0-bukumatematikakeuangan.pdf

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/326414065

0-Buku Matematika Keuangan Book · July 2018

CITATIONS

READS

0

1,703

1 author: Herispon Herispon Sekolah Tinggi Ilmu Ekonomi Riau, Pekanbaru 32 PUBLICATIONS   2 CITATIONS    SEE PROFILE

Some of the authors of this publication are also working on these related projects:

Causes of Micro, Small and Medium Enterprises Do Not Have Financial Reports (Case in Pekanbaru City, Indonesia) View project

All content following this page was uploaded by Herispon Herispon on 16 July 2018. The user has requested enhancement of the downloaded file.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 2

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 3

BAB I PENDAHULUAN

Perkembangan ilmu pengetahuan yang semakin maju saat ini, semakin terlihat bahwa antara bahwa antara satu disiplin ilmu dengan ilmu lainnya saling berkaitan baik dengan ilmu sosial, tehnologi, eksakta, yang saling ketergantungan, saling mengisi, saling melengkapi dalam perkembangannya. Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu yang mandiri mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang lain, sehingga matematika berguna sebagai alat bantu dalam pemecahan aneka problem. Matematika keuangan yang berguna sebagai alat bantu pemecahan berbagai persoalan dalam masalah keuangan, baik dalam perusahaan-perusahaan, asuransi, dan perbankan. Namun sesuai dengan peran matematika sebagai alat bantu dalam pembahasannya nanti tidaklah dilakukan pembahasan dalil-dalil / konsep-konsep secara mendetail, melainkan hanya pembahasan dalil-dalil/ konsep-konsep dari berbagai masalah keuangan secara singkat dan gamblang. Singkatnya pendekatan matematis yang digunakan dalam memecahkan berbagai persoalan keuangan dan perusahaan memberikan beberapa keuntungan yaitu : 1. Bahasa yang dipergunakan lebih ringkas dan tepat. 2. Kaya akan dalil-dalil matematis sehingga mempermudah pemecahannya. 3. Mendorong kita untuk menyatakan asumsi-asumsi secara jelas sebagai suatu prasyarat untuk mempergunakan dalil-dalil matematis, agar terhindar dari asumsi-asumsi yang tidak diinginkan. 4. Memungkinkan kita untuk mempergunakan sebanyak n variabel. Secara keseluruhan kita dapat menyamakan pendekatan matematis sebagai suatu “model transportasi” yang dapat membawa kita dari sekumpulan dalil (titik asal) ke sekumpulan kesimpulan (tujuan) dalam waktu singkat. Secara umum mengatakan kepada kita bahwa “bila anda bermaksud pergi kesuatu tempat sejauh 5 km, anda akan lebih senang untuk memilih naik kenderaan (naik mobil) dari pada berjalan kaki, kecuali jika anda memiliki banyak waktu atau ingin berolah raga” (Apha C. Chiang, 1989 : 4 ). Dalam perkembangannya seperti yang dijelaskan diatas bahwa matematika telah masuk keberbagai aspek ilmu, kalau dulu kita mengenal matematika telah terbayang akan perhitungan aljabar, aritmetika, dan geometirka namun sekarang aplikasi matematika telah berkembang lebih luas lagi seperti ; dalam bidang ekonomi dikenal dengan matematika ekonomi atau matematika bisnis, dalam bidang keuangan dikenal dengan matematika keuangan, dan terdapat juga kombinasi ilmu matematika dengan ekonomi, statistik yang dikenal dengan ekonomitrik. Dalam matematika dikenal adanya 1) operasi bilangan yang mencakup ; bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan nyata dalam bentuk desimal, bilangan irrasional dalam bentuk desimal, bilangan rasional mempunyai akhir, desimal bilangan rasional berulang. 2) sifat medan bilangan nyata. 3) sifat urutan bilangan nyata, dan lainnya.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 4

1. Operasi Bilangan. Bilangan sangat erat hubungannya dengan berhitung, atau bilangan merupakan unsur yang penting dalam berhitung, sedang berhitung merupakan cabang matematika. Dalam kehidupan sehari-hari bilangan berperan sebagai alat komunikasi dalam bidang atau kegiatan ekonomi dan kegiatan keuangan. Sistem bilangan nyata (real) membahas unsur bilangan, struktur bilangan, dan sifat-sifat bilangan. Bilangan-bilangan nyata seluruhnya kita perlukan, tetapi dalam matematika yang dipergunakan tidak hanya bilangan-bilangan nyata, sebenarnya alasan untuk istilah nyata adalah karena ada juga bilangan khayal (imajiner) yang berhubungan dengan akar kuadrat bilangan negatif. a. Bilangan Asli. Disebut bilangan asli karena pertambahannya secara alami dan dipergunakan dalam proses menghitung, seperti : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, 1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1, … sehinga dalam matematika disederhanakan akan menjadi ; 1,2,3,4,5,6,...,. Kemudian penjumlahan dua bilangan asli selalu memberikan bilangan asli yang baru, dan penjumlahannya selalu memberikan hasil. Misal : 5 ditambah 7 sama dengan 12. Sebaliknya pada operasi pengurangan tidak dapat dilakukan setiap saat. Misal : 5 dikurang 7 karena disebelah kiri 5 hanya terdapat 4 bilangan. Jika pengurangan tidak selalu mungkin, maka disebelah kiri dari bilangan asli diletakan bilangan baru yang disebut bilangan bulat/asli negatif, sehingga pengurangan akan selalu mungkin. Lihat pola berikut : 3

bilangan asli positif

2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -2 Bilangan asli negatif Sisi kiri

-3 Sisi kanan

b. Bilangan Bulat. Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan asli positid dan bilangan asli negatif. Misal ( -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ).

