00 Mecanica Veloc Media

EDUCACIONAL

Física Mecânica

VELOCIDADE MÉDIA EXERCÍCIOS DE CLASSE E CASA

01. Um automóvel passou pelo marco 33 km de uma estrada às 15 horas e 9 minutos. Posteriormente, passou pelo marco 114 km da mesma estrada às 16 horas e 39 minutos. Calcule a velocidade média do automóvel entre as passagens pelos dois marcos, em km/h e em m/s.

Resolução:

02. Uma partícula é lançada verticalmente para cima, a partir do solo. Atinge uma altura de 21,3 m e, em seguida, volta ao solo. O tempo gasto pela partícula desde o lançamento até voltar ao solo é 7,1 s. Determine:

Resolução:

a) a velocidade média da partícula durante os 7,1 s; b) a distância percorrida pela partícula durante os 7,1 s. 03. A equação horária de um movimento (função que fornece o espaço S em relação ao tempo t) é: S = 5 + 3t – 2t2 (S.I.) Determine a velocidade média da partícula nos intervalos de tempo: a) 0 a 1 s b) 1 s a 2 s c) 0 a 2 s

VM =

∆S 114 − 33 ⇒ = 54 km/h ou 15 m/s ∆t 1,5

∆S a) VM = = 0 m/s ∆t b) d = 42,6 m

Resolução: a) Para t = 0, S = 5 m Para t = 1 s, S = 6 m 6−5 = 1 m/s 1 b) Para t = 1 s, S = 6 m Para t = 2 s, S = 3 m 3 6 − VM = 2 1 = – 3 m/s − c) Para t = 0, S = 5 m Para t = 2 s, S = 3 m

VM =

VM =

04. Sejam A e B dois pontos de uma estrada retilínea e M o ponto médio de AB . Um automóvel percorre o trecho AM com velocidade média de 40 km/h e o trecho MB com velocidade média de 60 km/h. A

M

B

Determine a velocidade média do automóvel no trecho

3−5 = – 1 m/s 2

Resolução: ∆S1 = ∆S2 = x x = 40 . t1 x = 60 . t2 2x 2x 2x 2x(2400) 2400 = = = = x x 60x + 40x t1 + t 2 100x 50 + 40 60 2400 VM = 48 km/h VM =

AB .

FISSEM0199-R

1

2

FÍSICA

MECÂNICA EDUCACIONAL

01. Um atleta percorreu 11 250 m em 37 minutos e 30 segundos. Determine sua velocidade média em km/h.

Resolução:

02. Sejam A e B dois pontos de uma estrada retilínea (AB = 150 km) e M o ponto médio de AB .

Resolução:

A

M

S 11250m ∆ V = t ⇒ 2250s = 5 m/s . 3,6 = 18 km/h ∆

S 150 km ∆ V = t ⇒ 2,5 h = 60 km/h ∆

B

Um automóvel, saindo às 7 h de A, pára às 8 h num restaurante situado em M, onde o motorista gasta meia hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem, gastando mais uma hora para chegar a B. Determine a velocidade média do automóvel no trecho AB . 03. Um automóvel, com velocidade média de 80 km/h, passa pelo quilômetro 130 de uma rodovia às 8 h e 25 min. Em que horário o automóvel chegará à próxima cidade se ela está situada no quilômetro 190 da rodovia?

Resolução:

04. A figura dada representa o gráfico da função horária de um movimento.

05. A equação horária de um movimento é:

S (m)

S = – 2 + 8t

(S.I.)

Determine a velocidade média da partícula nos intervalos de tempo:

6 5

a) 0 a 2 s; b) 2 s a 4 s; c) 0 a 4 s.

