

0

100.000,00

1

81.902,52

23.097,48

5.000,00

18.097,48

2

62.900,17

23.097,48

4.095,13

19.002,35

3

42.947,70

23.097,48

3.145,01

19.952,47

4

21.997,60

23.097,48

2.147,38

20.950,10

5

0

23.097,48

1.099,88

21.997,60

∑

-

-

-

100.000,00

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42 Período de carência no sistema de amortização francês A) PAGANDO, NESSE PERÍODO, OS JUROS DEVIDOS Nesse caso, veja como fica o exemplo, considerando um período de carência de dois meses e mantendo-se todos os demais parâmetros inalterados: Mês (n)

Saldo devedor (SDn = SDn - 1 - An)

Prestação (PMT)

Juros (Jn = SDn - 1 . i)

Amortização (An = PMTn - Jn)

-

-

-

0

100.000,00

1

100.000,00

5.000,00

5.000,00

0

2

100.000,00

5.000,00

5.000,00

0

3

81.902,52

23.097,48

5.000,00

18.097,48

4

62.900,17

23.097,48

4.095,13

19.002,35

5

42.947,70

23.097,48

3.145,01

19.952,47

6

21.997,60

23.097,48

2.147,38

20.950,10

7

0

23.097,48

1.099,88

21.997,60

∑

-

-

-

100.000,00

Repare que os cálculos são iguais ao do exemplo anterior, com a diferença de que nos meses do período de carência a dívida não é amortizada, mas os juros devidos sobre o saldo devedor são pagos. A primeira prestação será paga após o término da carência.

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43 B)

NÃO PAGANDO, NESSE PERÍODO, OS JUROS DEVIDOS Veja como fica então o exemplo, com os juros sendo incorporados ao valor inicial da dívida no período de carência. O cálculo das prestações deverá ser realizado com base no saldo devedor no final da carência. Adicionalmente, deve-se levar em conta que o saldo devedor, ao longo da carência, cresce devido a juros: SDn = (1 + i) SDn-1. Mês (n)

Saldo devedor (SDn = SDn - 1 - An)

Prestação (PMT)

Juros (Jn = SDn - 1 . i)

Amortização (An = PMTn - Jn)

-

-

-

0

100.000,00

1

105.000,00

0

0

0

2

110.250,00

0

0

0

3

90.297,53

25.464,97

5.512,50

19.952,47

4

69.347,44

25.464,97

4.514,88

20.950,09

5

47.349,84

25.464,97

3.467,37

21.997,60

6

24.252,36

25.464,97

2.367,49

23.097,48

7

0

25.464,97

1.212,61

24.252,36

∑

-

-

-

100.000,00

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44 Tabela Price Trata-se de um caso particular do sistema de amortização francês, em que a taxa de juros é fornecida em termos nominais (na prática, é dada em termos anuais) e as prestações têm período menor que aquele a que se refere a taxa de juros (em geral, as amortizações são calculadas em bases mensais). Assim, o cálculo das prestações é feito utilizando-se a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. Exemplo: Um empréstimo de $100.000,00 será pago em quatro prestações mensais, iguais e consecutivas. Sendo a taxa nominal de 72% a.a., com capitalização mensal, veja como fica a tabela de amortização. Primeiro é necessário calcular a taxa proporcional mensal: 72% a.a. ÷ 12 = 6%a.m. Mês

Saldo devedor

Prestação

Juros (6% a.m.)

Amortização

-

-

-

0

100.000,00

1

77.140,85

28.859,15

6.000,00

22.859,15

2

52.910,15

28.859,15

4.628,45

24.230,70

3

27.225,61

28.859,15

3.174,61

25.684,54

28.859,15

1.633,54

27.225,61

4

-

∑

-

-

-

100.000,00

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45 Sistema de amortização constante (SAC) Nesse sistema de amortização, as prestações são decrescentes, as amortizações constantes e os juros decrescentes. Calcula-se a amortização dividindo o principal pelo número de períodos de pagamento. Exemplo: Vamos elaborar uma planilha de amortização para o seguinte financiamento: a) valor do financiamento: $100.000,00; b) reembolso em cinco meses pelo sistema SAC; c) taxa de juros: 5% a.m.; d) valor das amortizações (constantes): $100.000,00 ÷ 5 = $20.000,00. Mês (n)

Saldo devedor (SDn = SDn - 1 - An)

Amortização (An = SDo ÷ n)

Juros (Jn = SDn - 1 . i)

Prestação (PMT = A + J)

-

-

-

0

100.000,00

1

80.000,00

20.000,00

5.000,00

25.000,00

2

60.000,00

20.000,00

4.000,00

24.000,00

3

40.000,00

20.000,00

3.000,00

23.000,00

4

20.000,00

20.000,00

2.000,00

22.000,00

5

0

20.000,00

1.000,00

21.000,00

∑

-

100.000,00

-

-

Repare que, nesse sistema, a prestação inicial é superior à prestação (fixa) do sistema francês, que era de $23.097,48; ao passo que a última prestação é menor. Em suma, no início paga-se mais, porém termina-se pagando uma prestação menor que a do sistema francês.