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 5

c. Bilangan Rasional. Bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan. Bilangan rasional juga dapat dinyatakan sebagai hasil antara bilangan bulat dengan bilangan asli. 2 1 Contoh : bilangan rasional : - , -1, 0, 2, ., kemudian dapat dilihat contoh dari 3 5 bilangan rasional dalam desimal berulang seperti : 0,121212, 0,135135. Dan juga bilangan rasional dalam desimal berakhir seperti : 0,25, 3,75, 2,95. d. Bilangan Irrasional Adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang dan desimal berakhir. Contoh : 7 , 3 2 , log 4, 2 + log 2,  ,  , dan sebagainya. e. Bilangan Nyata (real) Bilangan nyata adalah semua bilangan yang ada baik bilangan rasional maupun 1 bilangan irrasional, contoh : 3, 2 - log 3, 7 , 4 - 7 , 0 , -3, , dan sebagainya. 5 Dengan demikian dari operasional-operasinal bilangan yang telah diuraikan diatas maka dapat dilihat polannya dalam struktur bilangan sebagai berikut : Bilangan Nyata

Bil. Rasional

Bil. Pecahan

Bil. Irrasional

Bilangan Bulat

Negatif

Nol

Asli

Prima

Komposit

Sumber : N. Nababan ( 2004 : 3 ) Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 6

2. Bilangan Nyata Dalam Bentuk Desimal Setiap bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk desimal yaitu dengan cara pembilang dibagi dengan penyebut, sehingga diperoleh suatu bilangan desimal. 1 3 5 Misal : = 0,25 = 0,75 = 1,6666 4 4 3 3 1 2 = 0,375 = 0,333 = 0,400 8 3 5 a. Bilangan Irrasional Dalam Bentuk Desimal  = 3,1428., 17 = 4,123105, Misal :

2 = 1,4142,

3 = 1,73205

b. Desimal Bilangan Rasional Mempunyai Akhir 3 7 1 Misal : = 0,25 = 0,75 = 0,77 4 4 9 c. Desimal Bilangan Rasional Berulang 191 Misal : = 1,929292 99

123 = 0,123123123 999

3. Sifat Medan Bilangan Nyata. Setiap bilangan nyata a, b, dan c harus memenuhi syarat atau sifat-sifat sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5.

Hukum Komutatif : a + b = b + a, ab = ba Hukum Asosiatif : (a+b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc) Hukum Distributif : a (b+c) = ab + ac, (a+b) c = ac + ab Ada elemen identitas 0 dan 1 yang memenuhi a+0 = a, a . 1 = a Ada elemen balikan (invers) –a dan a-1 yang memenuhi a+ (-a) = 0 dan a.a-1 =1

4. Sifat Urutan Bilangan Nyata Setiap bilangan nyata a, b, dan c dapat diurutkan sebagai berikut : 1. Trikotomi, Yaitu a = b, a < b. 2. Ketransitifikasi 3. Penambahan 4. Penggandaan

antara bilangan nyata dan pasti berlaku salah satu diantara a > b, : a < b dan b < c, maka a < c : a < b menjadi a + c < b + c : a < b menjadi ac < bc atau c > 0 a < b menjadi ac > bc atau c < 0

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 7

5. Ratio Ratio dari dua besaran dinyatakan dengan unit yang sama sebagai hasil baginya. Misal : Ratio 15 terhadap 105 = 15/105 = 1/7 = 1 : 7 136 terhadap 16 = 17/2 = 17 : 2 1.500.000 terhadap 500.000 = 1.500.000 / 500.000 = 3/1 = 3 : 1 Laba bersih = Rp 9.165.200 Total Assets = Rp 68.739.000 Ratio = 9.165.200 / 68.739.000 = 1 : 7,5 6. Penyusutan Penyusutan adalah hilangnya nilai akhir dari aktiva tetap selama dipakai. Biaya yang dikeluarkan untuk ini disebut beban penyusutan (akumulasi depresiasi). Metoda dalam penyusutan ini ada beberapa metode yang dapat digunakan salah satunya adalah straigth line method. Contoh : Mesin dengan harga perolehan Rp. 2.000.000, umur ekonomis 6 tahun, dengan nilai sisa Rp 500.000. Tentukan penyusutan rata-rata tahunan, dan skedul penyusutan yang menunjukkan nilai buku. Jawab : Total nilai penyusutan = harga perolehan - nilai sisa = 2.000.000 - 500.000 = 1.500.000 Penyusutan rata-rata tahunan = 1.500.000 / 6 = 250.000

