007-pat 1

PAT 1 วัดศักยภาพทางคณิตศาสตร 6. กําหนดให U = {1, 2, 3, …, 100} และ X = {x∈U | หรม. (x, 100) = 1} ผลบวกของสมาชิกในเซต x เทากับขอใด 1. 1000 2. 2000 3. 3000 4. 5050 7. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ถาประพจน (p→q) → (p↔q) มีคาความจริงเปนเท็จ แลวประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1. (p∧q) → r 2. q → (p∧r) 3. P∧~q 4. p∨~q 8. เอกภพสัมพัทธในขอใดทําให ∀x [ x 2 + 2 x − 3 < 0 ] มีคาความจริงเปนจริง 1. (–∞, 3) 2. (–2, –1) 3. (0, 10) 4. (1, ∞) 9. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุด ซึ่งมีสมบัติวา n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r เทากัน และ n หาร 1093

ตอนที่ 1 ขอสอบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 55 ขอ 1. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา ( p v q) r และ (q r) s ตางมีคาความจริง เปนเท็จ แลว ( p v q) (r v s) มีคาความจริงเปนจริง ข. การอางเหตุผลขางลางนี้สมเหตุสมผล เหตุ 1. ~ p ~ (q v r) 2. q ^ s 3. ~ r ผล s p ขอใดตอไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 2. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนฉพาะบวกขอความ ∀x∃y[ x 2 + x + 1 = y ] มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∀x[ P( x) ⎯⎯ →[Q( x) ∨ R( x)]] คือ ∃x [ P( x)∧ ∼ Q( x)∧ ∼ R ( x)]] ขอใดตอไปนี้ถกู 1. ก. ถูกและ ข. ถูก 2. ก. ถูกและ ข. ผิด 3. ก. ผิดและ ข. ถูก 4. ก. ผิดและ ข. ผิด 3. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ | x2 + x – 2 |≤ | x2 – 4x +3 | และ B = A – {1} ถา a เปนสมาชิกของ B ซึ่ง a – b ≥ 0 ทุก b ∈ B แลวพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 4 a เปนจํานวนคู 3

เหลือเศษ r + 2 แลว r − 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ n

1.

1 17

2.

1 18

3.

1 19

4.

1 20

10. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลาง อยูที่จุดศูนยกลางของวงรีทมี่ ี สมการเปน 9x2 + 4y2 – 36x – 24y + 36 = 0 ถาวงกลมนี้สัมผัสกับเสนตรงที่ผานจุด (1, 3) และ (5, 0) แลว รัศมีของวงกลมวงนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 4 1. 3

ข. 5 เปนจํานวนคู a

5

ขอใดตอไปนี้ถกู 1. ก. ถูกและ ข. ถูก 2. ก. ถูกและ ข. ผิด 3. ก. ผิดและ ข. ถูก 4. ก. ผิดและ ข. ผิด 4. กําหนดให A, B, C เปนเซตใดๆ และ n[(A∩B′) ∩ (B′∪C′)] = 4, n(B) = 5, n(A∩B) = 2, n(C) = 7 จงหาวา n(P(A)) – n(P(B)) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. 4 3. 16 4. 32 2 5. ให p(x) = x + 7 x + 3 เมื่อหาร p(x) ดวย x – p หรือ x + q จะไดคําตอบเทากัน โดยที่ p ≠ – q แลว p – q เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. –5 3. –7 4. –9

5

3. 7

4. 9

8

13

11. ถา k, l, m เปนจํานวนจริงที่ทําใหวงรี kx 2 + ly 2 − 72 x − 24 y + m = 0

มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (4,3) และสัมผัสแกน Y แลวขอใดตอไปนี้ผิด 1. ความยาว แกนเอกเทากับ 12 หนวย 2. ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย 3. ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 4. จุด (2, 6) อยูบนวงรี

86

5

หนวย

12. กําหนดให

18. กําหนดให U = {f |f เปนฟงกชัน และ f ⊂ {1, 2, 3, 4} × {a, b}} A = {f |f เปนฟงกชัน ซึ่ง R f = {a, b} และมีจํานวน-

r = {( x, y ) ∈ R × R | x 2 + y 2 = 16}

r = {( x, y ) ∈ R × R | xy 2 + x + 3 y 2 + 2 = 0}

เซตในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ Dr – Ds 1. [ -4, -1] 2. [-3, 0] 3. [-2, 1] 4. [-1, 2] 13. กําหนดให f และ g เปนฟงกชันซึ่งนิยามโดย f (x) = x2 + 1 และ g(x) = ax เมื่อ a ∈ ( 0,1) ถา k เปนจํานวนที่ทําให (fog)(k) = (gof) (k) และ

สมาชิกในโดเมน = 3} จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับเทาใด 1. 12 2. 14 3. 16 4. 24 19. กําหนดฟงกชัน f และ q ดังนี้ f(2x – 1) = 4x – a , a > 0 และ g −1 ( x ) = x + 1

( fog ) ⎛⎜⎝ k1 ⎞⎟⎠ มีคาเทากับขอใด -1

2

ตอไปนี้ 1. 1 3. 3

2. 2 4. 4

ถา ( f g )(a) = a 2 + 20 แลว f(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 6 2. 7 3. 10 4. 17 20. ให u = ai + b j + 2k และ v = 2ai − 3b j โดยที่ a, b เปนจํานวนเต็มบวกและ θ เปนมุมระหวาง u

x | x | +1 และ g ( x ) = จํานวนเต็มซึ่งนอยทีส่ ุดที่มากกวาหรือเทากับ x ( เชน g ( 1.01 ) = 2, g ( - 6 ) = - 6, g ( - 7.99 ) = - 7 เปนตน) ถา F(x) = (fog)(x) และ G(x) = (gof)(x) แลวขอใดตอไปนี้เปนเท็จ 1. D F = (−∞ , ∞) 2. R F = (0 , 1) 3. G(x) = 1 เมื่อ x > 0 4. G( x) = 0 เมื่อ x < 0 15. ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ ⎛ ⎞ เทากับขอใดตอไปนี้ 1 log 3 + 27 = log 4 + 1 + 14. ให f , g : R → R กําหนดโดย f ( x ) =

3

⎜ ⎝

1 x

⎟ ⎠

3

2.

3 4

16. กําหนดให

3

1 x ∈ ( ,3) 3

ขอใดตอไปนีถ้ ูก 1. ก. ถูกและ ข .ถูก 2. ก. ถูกและ ข .ผิด 3. ก. ผิดและ ข .ถูก 4. ก. ผิดและ ข .ผิด 22. sin( arctn2 + arctan3) เทากับขอใดตอนี้ 1 1 2. 1. 2 2 1 3. 1 4. 2 2 23. ให u = i + 3 j , v = 2 i + j ถา θ เปนมุมระหวาง (u + v) และ (u − v) แลว cos θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1 2

x y

และ 6log( x − 2 y = log x3 + log y3} ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A มีคาเทากับขอใด ตอไปนี้ 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 17. กําหนดให f(x) = x + 1 , g f ( x ) = x + 1 R g f − R f g คือ เซตในขอใดตอไปนี้ 1. [–1, 1] 3. [0, 1]

และ cosθ = 1 แลว u × v มีคาเทา

5

4. 1 A = {z ∈ R | z =

u =3

กับขอใดตอไปนี้ 1. 6i + 8 j − 10k 2. −6i − 8 j + 10k 3. 12i + 4 j − 10k 4. −12i + −4 j + 10k 21. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. tan14๐ + tan 76๐ = 2cosec28๐ ข. ถา x > 0 และ sin(2arctan x) = 4 แลว

2x

1. 0 3.