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46 Exemplos: 1. Construa um quadro de amortização de uma dívida de $ 50.000 resgatadas pela Tabela Price em cinco prestações anuais a juros de 10%a.a. Ano 0 1 2 3 4 5

Saldo Devedor

Prestação

Juros

Amortização

2. Construa um quadro de amortização com os dados do item anterior, no SAC. Ano 0 1 2 3 4 5

Saldo Devedor

Prestação

Juros

Amortização

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47

6.3 Exercícios Resolvidos 1 – O valor à vista de um produto é de R$3.500,00. Sabendo-se que uma loja cobra uma taxa de juros de 3,5% a.m., determinar o valor das prestações mensais e iguais, se o número de parcelas for de 15. 3.500 CHS PV 3,5 i 15 n PMT = R$303,89

2 – Um veículo que custa R$60.000,00 à vista foi financiado em 36 parcelas mensais e iguais a R$2.500,00. Determine a taxa efetiva mensal desta operação. 60.000 CHS PV 36 n 2.500 PMT i = 2,38%a.m.

3 – Zulclélia deseja conseguir acumular um montante de R$100.000,00 em 10 anos. Quanto ela deve depositar mensalmente (depósitos iguais) para conseguir esse valor, considerando uma taxa de juros de 0,5% a.m.? 100.000 CHS FV 120 n 0,5 i PMT = R$610,21

4 – Em um financiamento de um imóvel de R$320.000,00, Jandirno pagou R$80.000,00 de entrada e financiou o restante em 60 prestações mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 1,2% a.m. determine o valor das prestações. 320.000 – 80.000 = 240.000 (valor financiado) 240.000 CHS PV 60 n 1,2 i PMT = R$5.634,27

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48 5 – Com relação aos dados do problema anterior, Jandirno pagou R$80.000,00 de entrada e financiou o restante em 60 parcelas mensais e iguais a R$2.300,00. O restante do financiamento será pago em 5 parcelas anuais e iguais (balões). Determine o valor desses balões, sabendo-se que a taxa de juros é de 1,2%a.m.. 2.300 CHS PMT 60 n 1,2 i PV = 97.971,79 (o quanto as prestações estão amortizando do valor financiado) 240.000 – 97.971,79 = 142.028,21 (valor que será pago nos balões (intermediárias)) Como esses balões são anuais, temos que encontrar a taxa efetiva anual: 100 CHS PV 1,2 i 12 n FV = 115,39 115,39 – 100 = 15,39%a.a. Agora, cálculo dos balões (intermediárias): 142.028,21 CHS PV 15,39 i 5n PMT = R$42.760,58

6 – Numa compra de R$12.000,00, Gerilde pagou R$2.000,00 de entrada, e o restante será pago em 16 parcelas mensais e iguais, sendo um período de 4 meses de carência. Determine o valor dessas prestações, sabendo-se que a taxa de juros é de 4% a.m.. No período de carência: 10.000 CHS PV 4n 4i FV = 11.698,59

Para o cálculo das prestações: 11.698,59 CHS PV 16 n 4i PMT = R$1.003,97

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49 7 – Gumercindo fez um financiamento imobiliário no valor total de R$350.000,00 para ser pago em 10 anos, ou seja, em 120 prestações mensais. Sabendo-se que o sistema de amortização adotado é o sistema PRICE, com uma taxa já efetiva de 0,9% a.m.. Após dois anos de financiamento, Gumercindo deseja renegociar sua dívida, pois, obterá um capital de R$120.000,00, e pretende com esse capital amortizar parte do seu saldo devedor restante. Determine o valor do saldo devedor de Gumercindo após o pagamento de 24 parcelas mensais (após os dois anos). Primeiro passo, vamos determinar o valor das prestações mensais e iguais (PRICE): 350.000 CHS PV 120 n 0,9 i PMT = R$4.781,71 Esse é o valor da prestação mensal que Gumercindo deverá pagar durante os dez anos de financiamento. Para determinarmos o saldo devedor após o pagamento de 24 prestações, vamos usar a função AMORT da HP12c. Sem limpar a memória do cálculo feito anteriormente para cálculo das prestações, façamos: 24 f Amort R$71.266,21 (esse é o total de juros pagos nas 24 parcelas) X <>Y R$43.494,87 (esse é o total que foi amortizado com essas 24 parcelas) RCL PV R$306.505,13 (esse é o saldo devedor remanescente naquela data após o pagamento de 24 prestações) Se Gumercindo vai pagar R$120.000,00, esse valor abaterá do saldo devedor de R$306.505,13, que é o saldo devedor resultante.