Umur

Beban Penyusutan

Jml Biaya Penyusutan

Nilai buku

0 1 2 3 4 5 6

0 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000

0 250.000 500.000 750.000 1.000.000 1.250.000 1.500.000

2.000.000 1.750.000 1.500.000 1.250.000 1.000.000 750.000 500.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 8

7. Persen Bentuk dari persen dinyatakan dengan simbol % yang berarti perseratus 25 1 1 Misal : = 0,25 = 25 % 0,0525 = 5 % 4 100 4 1 1 = 0,50 = 50 % = 0,125 = 12,5 % 2 8 11 = 2,75 = 275 % 3 = 3,00 = 300 % 4 9 3 = 1,125 = 112,5 % 75 % = 0,75 = 8 % = 0,08 8 4 8. Potongan Harga Potongan harga adalah pengurangan dari harga tertulis dalam faktur (biasanya dalam %) dari harga bruto. Misal : Harga bruto dari sebuah mesin adalah Rp 350.000,-. Dan potongan harga yang diberikan adalah 40 %. Berapakah harga neto faktur ? Jawab : Potongan = 350.000 (0,40) = 140.000 Harga neto = 350.000 - 140.000 = 210.000 9. Harga Eceran Adalah harga yang berlaku pada penjualan akhir terhadap konsumen. Latihan dan Penyelesaian 1.

+7 + (+5) = + (7+5) = +12

2.

+ 13 + (-5) = + (13 – 5 ) = + 8 dan + 4 + (- 18 ) = - (18 – 4 ) = - 14

3.

14 - ( -6 ) = 14 + 6 = 20 dan - 8 – (-9) = -8 + 9 = 1 - 8 – 7 = - 8 + (-7) = -15 3 (2) = 2+2+2 = 6 = 3+3 = 2(3)

4.

7 + (-3) + 2 – (-4) 5 – (-2) + 0 – 4 7 (-2) (5) 6 (-3) (4) (-2) 12 + ( -4) - 20 – ( + 5)

Herispon, SE. M.Si

dan -6 + (-9) = - (6+9) = -15

= 7 -3 + 2 + 4 = 10 =5+2–4 =3 = - ( 7 . 2. 5 ) = - 70 = + ( 6.3.4.2 ) = 144 = 12 - 4 = 8 = - ( 20 – 5 ) = - 15

Matematika Keuangan -- 2007 | 9

5.

( 5 – 4 ) + ( 6 + 3 ) – 10

= 1 + 9 – 10 = 0

6.

 10 ( 6 – 7 ) + 3,5  20

= 10 (-1) + 3,5 = 20 = ( -10 + 3,5 ) 20 = - 6,5 x 20 = - 130

7.

 2 3  6 11        7 5  5 13 

 2 x5  3x7  6 x13  11x5  =   5 x13  7 x5    10  21  78  55   31  133  =        35  65   55  65  31x133 4123   1,8123 = 35 x65 2275

8. Seorang Rentenir meminjam uang dari Bank sebesar Rp 2.000.000,- dengan bunga 2 % per bulan, kemudian uang itu dibungakan lagi kepada orang lain dengan bunga 5 % per bulan. Berapakah keuntungan setelah satu tahun ?. Jawab : Jumlah uang yang kembali ke Bank = Rp 2.000.000 + 24/100 x 2.000.000 = 2.000.000 + 480.000 = Rp 2.480.000 Jumlah uang yang diterima rentenir = Rp 2.000.000 + 60/100 x 2.000.000 = 2.000.000 + 1.200.000 = Rp 3.200.000 Keuntungan yang diperoleh rentenir =Rp 3.200.000 - Rp 2.480.000 = Rp 720.000

Latihan : Sederhanakanlah soal berikut. 1 1. (6–3)+2(5– ) 2 3.  2 + 3  3 + 4.

2. 2

2  4  6  10 10  5  3



Apakah masing-masing soal dibawah ini benar atau salah 2 2 a. – 2 < 4 e. < 7 8 1 1 1 b. > f. 2 < 2 4 2 c. – 4 > -6 g. 100 < 101 1 1 d. < 100 101

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 10

5.

Ubahlah bilangan nyata berikut menjadi desimal 11 a. d.  2 - 3 2 20  20 b. e. 7  6 - 2  35 11,5 1 c. f. 40 ( 6  3) 2

6.

Ubahlah bilangan rasional berikut menjadi desimal a.

111 112

b.

279 33

c.

2356 7068

7.

Tuliskan setiap bentuk berikut ini dalam persen a. 0,05 e. 0,76375 i. 1/5 b. 0,08 f. 0,54545 j. 1/6 c. 0,055 g. 0,1257 k. 5/8 d. 0,082 h. 2,3784 l. 7/8

8.