4 3

Resolução:

2

S1 = −2 + 8(0) = −2 m ∆S 14 − (−2) ⇒V= = = 8 m/s a)  ∆t 2−0 S2 = −2 + 8(2) = 14 m

1 0

1

2

3

4

5

6

Determine, no intervalo de tempo (0, 5s): a) a velocidade média; b) a distância percorrida. Resolução: a) V =

190 − 130 ∆S ⇒ 80 = ∆t ∆t ∆t = 3/4 h ou 45 min. Então, 8h25min + 45 min = 9h10min

V=

3 ∆S ⇒ V = = 0,6 m/s 5 ∆t

0 a 3s ⇒ 5 m b)  ⇒d=5+2=7m 3 a 5s ⇒ 2 m

FISSEM0199-R

7

t (s)

S1 = −2 + 8(2) = 14 m ∆S 16 ⇒V= = = 8 m/s b)  ∆t 2 S2 = −2 + 8(4) = 30 m c) idem V = 8 m/s

MECÂNICA

FÍSICA

EDUCACIONAL

06. Sejam A e B dois pontos de uma estrada retilínea e P um ponto de AB . P

A

B

Um automóvel percorre, no mesmo tempo, os trechos: AP , com velocidade média de 40 km/h, e PB , com velocidade média de 60 km/h. Determine a velocidade média do automóvel no trecho AB .

Resolução: a  S a b 100 t V V1 = t ⇒ 40 t = a ∆ + t ⇒ V = ∆ ⇒ = 2 t = 2 t = 50 km/h  V = b ⇒ 60 t = b  2 t

MOVIMENTO UNIFORME EXERCÍCIOS DE CLASSE E CASA

01. Um trem de 200 m de comprimento move-se retilineamente com velocidade constante de 12 m/s. Quanto tempo este trem gasta para atravessar um túnel com 1 240 m de extensão?

Resolução:

02. Sobre uma reta movem-se dois pontos P1 e P2, com movimentos uniformes e sentidos indicados na figura. Eles passam simultaneamente pelos pontos A1 e A2, respectivamente, tais que A1A2 = 10 cm.

Resolução:

P1

A1

P2

10 cm

A2

Os valores absolutos das velocidades dos pontos P1 e P2 são, respectivamente: | V1 | = 2 cm/s e | V2 | = 3 cm/s. Determine:

S 1440 ∆ V = 12 = 120 s ∆t =

a) S1 = 2t S2 = 10 – 3t ⇒ S1 = S2 ∴ 10 – 3t = 2t 5t = 10 → t = 2 s b) P1 → 2 . 2 = 4 cm P2 → 3 . 2 = 6 cm c) S1 = 2 . 5 = 10 m S2 = 10 – 3 . 5 = – 5 m d = 15 m

a) o instante e a posição do encontro; b) as distâncias percorridas pelos dois pontos até o instante do encontro; c) a distância que separa os pontos 5 s após a passagem de P1 por A1. 01. Um trem composto por uma locomotiva e 9 vagões move-se com velocidade constante de 25 m/s. Sabendo que o comprimento de cada elemento da composição é 10 m, determine o tempo que o trem gasta para ultrapassar: a) um sinaleiro; b) uma ponte de 150 m de comprimento.

FISSEM0199-R

3

Resolução: a) V =

100 ∆S ⇒ 25 = t ∆t

b) V =

100 + 150 ∆S ⇒ 25 = t ∆t

∴t=4s

∴ t = 10 s

4

FÍSICA

MECÂNICA EDUCACIONAL

02. Sobre uma reta movem-se dois pontos P1 e P2, com movimentos uniformes e sentidos indicados na figura. Eles passam simultaneamente pelos pontos A1 e A2, respectivamente, tais que A1A2 = 10 cm. P2

P1

A1

10 cm

A2

Os valores absolutos de suas velocidades são:

| V1 | = 3 cm/s

e

| V2 | = 2 cm/s

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO EXERCÍCIOS DE CLASSE E CASA

01. Uma automóvel passou pelo quilômetro 72 de uma estrada, com velocidade de 60 km/h, às 13 horas. Posteriormente, passou pelo quilômetro 400, com velocidade de 70 km/h, às 17 horas. Calcule, no intervalo de tempo dado: a) a velocidade média do automóvel; b) a aceleração média do automóvel. Resolução:

Determine: a) o instante e a posição do encontro; b) as distâncias percorridas pelos dois pontos até o instante do encontro c) a distância que separa os pontos no instante t = 5 s. Resolução: a) S1 = S2 ⇒ 3 t = 10 + 2 t ⇒ t = 10 s ⇒ ⇒ S1 = 3 . 10 = 30 m em relação a An

02. Uma partícula parte do repouso e move-se retilineamente com aceleração constante igual a 5 m/s2. Determine, em km/h, a velocidade da partícula após 4 s.

b) ∆S1 = 3 . 10 = 30 cm ∆S2 = 2 . 10 = 20 cm

Resolução:

c) S1 = 3(5) = 15 cm S2 = 10 + 2(5) = 20 cm ⇒ ∆S = 5 cm

V = 5 . 4 = 20 m/s = 72 km/h

03. Sobre uma reta movem-se dois pontos P1 e P2, com movimentos uniformes e sentidos indicados na figura. Eles passam simultaneamente pelos pontos A1 e A2, respectivamente, tais que A1A2 = 15 m. P1

P2

A1

V1 + V2 70 + 60 = = 65 km/h 2 2 70 60 − 4 = 2,5 km/h2 b) aM =

a) VM =

03. Na figura abaixo, temos uma pequena esfera, lançada sobre uma mesa, do ponto O. A esfera foi lançada com velocidade de 10 cm/s e se moveu, retilineamente, até parar no ponto Q. Supondo que, durante o movimento, ela foi submetida a uma desaceleração constante de 2 cm/s2, determine: Q

A2

O

15 m

Os valores absolutos de suas velocidades são: |V1| = 3 m/s e | V2 | = 2 m/s. No instante em que P1 passa por A1, sai um inseto de P1 e se dirige a P2; chegando em P2, o inseto volta e se dirige a P1; chegando em P1, o inseto volta e se dirige a P2; e assim por diante, até ser esmagado quando P1 e P2 se chocam. Sabendo que o valor absoluto da velocidade do inseto, suposta constante, é Vi = 20 m/s, determine a distância percorrida pelo inseto até ser esmagado.

a) o tempo gasto pela esfera até parar; b) a distância entre os pontos O e Q. Resolução:

Resolução:

V = 0 ⇒ V = V0 + a . t ⇒ 0 = 10 – 2 t

Encontro dos pontos P1 e P2 ⇒ S1 = 3 t e S2 = 15 – 2 t 3t = 15 – 2t ⇒ t = 3 s S S 20 ∆ ∆ t 3 ⇒ = Logo: V = ∆ S = 60 m ∆

a) t = 5 s

FISSEM0199-R

b) VM =

V1 + V2 ∆S = 2 ∆t

10 + 0 ∆S = ⇒ ∆S = 25 cm 2 5

MECÂNICA

FÍSICA

EDUCACIONAL

04. Ao deparar com um farol vermelho, o motorista de um automóvel freia com uma desaceleração constante de 10 m/s2. Determine o espaço de frenagem do veículo sabendo que, quando o motorista iniciou a frenagem, a velocidade do automóvel era de 54 km/h.

01. A equação da velocidade de um movimento é V = t2 (S.I.). Determine a aceleração escalar média da partícula nos intervalos de tempo: a) 0 a 1 s; b) 0 a 2 s; c) 1 s a 2 s.