และ v ถา

1. 1

5

2. [0, 1) 4. [–1, 1)

3.

87

1 5

2. 2

5

4. 2 5

24. กําหนดให | u − v | = 3 และ u ⋅ v = − 2 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. u + v เปนเวกเตอรหนึ่งหนวย

30. พิจารณาลําดับ an และ bn ซึ่ง ⎧ n2 ⎪ ⎪⎪ 2n + 1 an ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 2

ข. | u | 2 + | v | 2 = 3 ขอใดตอไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 25. ถา Z1 = cos 12 ° + i sin 12 ° และ Z 2 = − cos 16° − i sin 16° แลว

15

⎛ Z1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Z2 ⎠

3.

2.

1 + 3i 2

4.

− 3 −i 2

31. กําหนดให

⎢2 ⎣

3.

2 ⎥⎦

⎡ 2 1⎤ C=⎢ ⎥ ⎣ −1 4 ⎦

4.

x→0−

2

เมื่อ x < 0 เมื่อ 0 ≤ x < 1

เมื่อ x ≥ 1 f (1 − x ) เทากับขอใดตอไปนี้ ) + xlim →0 −

1. 0 3. 2

2. 1 4. 3 x2

32. ถา f ( x ) =

แลว

เมื่อ x > 1 x − 1 เมื่อ 0 < x ≤ 1 0 เมื่อ x ≤ 0

⎡ f ( x − 1) ⎤ เทากับขอใดตอไปนี้ lim f ( x 2 ) + lim ⎢ ⎥ x →1+ ⎣ x + 2 ⎦

x →0 −

1. − 4

2. - 1

3. 0

4. 1

3

0 ⎥⎦

โดยที่ x เปนจํานวนจริงถา det ( 2A = -76) แลวเมทริกซ C ในขอใดตอไปนี้ที่ทําใหคาของ det(BC) อยู ภายในชวง (-100, -50) 2. C = ⎡1 −1⎤ 1. C = ⎡1 −1⎤ ⎢1 ⎣

เมื่อ n > 100

⎧ x2 ⎪ ⎪⎪ f ( x ) = ⎨ 2 x −1 ⎪ ⎪ ⎪⎩ 3 x

lim f ( x

คาของ

1. เสนตรง 2. วงกลม 3. วงรี 4. ไฮเพอรโบลา 29. กําหนดเมทริกซ A และ B ดังนี้ ⎡ x 2 −2 2 ⎤ และ ⎡ −2 −4 X ⎤ B= A= ⎥ x ⎦⎥

เมื่อ n ≤ 100

ขอใดตอไปนี้ถกู 1. an และ bn เปนลําดับลูเขา 2. an และ bn เปนลําดับลูออก 3. an เปนลําดับลูเขา และ bn เปนลําดับลูออก 4. an เปนลําดับลูออก และ bn เปนลําดับลูเขา

26. กําหนดฟงกชั่นจุดประสงคและอสมการขอจํากัดเปนดังนี้ C = 40x + 32y 6x + 2y ≥ 12 2x +2y ≤ 8 4x + 12y ≥ 24 คาต่ําสุดของ C เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 108 2. 112 3. 136 4. 152 27. จํานวนเซิงซอน α = 1 + i เปนคําตอบของสมการใน ขอใดตอไปนี้ 1. α 4 − 2α 2 + 4α = 0 2. α 4 − 2α 2 − 4α = 0 3. α 4 + 2α 2 − 4α = 0 4. α 4 + 2α 2 + 4α = 0 28. กราฟของจุด α ทั้งหมดในระนาบเซิงซอน ที่สอดคลอง สมการ (α + i ) (α − i ) = 1 เปนรูปใดตอไปนี้

⎢ ⎣⎢ 2 2

เมื่อ n > 100

⎧ 2 ⎪ ⎪⎪ และ bn = ⎨ ⎪ n2 ⎪ ⎪⎩ 2n +1

เทากับขอใดตอไปนี้

− 1 + 3i 2 − 3+i 2

1.

เมื่อ n ≤ 100

3

33. กําหนดให f เปนฟงกชันพหุนามกําลังสาม ซึ่งนิยามบน ชวง [-2, 2] โดยที่ f(0) = 1, f(1) = 0 และ f มีคาต่ําสุดที่ x = 1 มีคาสูงสุดที่ x = -1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. f ( −2 ) ≤ f ( x ) ทุก x∈[ −2 , 2]

⎢1 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1 ⎤ C=⎢ ⎥ ⎣ 3 −1⎦

ข. f ( 2 ) ≥ f ( x ) ทุก x∈[ −2 , 2 ]

88

39. กําหนดตารางแสดงเงินคาอาหารกลางวันที่นักเรียนหองหนึ่ง ไดรับจากผูปกครองดังนี้ คาอาหารกลางวัน (บาท) จํานวนนักเรียน (คน) 29 - 31 1 32 - 34 4 35 - 37 5 38 - 40 5 41 - 43 5 คาเฉลีย่ เลขคณิต, คามัธยฐาน และสวนเบี่ยงเบนควอรไทล ตามลําดับ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 37.35, 37.5 และ 3 2. 37.5, 37.5 และ 3 3. 37.35, 37.5 และ 3.5 4. 37.35, 37.0 และ 3 40. โรงงานแหงหนึ่งมีพนักงานจํานวน 40 คน และตารางแจกแจง ความถี่สะสมของอายุพนักงานเปนดังนี้

ขอใดตอไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 34. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. z + z 2 + z − z ข. z =

2

=2z

2

+2z

2

3 i 50 2 + 2 แลว z = 3 + i

ขอใดตอไปนี้ถกู 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ผิด และ ข. ผิด 3. ก. ผิด และ ข. ถูก 4. ก. ถูก และ ข. ผิด 35. กําหนดให พจนที่ n ของลําดับสองลําดับดังนี้ 4 1 an = 3 3 n + 3 1 + 2 + 3 + ... + n 3

b n = 4 x 2 + 1 + x 2 + 3x + 1 − 3x

lim (a n + b n ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

n →∞

1. 2 3. 4.5 36. ให a เปนจํานวนจริง

2. 3.5 4. 5.5

⎧ 3x - 9 , x>3 ⎪ กําหนดให f(x) = ⎨ 3x - 3 ⎪ ax 2 - 6a , x ≤ 3 ⎩

38. กําหนดให f(x) = 3 x + 1 ถา g เปนฟงกชัน 2 ซึ่ง f g ( x ) = x + 1 ทุก x ∈ R แลว f′(1) + g′(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

12 3. 33 4

ความถี่สะสม

11-20 21-30 31-40 41-50 51-60

6 14 26 36 40

ถาผูจัดการมีอายุ 48.5 ปแลว พนักงานที่มีอายุระหวาง คามัธยฐานของพนักงาน และอายุของผูจัดการมีจํานวน ประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 31.5 % 2. 33.7% 3. 35.0% 4. 37.0% 41. จากตารางการแจกแจงความถี่ตอไปนี้