Tuliskan bentuk persen berikut kedalam desimal a. 4 % e. 0,5 % i. 87 ½ % b. 10 % f. 0,75 % j. 127,5 % c. 62 % g. 1/4 % k. 0,8 % d. 85 % h. 3/8 % l. 0,25 %

------------------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 11

BAB II EKSPONEN DAN LOGARITMA

1. Pengertian 1. Perpangkatan (eksponen) Suatu bilangan yang dapat dipergunakan untuk menyingkat bilangan yang besar atau panjang, terutama untuk bilangan puluhan. 2. Pengakaran Suatu bilangan yang dilakukan untuk mengetahui variabel atau bilangan tertentu yang telah diketahui nilai pangkatnya. 3. Logaritma Suatu bilangan yang digunakan untuk mencari pangkat suatu bilangan tertentu yang nilai bilangan itu telah diketahui. Perhitungan matematika terhadap hubungan ketiga unsur ini (perpangkatan, pengakaran, dan logaritma) sangat erat dan terdapat keterikatan. Dengan demikian perhitungan perpangkatan suatu variabel atau bilangan dapat diselesaikan dengan bantuan pemakaian kaidah-kaidah pengakaran atau logaritma, begitupun sebaliknya perhitungan pengakaran suatu bilangan dapat diselesaikan dengan bantuan perpangkatan atau logaritma (Albari , 2003 : 15-19). Ad.1. Kaidah / Sifat Perpangkatan. Bentuk umumnya adalah am = x artinya bahwa apabila suatu bilangan ( a ) dikalikan dengan bilangan yang sama sampai beberapa kali ( m ), maka akan diperoleh hasil operasi sejumlah bilangan tertentu ( x ). Jadi a disebut bilangan pokok / basis m disebut bilangan pangkat /eksponen x disebut bilangan hasil perpangkatan / radikan Adapun kaidah-kaidah perpangkatan sebagai berikut : yang berkaitan dengan, 1).

Bilangan khusus. a. a1 = a b. om = o

Herispon, SE. M.Si

contoh :

21 = 2 02 = 0

51 = 5 04 = 0

Matematika Keuangan -- 2007 | 12

2).

Operasi perkalian a. am. an = am+n b. (am)n = amn c. (ab)m = am bm

3).

Operasi pembagian 1/bm = b-m (a/b)m = am / bm am / an = am-n

4).

Contoh : 23 22 = 23+2 (23)2 =23.2 (2.3)2 = 22 . 32

= 25 = 32 =26 = 64 = 4.9 = 36

contoh : 1/8 = 1/23 = 2-3 (2/3)2 = 22 / 32 = 22 . 3-2 32 / 35 = 32-5 = 3-3

= 1/33

Operasi pangkat berpangkat n

am

= a k contoh 4 3

2

=49

= 262.144

ad.2. Kaidah Pengakaran. Bentuk umum suatu pengakaran adalah m x = a. Dapat diduga bahwa pengakaran adalah bentuk lain dari perpangkatan. Radikan atau akar dari suatu bilangan ( x ) tidak lain adalah basis ( a ) yang sesuai atau memenuhi bilangan tersebut. Berkenaan dengan pengakar atau pangkat akarnya ( m ), dengan demikian apabila pada perpangkatan yang dicari adalah x nya, maka pada pengakaran yang dicari adalah a nya. Adapun kaidah dari pengakaran yang berkaitan dengan : 1) Pembagian 1

m

a

=am

m

an

=am

m

a/b

=

1

contoh :

3

5 = 53

n

2) Perkalian m a.b = m

n

a

=

m

2

3

a /

m mn

a .

a

m

b

m

b

contoh :

52

=53

6 8

=

24 = 2

3

1 3 3 = 2 4

4.6 = 12 =

2.3

6 =2 6

4 . 6

12 = 12

Pengoperasian kaidah-kaidah pengakaran tersebut dapat dilakukan bersama sama dengan operasi perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan. Operasi perkalian dan pembagian dalam bentuk akar mensyaratkan adanya bilangan pengakar (pangkat akar) yang sama. Sedangkan pada operasi penjumlahan dan pengurangan disamping syarat diatas juga perlu adanya kesamaan bilangan yang diakar.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 13

Contoh : operasi perkalian. 3

3

3

3

3

3

3 3

2 . 4 = 2.4 = 8 = 2 = 2 = 2 5 2 . 2 6 = 5.2 2 . 6 = 10 12 Contoh : operasi pembagian 1 5 2 5 /4 3 = dan 3 16 / 2 3

3

4 =

3

42 /

3

4 =

3

4

Contoh : operasi penjumlahan 2 + 2 =2 2 5 125 + 3 5 = 5 52 .5 + 3 5 = 5.5 5 + 3 5 = (25+3) 5 = 28 5 Contoh : operasi pengurangan

3  3 81 =

3

3

3 -

3

32.3 =

3

3 - 3 3 = (1-3) 3 3

160 = 3 4.10 - 16.10 = 3 22.10 = (6-4) 10 = 2 10 .