Resolução:  V = V0 + at  0 = 15 – 10 t   t = 1,5 s  V + V2 ∆S 15 + 0 ∆S = ⇒ = ⇒ ∆S = 11,25 m VM = 1 ∆t 2 2 1,5

V0 = 15 m/s V = 0 m/s a = – 10 m/s2

Resolução: a) V1 = (0)2 = 0 m/s V2 =

(1)2

= 1 m/s

b) V1 = (0)2 = 0 m/s V2 =

(2)2

= 4 m/s

c) V1 = (1)2 = 1 m/s V2 =

02. A figura dada abaixo representa o gráfico da velocidade do movimento de uma partícula. Determine a aceleração escalar média da partícula no intervalo de tempo (3 s, 5 s). V (m/s)

5

(2)2

= 4 m/s

⇒a=

∆V 1− 0 ⇒ = 1 m/s2 1− 0 ∆t

⇒a=

∆V 4−0 ⇒ = 2 m/s2 2−0 ∆t

⇒a=

∆V 4 −1 ⇒ = 3 m/s2 2 −1 ∆t

03. Uma partícula parte do repouso e move-se retilineamente com aceleração constante igual a 8 m/s2. Determine após 4 s: a) a velocidade da partícula; b) o espaço percorrido pela partícula. Resolução:

7

a) V = V0 + at ⇒ V = 0 + 8 . 4 = 32 m/s

6

b) V2 = V02 + 2 . a . ∆S ⇒ (32)2 = (0)2 + 2 . 8 . ∆S ⇒ ∆S = 64 m

5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

Resolução: ∆V −3 ⇒ = – 1,5 m/s2 a= 2 ∆t

5

6

7

8

t (s)

04. Ao se deparar com um farol vermelho, o motorista de um automóvel freia com uma desaceleração constante. Nesse instante, sua velocidade é igual a 20 m/s. Sabendo que o espaço de frenagem do veículo é 12,5 m, determine: a) a desaceleração do veículo; b) o tempo gasto pelo automóvel durante a frenagem. Resolução: a) V2 = V02 + 2 . a . ∆S 02 = (20)2 + 2 . a . 12,5 ⇒ a = – 16 m/s2 b) V = V0 + at 0 = 20 – 16 t t = 1,25 s

FISSEM0199-R

6

FÍSICA

MECÂNICA EDUCACIONAL

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO EXERCÍCIOS DE CLASSE E CASA

01. Uma partícula parte do repouso e move-se retilineamente com movimento uniformemente variado. Ao fim de um certo tempo t, a partícula percorreu 10 m e atingiu a velocidade de 10 m/s. Calcule o valor do tempo t.

Resolução:

02. A figura abaixo representa o gráfico da velocidade de uma partícula em movimento.

Resolução:

V (m/s)

VM =

a) a =

10

0

10 10 + 0 ∆S V1 + V2 = ⇒ = ⇒t = 2 s 2 2 ∆t ∆t

∆V −10 = = – 4 m/s2 ∆t 2,5

V = 10 – 4 t (S.I.)

2,5

t (s)

b) 0 < t < 2,5 progressivo  (S.I.) t > 2,5 acelerado   c) 0 < t < 2,5 retardado t > 2,5 acelerado

  (S.I.) 

a) Determine a equação da velocidade da partícula. b) Diga em que instantes o movimento é progressivo e em que instantes ele é retrógrado. c) Diga em que instantes o movimento é acelerado e em que instantes ele é retardado. 03. Um automóvel percorre uma estrada, suposta retilínea, com velocidade constante cujo módulo vale 100 km/h. Num determinado instante ele passa por um guarda e, nesse instante, o guarda aciona sua motocicleta e vai ao encalço do automóvel, com aceleração constante de módulo igual a 200 km/h2. Nestas condições, responda: a) Quanto tempo após a partida da motocicleta ela alcança o automóvel? b) Em que posição se dá o encontro? c) Qual a velocidade da motocicleta quando ela alcança o automóvel? d) Qual a distância que separa os dois veículos quando a motocicleta atinge a velocidade do automóvel? 01. Uma partícula é lançada com velocidade inicial igual a 16 m/s e move-se retilineamente com movimento uniformemente variado até parar. Calcule a velocidade média da partícula durante o movimento.

Resolução: a) SA = Smoto 200 . t 2 ⇒t=1h 2 b) Distante 100 km da origem.