แลว f เปนฟงกชันตอเนื่องแลว f′(a) มีคาเทากับขอใด ตอไปนี้ 1. 2 2. 4 3. 8 4. 10 37. ถาจุด A บนเสนโคง y = 2x 3 − x 2 ทําใหเสนสัมผัส เสนโคงที่จุดนั้นตั้งฉากกับเสนตรง x + 4y = 10 แลว สมการเสนสัมผัสที่โคงนี้ ที่ผานจุด A ในควอดรันตที่ 1 มีระยะตัดแกน y ตรงกับ ขอใดตอไปนี้ 1. –2 2. –3 3. –4 4. 3

1. 41

อายุ (ป)

ชวงคะแนน

ความถี่

96 – 105 86 – 95 76 – 85 66 – 75 56 – 65 46 – 55

3 7 10 y x 4

ถาขอมูลชุดนี้มี Q1 = 65.5 และมีมัธยฐานเทากับ 75.5 แลว สวนเบี่ยงเบนควอไทลของขอมูลมีคาเทากับขอใด 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20

2. 35

12 39 4. 4

89

42. นักเรียนหองหนึ่งเปนนักเรียนหญิง 20 คน นักเรียนชาย 30 คน มีคาเฉลีย่ ของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 24.6 กิโลกรัม สมศรีเปนนักเรียนหญิงที่มีน้ําหนัก a กิโลกรัมคิดเปนคา มาตรฐานของน้ําหนักในกลุมนักเรียนหญิงเทากับ b สมชาย เปนนักเรียนชายทีม่ ีน้ําหนัก a กิโลกรัม คิดเปนคามาตรฐาน ของน้ําหนักในกลุมของนักเรียนชายเทากับ b ถา สัมประสิทธิ์ของการแปรผันเฉพาะกลุมนักเรียนหญิง เทากับ 0.125 สัมประสิทธิ์ของการแปรผันเฉพาะกลุมนักเรียนชาย เทากับ 0.16 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเฉพาะกลุมนักเรียนชายเทากับ 4 แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1. a = 22, b = -1.1 2. a = 22, b = -1 3. a = 21, b = -1.1 4. a = 21, b = -1 43. จัดคน 8 คน ซึ่งมี สมชาย สมคิดและสมศรีรวมอยูดวยเขา นั่งเรียงกันเปนแถวตรงโดยที่สมศรีนั่งกลางติดกับสมชาย และสมคิดเสมอจํานวนวิธีการจัดที่นั่งดังกลางมีคาเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1. 360 2. 720 3. 1080 4. 1440 44. กลองใบหนึ่งมีบัตร 10ใบ แตละใบมีเลข 0, 1, 2, ….,9 บัตร ละหนึ่งหมายเลข ถาหยิบบัตรจากกลองพรอมกัน 3 ใบความ นาจะเปนที่จะไดบตั รหมายเลขคูทุกใบ และมีแตมรวมกัน มากกวา 10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. 1 1 20

20 โดยมีสมบัติดังนี้ ∑ ( x i − b) 2

4.

70 28 3. 70

20

∑| xi − a |

i =1

20

มีคานอยที่สุดเมื่อ a = 5 และ ∑ ( x i − b) 2 i =1

มีคานอยที่สุดเมื่อ b = 8 ขอใดตอไปนี้ถกู ตอง 1. ขอมูลชุดนีม้ ีคาเฉลีย่ เลขคณิตนอยกวาคามัธยฐาน 2. ผลรวมของขอมูลชุดนี้ทั้งหมดเทากับ 100 3. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับ 5 4. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับ 50 % 49. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่ คาสูงสุดของ ขอมูลมีคาเทากับเปอรเซ็นไทลที่ 97.5คาต่ําสุดของขอมูล มี คาเทากับเปอรเซ็นไทลที่ 33 ถาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของขอมูลชุดนีเ้ ทากับ 10 แลว พิสัยของขอมูลชุดนี้เทา กับ ขอใด โดยกําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงดังนี้ Z 0.44 1.96 A 0.17 0.475 1. 25 2. 26 3. 27 4. 28 50. ราคาตอหนวยของคอรสเรียนในกรุงเทพในเวลาสามป ติดตอกันเปนดังนี้ ราคาคอรส(บาท) สถาบัน 2545 2546 2547 2000 a 2360 Genius 1500 1800 1875 NEO 1250 1250 1125 DAV’

1 30

45. มีเลข 8 จํานวนเปนเลขบวก 6 จํานวน ซึ่งเปนเลขคู 3 จํานวน จํานวนคี่ 3 จํานวน และมีจํานวนลบ 2 จํานวน ซึ่ง เปนจํานวน คู 1 จํานวนจํานวนคี่ 1 จํานวน ถาสุมตัวเลขดังกลาวมา 4 จํานวน แลว ความนาจะเปนที่ผลคูณของเลขทั้งสี่จะมีคานอยกวา 0 และเปนเลขคี่ มีคาเทากับขอใด 1. 14

= 500 ,

i =1

15

12

3.

3. 0.05 4. 0.75 47. คะแนนสอบของนักเรียนหองหนึ่งมีคาสัมประสิทธิ์สวนเบี่ยง เบนเฉลีย่ เทากับ 1.2 และสวนเบีย่ งเบนเฉลี่ยเทากับ 14.4 ถานักเรียนในหองนี้มี 10 คน และผลรวมกําลังสองของ คะแนนนักเรียนทั้งหองเทากับ 1530 คะแนนแลวสัมประสิทธิ์ การแปรผันของคะแนนสอบเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.1 2. 0.25 3. 0.3 4. 3 48. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย X1 , X 2 , X 3 , ... , X 20

2. 10

70 4. 1 70

46. กําหนดใหความนาจะเปนที่หลอดไฟฟาในหองน้ําเสียเทากับ 0.2 ความนาจะเปนที่หลอดไฟฟาในครัวเสียเทากับ 0.1 ความนา จะเปนที่หลอดไฟฟาในหองน้ําหรือหองครัวเสียเทากับ 0.25 แลวความนาจะเปนที่หลอดไฟฟาในหองน้ําและหองครัวเสีย พรอมกัน เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.3 2. 0.1

โดยใชป 2545 เปนปฐาน ถาดัชนีราคาอยางงายแบบใช คาเฉลีย่ ราคาสัมพันธของราคาคอรสทัง้ สามสถาบันของ ป 2546 มีคามากกวา ป 2545 เทากับ 1 แลว a มีคาเทา กับขอใด 1. 2200 2. 2220 3. 2222 4. 2000 90

51. กลองใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 5 ลูก สีเขียว 3 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก ถาหยิบลูกหินอยางสุม ครั้งละ 1 ลูก โดยไมใสคืน 3 ครั้ง แลว ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกหินสีเดียวกันอยางนอย 2 ลูก มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1.