3 40 -

= -2 3 3

42.10 = 3.2 10 - 4 10

Ad.3. Kaidah / Sifat Logaritma Logaritama merupakan proses kebalikan dari perpangkatan dan atau pengakaran. Bentuk umum logaritma adalah a log x = m dapat dijelaskan. Perpangakatan Pengakaran Logaritma m a m a =x log x = m x =a Penjelasan. 1) m sebagai hasil logaritma Adalah pangkat dari basis dalam perpangkatan atau pengakar (pangkat) dari akar dalam perpangkatan. 2) x merupakan bilangan logaritma Adalah hasil pangkat dalam perpangkatan atau radikan dalam pengakaran 3) a hasil pengakaran Adalah sebagai basis dalam perpangkatan dan logaritma Contoh : a

log x = m 2 log 8 = 3

a. b. c. Jika d. Jika

3

log 81 = 4 log x = 5 a log 64 = 2 4

Herispon, SE. M.Si

am = x 23 = 8

m

x =a 8 =2 karena atau 4 4 81 = 3 3 = 81 maka 45 = x sehingga x = 1024 maka a2 = 64 sehingga a = 64 = 8 3

Matematika Keuangan -- 2007 | 14

2. Jenis-Jenis Logaritma. 1. Logaritma Biasa ( common logarithm) Karena ditemukan oleh Herry Briggs (1561-1630), maka disebut Logaritma Briggs yaitu bentuk logaritma yang mempunyai basis bilangan 10. Logaritma ini sering ditulis tanpa mencantumkan bilangan 10 tersebut, sehingga notasinya menjadi log x , yang setara dengan 10 log x , log 50 = 10 log 50, 10 log 15 = log 15 saja. 2. Logaritma Alam ( natutral logarithm ) Karena ditemukan oleh John Napier (1550 – 1617), maka disebut Logaritma napier, yaitu bentuk logaritma yang mempunyai basis bilangan alam 2,718281 yang sering disingkat dengan 2,72 atau e saja. Logaritma ini sering ditulis dengan ln ( baca : loun ), sehingga notasinya menjadi ln x yang mempunyai arti sama seperti e log x , ln 20 menjadi e log 20 atau e log 30 menjadi ln 30 saja. 3. Logaritma Umum Yaitu bentuk logaritma yang mempunyai basis bilangan selain bilangan 10 dan bilangan alam, tetapi lazimnya berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu ( a > 0 dan a  1 ). Notasi matematisnya sesuai dengan bentuk umumnya adalah 3 log 15 , 1,5 log 30 dan seterusnya. Adapun kaidah-kaidah logaritma yang berkaitan dengan : 1) Bilangan khusus a. a log a = 1 karena a1 = a contoh : 3 log 2 = 1 10 log 10 = 1 b. a log 1 = 0 karena a0 = 0 Contoh : 2 log 1 = 1 10 log 1 = 0 2) Perpangkatan a. m log am = m karena am = am Contoh : 2 log 23 = 310 log 102 = 2 b. a log bm = m. a log b Contoh : 2 log 83 = 3 . 2 log 8 = 3.2 log 23 = 3.3.2 log 2 = 3.3 = 9 c. a a log x = x 3

Contoh : 2 2 log 8 = 2 2 log 2 = 2 3 2

2

log 2

= 23

=8

9

9 9 log 81 = 9 9 log 9 = 9 2 log 9 = 92 = 81 3) Perubahan bentuk a log x = n log x : n log a Contoh : 2 log 5 = 10 log 5 : 10 log 2 = log 5 : log 2 = 0,6990 : 0,3010 = 2,3223. 3 log 11 = log 11 : log 3 = 1,0414 : 0,4771 = 2,1828 4) Operasi penjumlahan a log x + a log y = alog xy Contoh : 2log 4 + 2log 6 = 2log 4.6 = 2log 24 log 2 + log 5 = log 2 . 5 = log 10 =1

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 15

5) Operasi pengurangan a log x - alog y = alog x / y Contoh : 2log 10 - 2log 5 = 2log 10 / 5 = 2log 2 = 1 3 log 15 - 3log 3 = 3log 15 / 3 = 3log 5 6) Operasi perkalian a log x . xlog a = 1 Contoh : 2log 3 . 3log 2 = (log 3 : log 2)(log 2 : log 3) = 1 a log x . xlog 2 = a log 2 Contoh : 2 log 3 . 3 log 5 = (log 3 : log 2)(log 5 : log 3) = log 5 : log 2 = 2 log 5 3 log 9 . 9 log 27 = ( 3 log 9 ) ( 3 log 27 : 3 log 9 ) = 3 log 29 = 3 log 33 = 3. Contoh eksponen : a.a = a2 a.a.a.a = a4 2.2.2 = 23 = 8 3.3.3.3 .3 = 35 = 243 2.2.2.2.3.3.3 = 24 . 33 = 432 2.2.2.2.5.5.5 = 24 .53 = 2000 9.9.9.9 = 81.81 = (81)2 = 94