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6.4 Métodos de Análise de Fluxos de Caixa Os principais métodos de análise de Fluxos de Caixa são: - Valor Presente Líquido (VPL) (Net Present Value – NPV) - Taxa Interna de Retorno (TIR) ( Internal Rate of Return – IRR)

6.4.1 Valor Presente Líquido (VPL)

• • • •

reconhece o valor do dinheiro no tempo; reflete o aumento de riqueza para o acionista; VPL's podem ser somados; depende somente dos fluxos de caixa e do custo de oportunidade.

Fórmula de Cálculo:

 FC1 FC n  FC 2 + + + VPL =  − FC 0 ... 2 n  (1 + i )   (1 + i ) (1 + i ) OBS: A taxa i é denominada de TMA (Taxa Mínima de Atratividade) (também chamada de taxa de desconto do fluxo de caixa)

Critério do VPL: VPL ≥ 0  _______________________ VPL < 0  _______________________

Exemplo: Verifique se o projeto é atrativo. (utilize o VPL) Projeto de Investimento 0 1 2 Ano Fluxo de Caixa Líquido

-250.000

205.000

100.000

3 80.000

TMA = 25% a.a.

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6.4.2 Taxa Interna de Retorno (TIR) É a taxa de desconto que faz o VPL ser zero. Se ela é maior do que o custo de oportunidade considerado, o projeto tem VPL positivo, caso contrário, o VPL será negativo. A TIR é o maior custo de oportunidade que um projeto pode suportar. Aceita-se um projeto se sua TIR for maior que o custo de oportunidade. A maior vantagem da TIR é que ela dá os mesmos resultados que o método do VPL na maioria das vezes, mas conflita em alguns casos. Critério da TIR: TIR ≥ ___  ___________________ TIR < ____  ___________________

Exemplo: Verifique a viabilidade desse projeto utilizando o critério da TIR. Projeto de Investimento 0 1 2 3 Ano Fluxo de Caixa -250.000 Líquido TMA = 25% a.a.

205.000

100.000

80.000

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52 EXERCÍCIOS: (VPL e TIR) 1.Uma indústria está avaliando um investimento em uma nova linha de produtos. O valor a ser investido no momento zero atinge R$3.500.000,00, prevendo-se os seguintes fluxos de caixa ao final dos próximos 4 anos: R$750.000,00 ; R$1.050.000,00 ; R$1.275.000,00 e R$1.700.000,00. Admitindo que a empresa tenha definido em 15% ao ano a taxa de desconto dos fluxos esperados de caixa, pergunta-se: a) Qual o NPV e a IRR do investimento? b) Esse investimento é atrativo? Por quê?

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53 2. Anacreonte estuda a viabilidade financeira da compra de uma casa de praia como um investimento, a ser explorado nos próximos 5 anos. Sabendo que: a. o valor da casa é de R$ 270.000,00; b. os retornos líquidos de caixa esperados, após descontadas todas as despesas de manutenção, serão, no final de cada um dos três primeiros anos, de R$ 35.000,00; c. no final do quarto e quinto anos serão obtidos rendimentos de R$ 40.000,00; d. para o final do 4ºº ano são esperadas despesas de R$ 3.000,00. Já para o final do 5º ano essas despesas deverão ser de R$ 10.000,00; e. o valor de venda da casa, no final do 5º ano será de R$ 330.000,00; f. a taxa de desconto estipulada por Anacreonte é de 17% a.a.. Pergunta-se: I) Qual o NPV e a IRR desse investimento ? II) O investimento é financeiramente atrativo? Por quê?

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54 3. Uma empresa estuda a implementação de dois projetos de marketing cujas informações são apresentadas a seguir: Projeto

Investimento Inicial

Receitas Líquidas de Caixa Ano 1

Ano 2

Ano 3

Ano 4

X

70.000

22.000 21.500 22.000 34.250

Y

70.000

19.000 23.000 22.000 27.000

Sabendo que ela espera obter um retorno mínimo de 8% a.a., pergunta-se: Qual o melhor investimento? Justifique.