1 24

3. 1 4

ตอนที่ 2 ขอสอบแบบอัตนัย (จํานวน 10 ขอ) 1. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุดซึ่งหาร ดวย 7 แลวมีเศษเหลือเทากับ 4 ถา 9 และ 11 ตางก็หาร (n-2) ลงตัวแลว n คือจํานวนใด

2. 23 24 4. 3 4

2. ถาเสนกํากับของไฮเพอรโบลา 16 x 2 − 9 y 2 + 32 x + 36 y = 164

ตัดแกน x ที่จุด x1 , x2 แลว ระยะระหวาง x1 , x2 ยาวกี่หนวย

52. ในโรงเรียนแหงหนึ่ง มีนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอล รวมกัน 30 คน เปนนักกีฬาฟุตบอล 17 คน และนักกีฬาบาสเกตบอล 18 คน ถาจะเลือกประธานกีฬาของโรงเรียน 1 คน และ รองประธานกีฬา 1 คน จากนักกีฬากลุมนี้ โดยที่ประธานตอง เปนทั้งนักกีฬาฟุตบอลและนักกีฬาบาสเกตบอลแลว จํานวน วิธีการเลือกดังกลาวมีทั้งหมดเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 125 2. 130 3. 145 4. 150 53. ถาตองการเขียนจํานวนที่มี 7 หลัก โดยใชตัวเลขโดด 1 , 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 และใหมีเลขโดด 3 , 4 , 5 อยูติดกันตรงกลาง ระหวางเลขโดดคูและเลขโดดคี่ โดยแตละจํานวนไมมีเลขซ้ํา แลวจะเขียนไดทั้งหมดเปนจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 8 2. 16 3. 24 4. 48 54. โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนชั้น ม. 6 จํานวน 300 คน สมชาย สมศักดิ์ และสมศรี เปนนักเรียนชั้น ม. 6 ของโรงเรียนนี้ โดยที่ เกรดเฉลี่ยของสมชายอยูในตําแหนงเดไซลที่ 8.15 เกรดเฉลี่ยของสมศักดิ์คิดเปนคามาตรฐานเทากับ 1 นักเรียนชั้น ม.6 ที่ไดเกรดเฉลี่ยมากกวาสมศรีมีจํานวน 50 คน ถาสมมติวาเกรดเฉลี่ยของนักเรียนชั้น ม. 6 มีการแจกแจง ปกติ ขอใดตอไปนี้เปนรายชื่อนักเรียนเรียงลําดับจาก คนที่ไดเกรดเฉลี่ยมากที่สุดไปนอยที่สุด (กําหนดพื้นที่ใตโคงปกติ Z = 0 ถึง Z = 1 มีคาเทากับ 0.3413) 1. สมชาย สมศักดิ์ สมศรี 2. สมศักดิ์ สมศรี สมชาย 3. สมศรี สมศักดิ์ สมชาย 4. สมศักดิ์ สมชาย สมศรี 55. ในการจัดคน 6 คน ซึ่งมี นาย ก และนาย ข รวมอยูดวย เขาพัก ในหอง 3 หอง โดยที่หองที่หนึ่งพักได 3 คน หองที่สองพักได 2 คน และหองที่สามพักได 1 คน ความนาจะเปนที่นาย ก และ นาย ข จะไดพกั หอง เดียวกันเทากับขอใดตอไปนี้

1 15 4 3. 15 1.

3.

กําหนดให

ถา 4.

f

−1

2 (a) = 3

กําหนดให โดยที่

⎧ −1 + 1 + 4 x 2 ⎪ 2x ⎪⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ 0 ⎪⎩

w

เมื่อ x ≠ 0

เมื่อ x = 0 แลว a มีคาเทากับเทาใด

ถา w = ai + b j มีทิศทางเดียวกันกับ u และ w =10 แลว u = 3i + 4 j

a + b เทากับเทาใด 5.

ถาขอมูลชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนเฉลีย่ เทกับ 0.12 สวนเบีย่ งเบนเฉลี่ยเทากับ 6 ละสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ 10 แลว สัมประสิทธิ์ของการแปรผันมีคาเทากับเทาใด

6. ให θ เปนจํานวนจริง ซึ่งสอดคลองกับสมการ 1 1 1 1 แลว tan 2 2θ มีคาเทาใด + + + =7 tan 2 θ

cot 2 θ

sin 2 θ

cos 2 θ

เปนอนุกรมเรขาคณิตซึ่งมีผลบวก 1 1 a a2 + + + + .... a 3 32 33 เทากับ 4 แลว a มีคาเทาใด 3

7. ถา

8.

กําหนดให

⎡ 3 x 3⎤ A = ⎢2 0 9⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢1 1 2 ⎥⎦

เมื่อ x เปนจํานวนจริง ถา ⎡ 3 x 3 1 0

0⎤ ⎢ 2 0 9 0 1 0⎥ ~ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 1 2 0 0 1 ⎥⎦

3 15 5 4. 15 2.

แลว x มีคาเทากับเทาใด

91

5 −36 ⎤ ⎡1 0 0 9 ⎢ 0 1 0 −5 −3 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 −2 −1 8 ⎥⎦

9. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรพบวาคะแนนของนักเรียนมีการ แจกแจงปกติสวนเบี่ยงเบนควอไทลเทากับ 6 สัมประสิทธิ์ ควอไทลเทากับ 0.6 คะแนนเฉลีย่ ของการสอบครั้งนี้มีคาเทา กับเทาใด 10. ถาความสัมพันธเชิงฟงกชั่นของขอมูลชุดหนึ่งระหวางตัวแปร x และ y มีกราฟเปนเสนตรงโดยที่ 8 8 8 ∑ X i = 32 , Y = 16 , ∑ X iYi = 65 ,

∑

i =1

8

∑X i =1

2 i

i =1

i =1

, = 140

8

∑Y i =1

i

i

2

= 34

ถา x = 8 แลวจะประมาณคา y ไดเทาใด (ตอบเปนทศนิยมสองตําแหนง)

92

เฉลย PAT 1 วัดศักยภาพทางคณิตศาสตร แสดงวามีคา x ในเอกภพสัมพัทธบางคาที่ทําให y ไม อยูในเอกภพสัมพัทธ ดังนั้น ∀x∃y ⎡⎣ x2 + x + 1 = y ⎤⎦ มีคาความจริงเปนเท็จ

ตอนที่ 1 ขอสอบปรนัย จํานวน 55 ขอ 1. ตอบ 3. แนวคิด ขอ ก กําหนดให ( pVp ) → r และ

( q → r ) → s ตางมีคาความจริงเปนเท็จ สามารถนํามาหาคาความจริงของประพจน p, q, r ได ดังแผนภาพตอไปนี้ ( p V p) → r (q → r ) →

เมื่อเอกภพสัมพันธเปนจํานวนเฉพาะบวก ขอ ข ถูก เพราะวา นิเสธของ ∀x ⎡ P ( x ) → ⎡Q ( X )V R ( x )⎤ ⎤ คือ

∃x ⎡⎣ ~ ( P ( x ) → ⎣⎡Q ( x ) V R ( x )

สมมูลกับ

∃x ⎡⎣( P ( x ) ∧ ~ ⎡⎣Q ( x ) V R ( x ) ]⎤⎦

สมมูลกับ

∃x ⎡⎣( P ( x ) ∧ ~ Q ( x ) ∧ ~ R ( X ) ⎤⎦

แนวคิด

จาก x 2 + x - 2 ≤ x 2 - 4x + 3

)⎦⎤

จะได ( x 2 + x − 2 )2 ≤ ( x 2 − 4 x + 3)2

(x (x (x

มีคาความจริงเปนเท็จ

2

+ x − 2 ) − ( x 2 − 4 x + 3) ≤ 0 2

2

2

+ x − 2 − x 2 + 4 x − 3)

2

+ x − 2 + x 2 − 4 x + 3) ≤ 0

( 5 x − 5 ) ( 2 x 2 − 3 x + 1) ≤ 0 5 ( x − 1)( 2 x − 1)( x − 1) ≤ 0 2 5 ( x − 1) ( 2 x − 1) ≤ 0 จะพบวา x = 1 อสมการดังกลาวเปนจริง

สรุป ขอ ก ผิด ขอ ข ใหเหตุทุกเหตุที่มีคาความจริงเปนจริง แลวหา คาความจริง และ ดังแผนภาพตอไปนี้ q ∧ s

⎦⎦

3. ตอบ 3.