100 . t =

c) VM = 200 . t ⇒ V = 200 km/h d) VM = VA ⇒ 200t = 100 ⇒ t = 1/2 h SA = 100 . 1/2 = 50 km/h SM = 25 km d = 50 – 25 = 25 km

Resolução: V(m/s) 16 ∆S 0

ou VM =

FISSEM0199-R

S ∆  t ∆S = área  VM = ∆   16 . x 8x  8x = S= t(s)  VM = x = 8 m/s 2 ∆ Ν

x

V + V0 0 + 16 ⇒ = 8 m/s 2 2

MECÂNICA

FÍSICA

EDUCACIONAL

02. Uma partícula é lançada verticalmente para cima, animada de movimento uniformemente variado. A partícula sobe, atinge uma altura máxima e, em seguida, desce. Responda às seguintes perguntas: a) Durante a subida, o movimento é progressivo retrógrado? b) Durante a descida, o movimento é progressivo retrógrado? c) Durante a subida, o movimento é acelerado retardado? d) Durante a descida, o movimento é acelerado retardado?

ou ou ou ou

Resolução:

MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO EXERCÍCIOS DE CLASSE E CASA

01. Atira-se um corpo verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial, em módulo, igual a 40 m/s. g = 10 m/s2 Calcule: a) b) c) d)

o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima; a altura máxima atingida pelo corpo; o tempo gasto pelo corpo para voltar ao solo; o módulo da velocidade com que o corpo volta ao solo.

Resolução: a) 0 = 40 – 10 t ⇒ t = 4 s

sinais iguais: acelerado sinais opostos: retardado

Pela definição: a e V

7

10 . 16 = 80 m 2 c) tsubida = tdescida = 4 s

b) ∆S = 160 –

a) depende do referencial b) depende do referencial

d) | v | = 40 m/s (idem ao de subida)

c) retardado d) acelerado

03. Um passageiro P corre com velocidade constante de 5 m/s para pegar um ônibus Q, parado no ponto. P Q

Quando a distância que os separava era de 6 m, o ônibus afastou-se com aceleração constante de 2 m/s2. Pergunta-se: a) Depois de quanto tempo após a partida do ônibus o passageiro conseguirá alcançá-lo? b) Qual o espaço percorrido pelo passageiro desde o instante da saída do ônibus até o instante em que o passageiro o alcança? Resolução:

b) Sp = 5 (2) Sp = 10 m

a) Quando e onde se efetuará o encontro dos dois? b) Quais as suas velocidades no instante do encontro? c) Admitindo-se que eles não se choquem, qual o intervalo de tempo entre suas chegadas ao solo? Resolução: a) ∆S1 = 80 – ∆S2 50 t – 5 t2 = 80 – (5t2) 50 t = 80 t = 1,6 s SA = 50 t – 5 .

(1,6)2

2 80 m

50 m/s 1

= 67,2 m em relação ao solo

b) V1 = 50 – 10 . 1,6 = 34 m/s V2 = 10 . 1,6 = 16 m/s É importante observar que são os módulos das velocidades.

Sp = 5 t   2 t2 So = 6 +  2 a) So = Sp ⇒ 6 +

02. Atira-se um corpo verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial, em módulo, igual a 50 m/s. Em um ponto situado na mesma vertical, a 80 m de altura, abandona-se outro móvel no mesmo instante. g = 10 m/s2 Pergunta-se:

t2

=5t⇒

t2

–5t+6=0

t=2s t=3s

2h 2 . 80 = =4s g 10 V 50 =5s corpo 1: tsubida = 0 = g 10

c) corpo 2: tq =

tdescida = 5 s Intervalo ⇒ o 1º corpo chega ao solo 6 s após o 2º corpo

FISSEM0199-R

8

FÍSICA

MECÂNICA EDUCACIONAL

01. Do alto de uma torre atira-se um corpo verticalmente para cima com velocidade inicial, em módulo, igual a 20 m/s. Adotando g = 10 m/s2 e sabendo que a altura da torre é 25 m, calcule: a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima; b) a altura máxima, contada a partir do alto da torre, atingida pelo corpo; c) o tempo gasto pelo corpo para chegar ao solo; d) o módulo da velocidade com que o corpo chega ao solo. 02. Do alto de uma torre atira-se um corpo verticalmente para baixo com velocidade inicial, em módulo, igual a 20 m/s. Adotando g = 10 m/s2 e sabendo que a altura da torre é 25 m, calcule: a) o tempo gasto pelo corpo para chegar ao solo; b) o módulo da velocidade com que o corpo chega ao solo. 03. Calcule a razão entre as distâncias percorridas por dois corpos abandonados em queda livre, sabendo-se que a duração da queda do primeiro é o dobro da duração da queda do segundo.

Resolução: a) V = V0 – gt ⇒ 0 = 20 – 10 tS ⇒ tS = 2 s b) V2 = V02 – 2 . g . ∆h ⇒ 02 = (20)2 – 2 . 10 . ∆h ⇒ ∆h = 20 m 10 t 2 ⇒t=3s 2 Porém, 2 segundos para subir ∴ t = 2 + 3 = 5 s

c) 45 =

d) V = V0 + at ⇒ V = 10 . 3 ⇒ V = 30 m/s Resolução: g t2 ⇒ 25 = 20 t + 5 t2 ⇒ t2 + 4 t – 5 = 0 ⇒ 2 t = 1 s e t = – 5 s (não convém)

a) ∆h = V0t +

b) V = V0 + gt ⇒ V = 20 + 10 . 1 ⇒ V = 30 m/s

Resolução:  gt 2 corpo 1: h1 = 1  2  g t 22  corpo 2 : h 2 = 2 Logo:

com t1 = 2t 2

gt12 2 t  h1 h gt 2 2 = 2 ⇒ 1 = 1 . = 1  h 2 gt 2 2 h2 2 gt 2 2  t 2  2 2

h1  2t / 2  h1 = =4  ⇒ h2  t / 2  h2

GRÁFICOS DA CINEMÁTICA EXERCÍCIOS DE CLASSE E CASA

01. O diagrama da velocidade do movimento de um ponto material é dado pela figura seguinte. Dizer em quais instantes o movimento é:

c) t > 18 (S.I.)

progressivo; retrógrado; acelerado; retardado.

d) 0 < t < 10 e 15 < t < 18

0

FISSEM0199-R

a) 0 < t < 18 (S.I.) b) t > 18 (S.I.)

V (m/s)

a) b) c) d)

Resolução:

18 10

15

t (s)

(S.I.)

MECÂNICA

FÍSICA

EDUCACIONAL

02. O gráfico da velocidade de uma partícula é dado na figura abaixo. V (m/s)

Resolução:

α (m/s2)

a) 2

2

1

5

3

t(s)

–1

0

1

3

5

t (s)

b)

a) Desenhe o gráfico da aceleração (α x t). b) Supondo que S0 = 0, desenhe o gráfico do espaço (S x t).

S(m) 7 5

1 3

1

01. O diagrama horário do movimento de um ponto material é dado pela figura seguinte: S (m)

t(s)

5

Resolução: V (m/s)

a) 1

10 0

15

t (s)

25

–2

10 b)

0

15

10

25

α (m/s2)

t (s)

t (s) 10

15

25

Desenhe os diagramas da velocidade e da aceleração.

02. O gráfico da velocidade de uma partícula é dado na figura seguinte. V (m/s)

Resolução: α (m/s2) 3 a)

6 0

2

4

t (s)

–3

b) 0

2

4

a) Desenhe o gráfico α x t. b) Supondo que S0 = 0, desenhe o gráfico S x t. FISSEM0199-R

t (s)

12

S (m)

6 0

2

4

t (s)

9

10

FÍSICA

Anota Ções:

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MECÂNICA EDUCACIONAL