1 = 25/25 = 25-5 = 20 2-5 = 1/25 = 1/32 1/3-4 = 34 = 81 95 / 9-3 = 95 . 93 = 98

Operasi logaritama Logaritma dengan basis a, dari suatu bilangan positif x dapat ditulis log a x atau a logx adalah suatu pangkat  dimana : a  = x. Contoh : log 2 32 = 5 sebab 25 = 32 Log 5 125 = 3 sebab 53 = 125 Dalam penggunaan, kita akan mengambil basisnya 10 dan menuliskan dengan log X saja untuk menggantikan log 10 X. Menurut definisi : Log 1000 = 3 sebab 10 3 = 1000 Log 100 = 2 sebab 102 = 100 1 Log 10 = 1 sebab 10 = 10 Log 1 = 0 sebab 100 = 1 -1 Log 0,1 = -1 sebab 10 = 0,1 Log 0,01 = -2 sebab 10-2 = 0,01 Contoh : diberikan log 2 = 0,30130 log 3 = 0,477121 maka : log 6 = log 2 .3 = log 2 + log 3 0,778151 = 0,301031 + 0,477121 Log 60 = log 6.10 = log 6 + log 10 1,778151 = 0,778151 + 1,00000 Log 600 = log 6. 102 = log 6 + log 102 2,77815 = 0,778151 + 2,00000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 16

Latihan dan Penyelesaian. 1. Hitunglah a = 1000a = 5000 Jawab. Dengan melogaritmakan kedua ruas maka : Log 1000 a = log 5000 a log 1000 = log 5000 a log 10 3 = log 5. 10 3 a.3 = log 5 + log 10 3 a.3 = 0,6990 + 3 0,6990  3 a = 3 a = 1,2330 2. Hitunglah x, jika x = 3 log 4 Jawab. x = log 4 : log 3 = 0,6021 : 0,4771 = 1,2620 3. Tentukan nilai x, jika 5 x-2 = 625 Jawab. Dengan melogaritmakan kedua sisi persamaan, maka : Log 5 x-2 = log 625 (x – 2) log 5 = log 625 x - 2 = log 625 : log 5 x – 2 = 2,7959 : 0,6990 x–2 = 4 x = 6 Bukti : 5 6-2 = 5 4 = 625 4. Carilah x untuk log ( 4 x + 150 ) = 2,7404 Jawab : Dengan meng antilog kan masing-masing sisi, maka : 4 x + 150 = 550 4x = 400 x = 100 5. Sederhanakanlah. 3 125 = (125) 1/3 4

1296

= (1296) ¼

Herispon, SE. M.Si

= ( 5 3 )1/3

= 5 3.1/3

= 51 = 5

= (6 4) ¼

= 6 4. ¼

= 6

Matematika Keuangan -- 2007 | 17

Latihan 1. Ubahlah bentuk-bentuk selesaikanlah. a. 32 . 33 : 34 b. ( 23 : 52 ) ( 2/5 )-3 c. 56 : 57 : 53

berikut kedalam bentuk yang lebih sederhana dan d. ( 42 )3 : (1/4)-6 e. ( 42 . 52 : 102) f. ( 2.3 )5 : ( 32 . 33)

2. Sederhanakan dan selesaikan bentuk berikut ini a. ( 52/3)9/2 d. ( 4 x 3 125 ) ( 5 . b. 61/5 . 64/5 . 62/5

e. ( 2

c. ( 9 ) ( 43

f.

64 )

4

4 )

80 : 4 5 ) – 2

94/6 – 62/6

3. Ubahlah nilai-nilai berikut kedalam bentuk logaritma a. 4 625 c. 1024 : 43/2 b. 34 d. 63 . 64 . 6-5 4. Hitunglah logaritma dari a. 2584 c. 75,96 b. 350,36 d. 1,0258 5. Tentukan anti log ( log N ) dari a. log N = 0,361917 c. log N = 1,788695 b. log N = 2,856684 d. log N = 3,856934