สรุป p, q, r และ s มีคาความจริงเปน T , F , F , F ตามลําดับ ดังนั้น ประพจน ( p V q ) → ( r V s )

~ p → ~ (q V r )

⎣

⎣

s

ถา x ≠ 1 จะได

2x −1 ≤ 0

~ r

x≤

นั่นคือ เนื่องจาก

1 2

1⎤ ⎛ A = ⎜ −∞, ⎥ ∪ {1} 2⎦ ⎝

B = A − {1} 1⎤ ⎛ B = ⎜ −∞, ⎥ 2⎦ ⎝

นั่นคือ s เปนจริง และ p เปนจริง ดังนั้น ผล s → p มีคาความจริงเปนจริง การอางเหตุผลดังกลาวสมเหตุสมผล สรุป ขอ ข ถูก

จาก a ∈ B และ a − b ≥ 0 ทุกๆ b ∈ B แสดงวา a ∈ B และ a ≥ b ทุกๆ b ∈ ⎛ −∞, 1 ⎤ จะได a =

2. ตอบ 3. แนวคิด ขอ ก ผิด เพราะวา กําหนดให เอกภพสัมพัทธคือ เซตของจํานวนเฉพาะบวก จาก x 2 + x + 1 = y จะพบวา ถา x = 7 ซึ่งเปนจํานวนเฉพาะบวก จะได

⎜ ⎝

1 2

2 ⎦⎥

ดังนั้น ขอ ก ผิด เพราะวา 4 a = 4 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 2 ไมเปนจํานวนคู 3

3⎝2⎠

3

ขอ ข ถูก เพราะวา 5 = 5 ⎛⎜ 2 ⎞⎟ = 10 เปนจํานวนคู a

4. ตอบ 4. 32 5. ตอบ 3. –7 6. ตอบ 2. 2000

72 + 7 + 1 = y y = 57 = 3 ×19

คา y ดังกลาวไมใชจํานวนเฉพาะบวก

93

⎝1⎠

7. ตอบ 1. (p∧q) → r 8. ตอบ 2. (–2, –1) 9. ตอบ 2. แนวคิด จากเงื่อนไข n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r เทากับ จะได 551 = nx + r

11. ตอบ 4. แนวคิด จากสมการวงรี kx + y − 72 x − 24 y + m = 0 เนื่องจาก จุดศูนยกลางอยูที่จดุ ( 4,3) 2

จะได

( 3 ) − (1)

ได

540 = n ( z − x )

( 3) − ( 2 )

ได

360 = n ( z − y )

180

m=0

จะได สมการวงรี คือ 9 x 2 + 4 y 2 − 72 x − 24 y + 36 = 0

ทําใหอยูในรูปแบบ 2 2 9 ( x − 4 ) + 4 ( y − 3) = 144 2 2 ( x − 4 ) + ( y − 3) = 1 16

18

b2 = 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8

แสดงวา ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย

แนวคิด จุดศูนยกลางวงกลมอยูที่จุดศูนยกลางวงรี จะไดวา จาก

c 2 = a 2 + b2 = 36 − 16 = 20 c = 2 5 ⇒ 2c = 4 5

9 x 2 + 4 y 2 − 36 x − 24 y + 36 = 0

แสดงวา ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 5 หนวย พิจารณาจุด ( 2, 6 )

จุดศูนยกลางวงรี ⎛ +36

+24 ⎞ , ⎜ ⎟ = ( +2, + 3) 18 8 ⎠ ⎝

= จุดศูนยกลางวงกลม สรางสมการเสนตรงที่มี (1,3) และ (5,0) เปนจุดผาน

ถานํา x = 2 และ y = 6 แทนในสมการ จะได 9 ( 2 )2 + 4 ( 6 ) − 72 ( 2 ) − 24 ( 6 ) + 36

0 − 3 −3 ∴ m= = 5 −1 4

แสดงวา จุด ( 2, 6 ) ไมใชจุดบนวงรี (ขอ 4 ผิด)

∴ y − y1 = m ( x − x1 )

12. ตอบ 4.

−3 ( x −1) 4 −3 3 y −3= x+ 4 4 3x + 4 y −15 = 0 y −3=

แนวคิด จาก r = {( x, y ) ∈ R × R x 2 + y 2 = 16} จะพบวา ความสัมพันธ มีกราฟเปนรูปวงกลมที่มีจุด ศูนยกลางที่จุดกําเนิด และมีรัศมีเทากับ 4 ดังนั้น Dr = [ −4, 4] ..... (1)

เสนตรงสัมผัสวงกลม Ax1 + By1 + C

จาก

A2 + B 2

; สูตรระยะทางตั้งฉากของเสนตรงกับจุด 3 ( 2 ) + 4 ( 3) + 5 3

=

3 +4 2

2

36

จะได a 2 = 36 ⇒ a = 6 ⇒ 2a = 12 แสดงวา ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย

10. ตอบ 1.

∴r =

2

36 − 72 + m = 0

จากรูปแบบดังกลาว แสดงวา n หาร180, 540 และ 360 ลงตัวเนื่องจากกําหนดใหเปนจํานวนเต็มบวกที่ มากที่สุด ดังนั้น คือ ห.ร. ม. ของ 180 , 540 และ 360 นั่นคือ n = 180 นําไป 180 ไปหาร 551 จะเหลือเศษ 11 ⇒ r = 11 ดังนั้น r − 1 = 11 − 1 = 1 n

และ

นั่นคือ 9 ( 0 ) + 4 ( 3 ) − 72 ( 0 ) − 24 ( 3) + m = 0 2

180 = n ( y − x )

k =9

24 =3 2 =4

ดังนั้น ( 0,3) เปนจุดบนวงรี

1091 = nz + r

ได

และ

ดังนั้น สมการคือ 9 x + 4 y 2 − 72 x − 24 y + m = 0 เนื่องจากวงรีสัมผัสแกน y ที่จุด ( 0,3)

731 + ny + r

( 2 ) − (1)

72 =4 2k 2

จากเงื่อนไข n หาร 1093 เหลือเศษ r +2 จะได 1093 = nz + ( r + 2 ) นั่นคือ

2

=

s=

{( x, y ) ∈ R × R xy

2

พิจารณา xy + x + 3 y + 2 = 0 2

2

xy 2 + 3 y 2 = − x − 2

5

( x + 3) y 2 = − x − 2

94

}

+ x + 3y2 + 2 = 0

−x − 2 x+3 −x − 2 ≥ 0 และ x ≠ −3

นั่นคือ

x+3 x+2 ≤0 x+3

แสดงวา ดังนั้น

ให A = 3 2 x , A2 = 3 x

A2 + 27 = 12 − A A2 − 12 A + 27 = 0

และ x ≠ −3

( A − 9 )( A − 3) = 0

−3 < x ≤ −2

A= 9

Ds = ( −3, −2]