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6.4.3 Exercícios Resolvidos 1 – Para o lançamento de um novo produto, uma empresa precisa investir um capital de R$300.000,00. O fluxo de caixa projetado para esse produto foi de R$120.000,00, R$200.000,00 e R$180.000,00 para os próximos três anos, respectivamente. Sabendo-se que a taxa mínima de atratividade desse projeto é de 16% a.a., verifique se esse projeto é atrativo, usando a TIR e o VPL. 300.000 120.000 200.000 180.000 16 i

CHS g CFo g CFj g CFj g CFj

f NPV = 67.399,24 f IRR = 28,36% a.a. Projeto atrativo, pois VPL positivo e TIR maior que a TMA.

2 – Um imóvel no valor à vista de R$250.000,00 foi financiado em 5 parcelas mensais e consecutivas a saber: 40.000; 80.000; 60.000; 50.000; 70.000, respectivamente. Determine o custo efetivo (percentual) mensal para essa operação. 250.000 CHS g CFo 40.000 g CFj 80.000 g CFj 60.000 g CFj 50.000 g CFj 70.000 g CFj f IRR = 6,17 % a.m.

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56 3 - Uma construtora estuda a viabilidade da compra de uma determinada máquina. A máquina tem um custo de $1.350.000,00. Após vários estudos mercadológicos foram estimados os seguintes fluxos incrementais de caixa líquidos para os próximos 5 anos: $755.000; $513.050; $506.000; $377.044; $410.099, respectivamente. O valor residual da máquina está estimado em $330.000,00 para o último ano do projeto. Considerando que o custo de capital para esse projeto foi estimado em 25% a.a. pede-se: calcular o VPL e a TIR para esse projeto e verificar se o mesmo é viável. 1.350.000 755.000 g 513.050 g 506.000 g 377.044 g 740.099 g 25 i

CHS g CFo CFj CFj CFj CFj CFj

f NPV = 238.376,86 f IRR = 33,90% a.a. Projeto atrativo, pois VPL foi positive e TIR foi maior que a TMA.

4 – Um produto à vista custa $60.000. O mesmo será pago em 10 parcelas mensais, sucessivas e iguais a $6.500, com um período de carência de 4 meses. Determine o custo efetivo (percentual) mensal desta operação. Como não temos a taxa de juros (é o que precisamos determinar!), não temos como usar a metodologia do PMT. Desta forma, teremos que calcular a TIR do fluxo de caixa desta operação financeira. Como são 4 meses de carência, o primeiro pagamento será na data 5. Assim: 60.000 CHS g CFo 0 g CFj 0 g CFj (poderia usar o Nj aqui.... 4 g Nj) 0 g CFj 0 g CFj 6.500 g CFj 10 g Nj (10 valores na sequência e iguais a 6.500) f IRR = TIR = 0,8492%a.m.

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57 EXERCÍCIOS GERAIS: 1. Se um investidor deseja ganhar 20% a.a. de taxa efetiva, pede-se calcular a taxa de juros que deverá exigir de uma aplicação, se o prazo de capitalização for igual a: a) 1 bimestre; 3,09% b) 1 trimestre; 4,66% 2. Para cada taxa nominal apresentada a seguir, pede-se calcular a taxa efetiva anual: a) 12 % a.a. capitalizados mensalmente; 12,68% b) 25% a.a. capitalizados trimestralmente; 27,44% c) 17% a.a. capitalizados anualmente; 17% d) 15% a.a. capitalizados semestralmente; 15,56% 3. Determinar as taxas mensal e anual equivalentes de juros, de um capital de R$ 52.500,00 que produz um montante de R$ 64.889,48 ao final de 19 meses. taxa mensal = 1,12%; taxa anual = 14,32% 4. Admita que uma pessoa irá necessitar de R$ 43.700,00 em 12 meses e R$ 46.853,00 em 18 meses. Quanto ela deverá depositar hoje numa alternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 15% a.a. ? $75.991,87 5. Um veículo foi financiado da seguinte maneira: 35% de entrada e mais 4 prestações trimestrais iguais de R$ 3.783,47. Sabendo-se que a taxa de juros praticada no financiamento foi de 4% a.m., pede-se o valor à vista do veículo. $17.499,97 6. Rogério possui um título de dívida com vencimento para 6 meses, de valor nominal de R$ 85.000,00. Esteves propõe-lhe a troca por um título vencível daqui a 3 meses e no valor de R$ 75.000,00. Sendo de 4% a.m. a taxa de juros compostos de mercado, verifique se a troca é vantajosa para Rogério. PV1 = $67.176,73; PV2 = $66.674,73 7. Uma empresa tem uma dívida de R$ 60.000,00 a ser paga daqui a 7 meses e outra de R$ 80.000,00 daqui a 15 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros compostos de 10% a.a. para fazer frente a essas dívidas ? $127.770,02 8. Um aparelho de som é vendido em uma loja por R$ 3.000,00 à vista, ou, então, com uma entrada e mais três parcelas mensais de R$ 800,00 cada uma. Se a loja trabalha com taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor da entrada ? $ 758,69 (entrada) 9. Um automóvel é vendido por uma concessionária nas seguintes condições: entrada R$ 12.500,00, mais uma parcela de R$ 7.500,00, após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 10.000,00, mais duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a concessionária opera a uma taxa de juros de 42% a.a., qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes ? $5.110,65