----------------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 18

BAB III BANJAR DAN DERET

1. Pengertian Dalam ilmu berhitung sering dijumpai hasil yang menunjukkan barisan angkaangka dengan pola tertentu. Barisan tersebut ada yang mempunyai pola perubahan yang teratur dan dapat dirumuskan dalam rumus matematika. Ada juga pola perubahan yang tidak teratur, sehingga tidak / belum dapat dinyatakan dalam suatu rumus matematika. Barisan yang demikian dinyatakan sebagai suatu banjar. Banjar adalah sebagai suatu fungsi dengan wilayah (domain) himpunan bilangan asli, yang terdiri dari suku-suku berurut, dan mempunyai pola perubahan tertentu antar suku-sukunya. Deret adalah jumlah dari suku-suku berurut tersebut. Apabila bilangan asli merupakan bilangan satu, dua, tiga, dan seterusnya serta nilai suku-suku dari bilangan asli banjar dinyatakan sebagai “a” maka suatu banjar dapat digambarkan sebagai berikut : Banjar : a1 a2 a3 a4 a5 ,…, an Deret : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ,…, an Berdasarkan pada bentuk umum tersebut banjar dan deret dapat dibedakan menurut : 1) Banyaknya suku-suku yang menyusunnya 2) Pola perubahan antar suku-sukunya Menurut banyaknya suku-suku yang menyusunnya, maka banjar dibedakan menjadi bentuk sebagai berikut : 1) Banjar berhingga Yaitu banjar yang banyaknya suku-suku sudah tertentu atau dibatasi banyaknya, seperti contoh berikut : a1 a2 a3 a4 a5 ,…, an 2) Banjar tak berhingga Yaitu banjar yang banyak suku-sukunya tidak tertentu atau tidak dibatasi banyaknya seperti contoh : a1 a2 a3 a4 a5 ,…, an, …. Menurut pola perubahan antar suku – sukunya, maka banjar dapat dibedakan menjadi : 1) Banjar hitung (aritmatik) Contoh : 1, 2, 3, 4, 5, atau 1, 3, 5, 7 2) Banjar ukur (geometrik) Contoh : 1, 4, 8, 10, 18 3) Banjar harmonis Contoh : 1, 1/3, 1/5, 1/7 Yang akan diuraikan disini adalah banjar hitung (aritmatik) dan banjar ukur (geometrik), sedangkan banjar harmonis tidak dibahas.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 19

ad. 1. Banjar dan Deret Hitung Banjar hitung atau banjar aritmatik adalah banjar yang mempunyai selisih (beda) yang selalu sama antara suku – suku yang berurutan. Sedangkan deret hitung adalah jumlah dari nilai suku – suku banjar hitung tersebut. Secara matematika definisi tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut : Suku : 1 , 2 , 3 , 4 ,…, n Banjar hitung : a + (1-1) b, a + (2-1) b, a + (3-1) b, a + (4-1) b, … , a + (n-1)b Menjadi : a , a+b , a + 2b , a + 3b , … , a + (n-1)b Dengan demikian nilai suku tertentu ( ke n ) dari banjar hitung dapat diketahui dengan menggunakan rumus : Sn = a + ( n – 1) b Dimana : a = nilai suku pertama b = selisih (beda) antar suku berurut n = urutan suku Sn = nilai suku ke n Dari definisi deret hitung dan rumus suku ke n tersebut, maka dapat diperoleh rumus deret sampai suku ke n sebagai berikut : Misalkan: deret sampai suku ke 2, maka : D2 = S1 + S2 = a + (a+b) = 2a + b atau 2 = 2a + ( 2-1 ) b, tahap ini hanya modifikasi bentuk saja, karena jika 2 Disederhanakan kembali hasilnya tetap 2a + b. Jika 2 = n, maka n 2na n  (n  1)b D2 = na + (n-1) b = 2 2 2 n =  2 a + ( n-1 ) b  jadi untuk memperoleh nilai sampai suku 2 ke n disebut deret hitung dengan rumus : Dn

=

n  2 a + ( n-1 ) b  2

Apabila dari unsur ( 2a ) dijabarkan kembali menjadi ( a + a ), sedangkan terdapat Sn = a + ( n-1 ) b, sehingga rumus deret tersebut diatas dapat dimodifikasi menjadi : Dn

=

n ( a + Sn ) 2

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 20

Contoh : Apabila dari suatu banjar hitung diketahui bahwa suku pertama adalah 1000, dan suku kelima 920, maka tentukan besarnya : a. Selisih banjar hitung b. Urutan suku dan deretnya, jika nilai pada suku tersebut adalah 100 c. Bentuk banjar sampai suku ke 5. Jawab. a. Dari a = 1000 dan S5 = 920 maka : Sn = a + (n–1)b 920 = 1000 ( 5 -1 ) b -80 = 4b b = -20 Sehingga pola banjar hitungnya adalah Sn = 1000 + ( n – 1 ) ( -20 ) b. Dari rumus Sn diatas maka : 100 = 1000 + ( n-1 ) (-20) -900 = -20 n + 20 -920 = -20n n = 46 Sehingga deret sampai suku ke 46 adalah : n Dn = ( a + Sn ) 2 46 D46 = ( 1000 + 100 ) 2 = 23 ( 1100) D46 = 25300 c. Bentuk banjar sampai suku ke 5 adalah : Suku : 1, 2, 3, 4, 5 Nilai : 1000, 980, 960, 940, 920

ad. 2. Banjar dan Deret Ukur. Adalah banjar yang mempunyai nilai pengganda atau perbandingan (ratio) antara suku yang berurutan yang selalu sama (tetap). Dengan demikian deret ukur adalah jumlah nilai dari suku-suku banjar ukur tersebut. Dalam notasi matematikanya adalah : Suku : 1 , 2 , 3 ,…, n 1-1 2-1 Banjar ukur : a. r , a . r , a . r3-1, … , a . rn-1 Menjadi : a , a.r , a.r2 , … , a . rn-1 Sehingga nilai pada suku tertentu (ke n) dari suatu banjar ukur dapat diperoleh dengan menggunakan rumus : Sn