..... ( 2 )

3 = 32

ผลบวกของรากทั้งหมด คือ แนวคิด

จาก

6

( x − 2y)

+ 1 = a ( k 2 + 1)

( x − 4 y )( x − y ) = 0 x = 4y , x = y x = 4 กรณีนี้ใชไมได y

a −1 a2 − a

z=4

a −1 1 = ( a ≠ 1) a ( a − 1) a

เนื่องจาก ( fog −1 ) ⎛ 1 ⎞ = f ⎛ g −1 ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ k k ⎠

⎝

⎝

⎠⎠

เพราะวา g ( x ) = ax จะได g −1 ( ax ) = x ให ดังนั้น

ax =

17. ตอบ 18. ตอบ 19. ตอบ 20. ตอบ

1 1 ⇒x= 2 k2 ak

1 1 ⎛ 1 ⎞ g −1 ⎜ 2 ⎟ = 2 = =1 ⎛1⎞ ⎝ k ⎠ ak a⎜ ⎟ ⎝a⎠

นําไปแทนใน (1) จะได

เพราะทําใหจํานวนตามหลัง log เปนจํานวนลบ ดังนั้น สมาชิกในเชต A คือ 4 ผลบวกของสมาชิก ใน A เทากับ 4 3. [0, 1] 4. 24 2. 7 1. แนวคิด จาก u = ai + b j + 2k 2 จะได u = a + b2 + 4 จากที่กําหนดให

( fog −1 ) ⎛⎜⎝ k12 ⎞⎟⎠ = f (1) = 12 + 1 = 2 14. ตอบ 2. 15. ตอบ 3.

= xy

x 2 − 5 xy + 4 y 2 = 0

− a) k 2 = a −1

⎝

3

x − 4 xy + 4 y 2 = xy

a 2 k 2 − ak 2 = a − 1

k2 =

2

= ( xy )

2

a 2 k 2 + 1 = ak 2 + a

k2 =

6

( x − 2y)

f ( ak ) = g ( k 2 + 1)

2

6 log ( x − 2 y ) = log x 3 + log y 3

log ( x − 2 y ) = log ( x3 y 3 )

กําหนดให ( fog )( k ) = ( gof )( k ) จะได f ( g ( k )) = g ( f ( k ))

(a

1 1 3 + = 4 2 4

16. ตอบ 2.

จาก f ( x ) = x 2 + 1 และ g ( x ) = ax เมื่อ a ∈ ( 0,1)

2

หรือ 3 2 x = 31

1 1 = 2 หรือ = 1 2x 2x 1 หรือ x = 1 x= 2 4

13. ตอบ 2.

( ak )

หรือ A= 3 1

1 2x

จาก (1) และ (2) Dr − DS = [ −4, 4] − ( −3, 2] = [ −4, −3] ∪ ( −2, 4] จะพบวา [ −1, 2] ⊂ Dr − Ds แนวคิด

1

1

y2 =

ดังนั้น

R F = (0 , 1)

u =3

a 2 + b2 + 4 = 3

a 2 + b2 = 5 a 2 = 5 + b 2 ..... (1)

1 ⎛ 1 ⎞ log 3 ⎜ 3 x + 27 ⎟ = log 3 4 + log 3 3 + log 3 3 2 x ⎝ ⎠

จาก จะได

1 ⎛ 1 ⎞ log 3 ⎜ 3 x + 27 ⎟ = log 3 (4 ) (3) (3 2 x ) ⎝ ⎠

v = 2ai − 3b j

u i v = a ( 2a ) + b ( −3b ) + 2 ( 0 ) u v cos θ = 2a 2 + 3b 2 ⎛1⎞ 3 4a 2 + 9b 2 ⎜ ⎟ = 2a 2 − 3b 2 ⎝3⎠

1 ⎛ 1x ⎞ 2x ⎜ 3 + 27 ⎟ = (12 ) (3 ) ⎝ ⎠

95

2 tan = sec 2 A 5

4a 2 + 9b 2 = 2a 2 −3b 2

จาก ( 1 ) 4 ( 5 − b ) + 9b = 2 ( 5 − b ) − 3b 2

2

2

tan A =

2

นั่นคือ

20 − 4b 2 + 9b 2 = 10 − 2b 2 − 3b 2

2 (1 + tan 2 A) 5

x=

20 + 5b 2 = 10 − 5b 2

2 (1 + x 5

5x = 2 + 2 x2

2 x2 − 5x + 2 = 0 ( 2 x − 1)( x − 2 ) = 0

20 + 5b2 = 100 − 100b2 + 25b4

1 x = ,2 2

25b4 − 105b2 + 80 = 0 5b − 21b + 80 = 0 4

2

( 5b

2

b2 =

แสดงวา

− 16 )( b 2 − 1) = 0

16 5

b=±

b2 = 1

22. ตอบ 3. แนวคิด ให

b = ±1

16 5

⎛1 ⎞ x ∈ ⎜ ,3 ⎟ ⎝3 ⎠

sin ( arctan 2 + arctan 3)

arctan 2 = A + arctan 3 = B

⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 10 ⎠

กําหนดให และ เปนจํานวนเต็มบวก ดังนั้น b = 1 ⇒ a 2 = 4 (จาก(1)) a=2

ดังนั้น u = 2i + j + 2k และ v = 4i − 3 j u×v =

)

=

2 3 + 50 50

=

5 5 1 = = 50 5 2 2

23. ตอบ 1.

1 2 2 2 2 1 i− j+ k −3 0 4 0 4 −3

1 5

24. ตอบ 2. ก. ถูก และ ข. ผิด 25. ตอบ 1. − 1+ 3i

u × v = 6i + 8 j − 10k

21.ตอบ 1.

2

26. ตอบ 1.

แนวคิด ขอ ก ถูก เพราะวา

แนวคิด จากสมการขอจํากัด นํามาเขียนกราฟไดดังนี้ 6 x + 2 y ≥ 12, 2 x + 2 y ≤ 8 และ 4 x + 12 y ≥ 24 จะพบวา บริเวณทีเ่ ปนไปตามเงื่อนไข คือ บริเวณแรเงา PQR โดยมีจุดมุม 3 คือ ⎛ 3 3 ⎞ และ R ( 3,1) P (1,3) , Q ,

tan14° + tan 76° = tan14° + cot14° sin14° cos14° = + cos14° sin14° sin 2 14° + cos 2 14° sin14° cos14° 1 = sin14° cos14°

=

=

2 2sin14° cos14°

=

2 sin 28°

⎜ ⎟ ⎝2 2⎠

นําจุดทั้ง 3 ไปหาคาต่ําสุดของฟงกชันจุดประสงค C จาก C = 40 x + 32 y จุด P (1,3) ⇒ C = 40 (1) + 32 ( 3) = 136

= 2cos ec 28°

ขอ ข ถูก เพระวา 4 จาก sin ( 2 arctan x ) =

จุด

R ( 3,1) ⇒ C = 40 ( 3 ) + 32 (1) = 152

27. ตอบ 1. 28. ตอบ 2. 29. ตอบ 1.