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58 10. Uma metalúrgica estuda o projeto de compra de uma máquina, de valor de aquisição de R$ 25.600,00. Estima-se que essa máquina gerará uma redução de custo na produção da ordem de R$ 7.200,00 no seu 1.o ano de atividade. Essa economia deverá reduzir-se na ordem de 10%a.a. A vida econômica dessa máquina é de 5 anos e após tal tempo a mesma poderá ser vendida por R$ 2.000,00. Sabendo que a metalúrgica espera obter um retorno mínimo de 7% a.a., indicar o se investimento nesse ativo é financeiramente atrativo. VPL = 347,87; TIR = 7,52% 11. A Costa Corporation está considerando um dispêndio de capital que exige um investimento inicial de $ 42 mil e fluxos de entrada de caixa após os impostos de $ 7 mil por ano, por 10 anos. A empresa considera uma taxa de atratividade de 10% a.a. a) Calcule o VPL para esse projeto. VPL = 1.011,97 b) Calcule a Taxa Interna de Retorno. TIR = 10,56% c) O projeto é atrativo financeiramente? Justifique. 12. Determinada empresa estuda um investimento de R$ 110.000 em uma campanha publicitária, que, segundo estudos de mercado, lhe gerará os fluxos adicionais de caixa descritos abaixo. Determine se o projeto é aceitável. A taxa de custo de capital é de 12% a.a. Ano 1 2 3 4 5

Fluxo de caixa ($) 30.000 50.000 70.000 80.000 70.000 VPL = 97.031,35; TIR = 38,30%

13. O Ed’s Restaurant está considerando a compra de um novo forno e deve escolher entre duas alternativas. O primeiro forno exige um investimento inicial de $ 14 mil e gera fluxos de entrada de caixa após os impostos de $ 3 mil para cada um dos próximos 7 anos. O segundo forno exige um investimento inicial de $ 21 mil e proporciona um fluxo de entrada de caixa após os impostos de $ 4 mil por 20 anos. Considerando que o restaurante pretende obter um retorno de 11% a.a. com a compra dos fornos, pergunta-se: a) Determine o VPL e a TIR para cada forno. VPL(A) = R$136,59; TIR(A) = 11,30%; VPL(B) = 10.853,31; TIR(B) = 18,40% b) Qual dos dois projetos é mais viável financeiramente? Justifique.

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59 14. Uma loja vende um televisor nas seguintes condições: entrada de $1.000,00 mais uma parcela de $1.200,00, após um mês. Severino propõe pagar uma entrada de $600,00, mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3%a.m., qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes? $817,90 15. Rosicléia tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a 2 meses e outra de $80.000,00 para daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 2% a.m., para fazer frente a essas dívidas? $133.055,91 16. Um aparelho de DVD é vendido por $1.500,00 ou por 20% de entrada, mais duas parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6%a.m., qual o valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? $654,52 17. Genivaldo deve a outra pessoa a importância de $12.400,00. Para a liquidação da dívida, propõe os seguintes pagamentos:$3.500,00 ao final de 2 meses; $4.000,00 ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em um ano. Sendo de 3% ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo, pede-se calcular o valor do último pagamento. $6.085,47 18. Cleonícia fez um financiamento no valor de $120.000,00 para aquisição de um imóvel. Ela pagará 36 parcelas mensais no valor de $2.500,00, mais 6 parcelas intermediárias semestrais e iguais. O banco cobra uma taxa nominal de juros de 30% a.a., capitalizada mensalmente. Determinar o valor das parcelas intermediárias. $16.571,00

SUCESSO A TODOS!!!! Prof. Edimilson Costa Lucas e-mails: [email protected]; [email protected] skype: [email protected]

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