arctan x = A ⇒ tan A = x 4 sin 2 A = 5 2sin A cos A =

⎛3 3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ Q ⎜ , ⎟ ⇒ C = 40 ⎜ ⎟ + 32 ⎜ ⎟ = 108 ⎝2 2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

จะพบวา คาต่ําสุด C เทากับ 108

5

ให ดังนั้น

จุด

4 5

แนวคิด

จาก

⎡ x A=⎢ ⎢⎣ 2 2 2

2 5cos A sin A 2 = cos A 5cos 2 A

sin A =

96

−2 2 ⎤ 3 ⎥ ⇒ det ( A) = x + 8 x ⎥⎦

กําหนดให

det ( 2 A ) = −76

จะได

4 det ( A ) = −76

det ( A) = −19

นั่นคือ

จาก(2) จะได a + c = −1

จาก(3) จะได 3a + c = 0 นําคา a, b, c และ d ที่หาไดไปแทนใน (1) จะได

x3 = −27 ⇒ x = −3

จาก

⎡ −2 −4 x ⎤ ⇒ det ( B ) = 8 x B=⎢ 0 ⎥⎦ ⎣2

ถา

det ( BC ) = det ( B ) det ( C ) = ( −24 ) det ( C )

ถา

กําหนดให det ( BC ) อยูในชวง ( −100,50 ) จะได

ถา

−100 < ( −24 ) det ( C ) < −50

⎡1 −1⎤ C=⎢ ⎥ ⇒ det ( C ) = 3 ⎣1 2 ⎦

จากขอ (2)

⎡ −1 2⎤ C=⎢ ⎥ ⇒ det ( C ) = −3 ⎣ 1 1⎦

จากขอ (3)

⎡ 2 1⎤ C=⎢ ⎥ ⇒ det ( C ) = 9 ⎣ −1 4⎦

จากขอ (4)

⎡2 1 ⎤ C=⎢ ⎥ ⇒ det ( C ) = −5 ⎣ 3 −1⎦

จะพบวา

det ( C )

2

24

จากขอ (1)

ถา

−

แนวคิด กําหนดให f เปนฟงกพหุนามกําลังสาม ดังนั้น f จะอยูในรูป f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ..... (1) จาก f (0) = 1 ⇒ d = 1

จาก (1)

f

ดังนั้น f ( 2 ) ≥ f ( x ) ขอ ข ถูก 34. ตอบ 4. ก. ถูก และ ข. ผิด 35. ตอบ 4. 5.5 36. ตอบ 3. 8 37. ตอบ 2. –3 38. ตอบ 1. 41 12 39. ตอบ 1. แนวคิด จากขอมูลที่กําหนดใหแทนคาอาหารกลางวัน และ แทนความถี่ 1. คาเฉลีย่ เลขคณิต

33. ตอบ 1.

จะได

a+b+c+d = 0 a + b + c = −1 ( d = 1)

จุดกึ่งกลาง

29-31 30 1 32-34 33 4 35-37 36 5 38-40 39 5 41-43 42 5 2. f ( −1) และ f ( 2 ) เปนคาสูงสุดสัมบูรณ

ในขอ 1 เปนไปตามเงื่อนไขที่

f (1) = 0

x ∈ [ −2, 2 ] จะพบวาในชวงปดดังกลาว

x

4 3

จาก

2

1. f (1) และ f ( −2 ) เปนคาต่ําสุดสัมบูรณ ดังนั้น f ( −2 ) ≤ f ( x ) ขอ ก ถูก

กําหนด 30. ตอบ 3. 31. ตอบ 3. 32. ตอบ 1.

1 3 x = −1 ⇒ f ( −1) = − + + 1 = 2 2 2 1 3 x = −2 ⇒ f ( −2 ) = ( −8 ) − ( −2 ) + 1 = 0 2 2

ถา x = 2 ⇒ f ( 2 ) = 1 (8) − 3 ( 2 ) + 1 = 2

ดังนั้น เงื่อนไขคือ 50 < det ( C ) < 100 24

1 3 3 x − x +1 2 2 1 3 x = 1 ⇒ f (1) = − + 1 = 0 2 2 f ( x) =

แทนคา จะได det ( B ) = 8 ( −3) = −24 ดังนั้น

1 −3 ⇒ a = ,c = 2 2

x3 + 8 = −19

...... ( 2 )

f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c 2

กําหนดให f มีคาต่ําสุดที่ x = 1 และ มีคาสูงสุดที่ x = −1 นั่นคือ f ' (1) = 0 และ f ' ( −1) = 0

=

30 (1) + 33 ( 4 ) + 36 ( 5 ) + 39 ( 5) + 42 ( 5 ) 1+ 4 + 5 + 5 + 5

=

747 = 37.35 20

2. จํานวนนักเรียนทั้งหมด 20 คน ตําแหนงของมัธยฐานอยูที่ N = 20 = 10

จาก f ' (1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0 ..... ( 3 )

2

จาก

2

ดังนั้น มัธยฐาน = 37.5 3. ตําแหนงของ Q = N ⎛ 1 ⎞ = 20 ⎛ 1 ⎞ = 5

f ' ( −1) = 0 ⇒ 3a − 2b + c = 0 ..... ( 4 )

1

(3)-(4) จะได 4b = 0 ⇒ b = 0 (นําไปแทนคา)

ตําแหนงของ

97

⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎛3⎞ ⎛3⎞ Q3 = N ⎜ ⎟ = 20 ⎜ ⎟ = 15 ⎝4⎠ ⎝4⎠

43. ตอบ 4. แนวคิด จากที่กําหนดให ตองการให สมศรีนั่งตรงกลางติดกับสมชาย และสมคิด นําคนทั้ง 3 คนมานัด แลวนับเปนของ 1 สิ่ง ดังนั้น จะมีของอยู 6 สิ่ง (1 มัดกับ 5 คน) มาจัดเปนแถวตรง ซึ่งสามารถทําได 6! วิธี แตเนื่องจากภายในมัด สมชายและสมคิดสามารถสลับ ที่นั่งกันไดอีก 2! วิธี แสดงวา จํานวนวิธีที่จะจัดใหนั่งสามารถทําได 6!× 2! = 1440 วิธี 44. ตอบ 3. แนวคิด มีบัตร 10 ใบแตละใบหมายเลข 0,1, 2,3,.....9 บัตรละ 1 หมายเลข หยิบมา 3 ใบ จํานวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได = C = 120 วิธี

ดังนั้น Q1 = 34.5 และ Q3 = 40.5 นั่นคือ สวนเบีย่ งเบนควอไทล = Q3 − Q1 2

40.5 − 34.5 = =3 2

40. ตอบ 3. 41. ตอบ 2. 10 42. ตอบ 4. แนวคิด พิจารณากลุมนักเรียนชาย จากขอมูลที่กําหนดให N = 30, σμ = 0.16 และ σ = 4 นั่นคือ μ =

σ 0.16

=

4 = 25 0.16

สมชายเปนนักเรียนชายที่มีน้ําหนัก a กิโลกรัม และคิดเปนคามาตรฐานเทากับ b จาก z = x − μ ⇒ b = a − 25 ..... (1) σ

10,3

4

เหตุการณที่ตองการคือ 3 ใบที่หยิบมาเปนหมายเลขคูทุกใบ (0, 2, 4, 6, 8) และมีผลรวมของแตมมากกวา 10 เหตุการณดังกลาวจะเกิดขึ้นได 6 วิธี ดังนี้

-------------------------------------เนื่องจากคาเฉลี่ยของน้ําหนักนักเรียนทั้งหอง เทากับ 24.6 นั่นคือ ผลรวมน้ําหนัก (ชาย)+ ผลรวมน้ําหนัก (หญิง) = 24.6 จํานวนนักเรียนทั้งหมด

( 0, 4,8 ) , ( 0, 6,8 ) , ( 2, 4, 6 ) , ( 2, 4,8 ) , ( 2, 6,8 ) , ( 4, 6,8 )

ดังนั้น ความนาจะเปนของเหตุการณดังกลาว = 45. ตอบ 4. 1

70

46. ตอบ 3. 0.05 47. ตอบ 2. 0.25 48. ตอบ 4. 49. ตอบ 1. 25 50. ตอบ 1. 2200 51. ตอบ 2. 23

30(25) + 20 (คาเฉลี่ยน้ําหนักหญิง) = 24.6 50 20 (คาเฉลีย่ น้ําหนัก (หญิง) ) = 24.6 ( 50 ) − 30 ( 25 ) = 1230 − 750

= 480

คาเฉลีย่ น้ําหนัก (หญิง) =

24

480 = 24 20

52. ตอบ 3. 145 53. ตอบ 4. 48 54. ตอบ 2. สมศักดิ์ สมศรี สมชาย 55. ตอบ 3. 4 15 ตอนที่ 2 ขอสอบอัตนัย จํานวน 10 ขอ 1. ตอบ 200 แนวคิด จงหา n ที่เปนจํานวนเต็มบวกและมีคานอยที่สุด เนื่องจาก n หารดวย 7 แลว มีเศษเหลือ 4 จะได n = 7 x + 4, x ∈ Ι ......(1) เนื่องจาก 9 และ 11 ตางก็หาร n − 2 ลงตัว เพราะวา ค.ร.น.ของ 9 กับ 11 คือ 99 ดังนั้น n - 2 = 99 (k), k ∈ I .....(2) จาก (1) 7 x + 4 − 2 = 99 ( k )

------------------------------------------พิจารณากลุมนักเรียนหญิง จากผลการคํานวนที่ผานมาจะได μ = 24, N = 20 โจทยกําหนดเพิ่มเติมวา σ = 0.125 ⇒ σ = 0.125μ μ

ดังนั้น σ = 0.125 ( 24 ) = 3 เนื่องจาก สมศรีมีน้ําหนัก a กิโลกรัม คิดเปนคา มาตรฐานในกลุมนักเรียนหญิงไดเทากับ b จาก z = x − μ ⇒ b = a − 24 σ

3

จาก ( 1) และ (2) จะได

..... ( 2 )

a − 25 a − 24 = 4 3

3a − 75 = 4a − 96

แทนคาใน (2) จะได

6 1 = 120 20

a = 21 21 − 24 b= = −1 3

7 x + 2 = 7 (14 ) k + k

98

7. ตอบ 1.5 8. ตอบ 4 9. ตอบ 10

7 x = 7 (14 ) k + ( k − 2 )

เพราะวา 7 หาร 7 (14 ) k ลงตัว ดังนั้น 7 ตองหาร k − 2 ลงตัว จะพบวา มีคานอยที่สุด คือ k = 2 นําไปแทนใน ( 2) จะได n − 2 = 99 ( 2 )

แนวคิด จาก สวนเบี่ยงเบนควอไทล เทากับ 6 จะได Q − Q = 6 3

1

2

n = 198 + 2

Q3 − Q1 = 12

จากสัมประสิทธควอไทล เทากับ 0.6 จะได Q − Q = 0.6

n = 200

2. ตอบ 2.09

3

แนวคิด จาก

( 2 × 2 )( 9 × 3 ) = ( 2 × 6 ) 2x

2x

12 = 0.6 Q3 + Q1

2x

18 ( 2 2 x × 33 x ) = 2 2 x × 6 2 x

18 ( 6 ) = 2 × 6 2x

2x

Q3 + Q1 =

2x

12 = 20 0.6

..... ( 2 )

เนื่องจากการแจกแจงของคะแนนเปนการแจกแจงปกติ ดังนั้น คะแนนเฉลีย่ = มัธยฐาน

18 = 22 x

ดังนั้น 2 x = log 2 18

=

2 x = log 2 9 + log 2 2

Q3 + Q1 20 = = 10 2 2

10. ตอบ 2.33

2 x = 2log 2 3 + 1

แนวคิด เนื่องจากความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูล ระหวางตัวแปร และ มีกราฟเปนเสนตรง แสดงวา y = mx + c ..... (1)

1 2

x = log 2 3 +

1

Q3 + Q1

22 x +1 i32 x + 2 = 122 x

x = 1.59 + 0.5 = 2.09

3. ตอบ 0.5 4. ตอบ 14 5. ตอบ 0.2 6. ตอบ 8

ในการหาคา m และ c จะหาจาก

แนวคิด

จาก

1 1 1 1 + + 2 + =7 2 2 tan θ cot θ sin θ cos 2 θ

i =1

i =1

i =1

..... ( 2 )

..... ( 3 )

2 = 4m + c c = 2 − 4m

นําขอมูลที่กําหนดใหแทนคาใน (3) 65 = 140m + 32c 65 = 140m + 32 ( 2 − 4m )

2

2 tan θ − 5 tan θ + 2 = 0 2 θ − 1)( tan 2 θ − 2 ) = 0 4

2

65 = 140m + 64 − 128m

( 2 tan

tan 2 θ =

1 หรือ tan 2 θ = 2 2

1 = 12m ⇒ m =

...... (1)

tan 2 θ =

⎛1⎞ c = 2 − 4⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

2

c=

)

4 (2)

(1 − 2 )

2

5 3

1 5 x+ 12 3 1 ถา x = 8 ⇒ y = ( 8) + 5 = 28 12 3 12

จาก (1) จะได y =

⎛1⎞ 4⎜ ⎟ 1 2 ⇒ tan 2 2 θ = ⎝ ⎠ = 8 2 ⎛ 1⎞ ⎜1 − ⎟ ⎝ 2⎠

tan 2 θ = 2 ⇒ tan 2 2 θ =

1 12

⇓

⎛ 2 tan θ ⎞ tan 2 2 θ = ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1 − tan θ ⎠ 2 4 tan θ tan 2 2 θ = 2 1 − tan 2 θ

(

ถา

8

16 = 32m + 8c

2 + 2 tan θ = 5 tan θ 4

ถา

8

นําขอมูลที่กําหนดใหแทนคาใน (2)

2cot 2 θ + 2 tan 2 θ = 5 1 2 2 + 2 tan 2 θ = 5 tan θ

เนื่องจาก

8

i =1 8

∑ yi = m ∑ xi + 8 c

2 ∑ x1 yi = m ∑ xi + c ∑ xi

cot 2 θ + tan 2 θ + cos ec2θ + sec2 θ = 7 cot 2 θ + tan 2 θ + (1 + cot 2 θ ) + (1 + tan 2 θ ) = 7

นั่นคือ

8

i =1

y ≈ 2.33

=8

สรุป tan 2 2 θ = 8 99