= a . rn-1

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 21

Dimana :

a = nilai suku pertama banjar uku r = pengganda (ratio) antara suku berurutan n = urutan suku Sn = nilai suku ke n Dari definisi deret ukur dan rumus Sn tersebut diatas, maka dapat ditentukan nilai deret ukur sampai dengan suku ke n sebagai berikut; Misalkan ditetapkan pencarian deret sampai suku ke 2, maka : D2 = a + ar rD2 = a r + a r2 D2 – rD2 = a - a r2 (1-r) D2 = a ( 1 – r2) D2 = a ( 1 – r2) 1–r Jika 2 = n, maka rumus deret ukur menjadi : = a ( 1 – rn ) rumus ini digunakan apabila /r/ < 1 syarat 1 1–r Apabila proses pencarian rumus deret dibalik, yaitu D2 ditetapkan sebagai pengurang dari rD2, maka hasil eliminasi persamaannya bisa diubah menjadi : rD2 - D2 = ar2 – a, sehingga rumus deret ukur dapat berubah menjadi : Dn

= a ( rn - 1) rumus ini digunakan apabila /r/ > 1 syarat 2 r–1 Tapi dalam praktek kedua macam syarat tersebut sering diabaikan, karena hasil akhir perhitungan dapat diperoleh sama. Selanjutnya melalui manipulasi matematis, maka dengan dasar dua rumus deret dan nilai suku ke n diatas dapat dilakukan modifikasi rumusan sebagai berikut : Dn

Dn

= ( a - rSn ) 1–r

Dn

= ( rSn - a) r–1

Contoh : Dari suatu banjar ukur : 1, 2, 4, … , Sn akan dibuktikan apakah benar : a=1, r=2, D3=7. Jawab, Apabila digunakan data S2 dan S3, maka : Pada S2 2 = a r 2-1 = a r a = 2/r Pada S3 4 = a r3-1 = a r2 sehingga : 4 = (2/r) r2 4 = 2r r =2 Untuk a = 2/r, maka : a = 2/2, a = 1

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 22

Adapun deret ukur sampai dengan suku ke 3 dapat dihitung sebagai berikut : Rumus : 1 Dn

= a ( rn - 1 ) r-1

D3 = 1 ( 23 – 1 ) 2-1

= 7/1

D3 = 7

= a ( 1 - rn ) 1- r

D3 = 1 ( 1 - 23 ) 1-2

= -7/-1

D3 = 7

= ( rSn - a ) r-1

D3 = 2 (4) – 1 ) 2-1

= 7/1

D3 = 7

= ( a - rSn ) 1-r

D3 = 1 - 2 (4) 1–2

= -7/-1

D3 = 7

Rumus : 2 Dn Rumus : 3 Dn Rumus : 4 Dn

Contoh : Apabila dari suatu banjar diketahui bahwa suku pertamanya adalah 2, sedangkan suku keempat adalah 54, maka tentukanlah : a. Pengganda dari banjar ukur tersebut b. Urutan suku dan deretnya, jika nilai pada suku tersebut adalah 486 c. Buatlah banjarnya sampai suku ke 6 Jawab. a. Dari a = 2 dan S4 = 54 maka : 54 = 2 r4-1

27 = r3

33 = r3

r =3

b. Pada Sn = 486 maka : 486 = 2.3n-1 243 = 3n-1 35 = 3n-1 n - 1 = 5 n=6 Atau dengan menggunakan sifat logaritma sebagai berikut : 486 = 2.3n-1 243 = 3n-1 Log 243 = (n-1) log 3 2,3856 = ( n-1) 0,4771 2,3856 / 0,4771 = n - 1 5 = n–1 n = 6 Sehingga deret ukurnya sampai suku ke 6 tersebut adalah : D6 = 3 ( 486 ) - 2 = 1458 - 2 = 728 3 -1 2 c. Suku-suku dari banjar ukur sampai dengan suku ke 6 adalah : 2, 6, 18, 54, 162, 486 = 2, 6, 18, 54, 162, 486

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 23

2. Penerapan dalam Ekonomi dan Keuangan Soal dan pembahasan. . 1. Produksi barang X pada bulan pertama dari PT. Maju adalah sebesar 500 unit. Dengan adanya penambahan modal kerja dari setiap laba penjualan yang ditahan, maka jumlah tenaga kerja dan pembelian bahan baku dapat ditingkatkan, sehingga pada bulan-bulan selanjutnya jumlah produksi selalu bertambah sebanyak 100 unit. Berapa jumlah produksi pada akhir tahun pertama. Berapa jumlah produksi sampai dengan akhir tahun pertama Jawab. Jika a = 500, b = 100, n = 12 Sn S12

= = = =

Dn

=

D12 Atau D12

a + (n–1)b 500 + ( 12 – 1 ) 100 500 + 1100 1600 (jumlah produksi pada akhir tahun pertama)

n ( a + Sn ) 2 = 12/2 ( 500 + 1600) = 6 ( 2100 ) = 12600 (jumlah produksi sampai dengan tahun pertama)

=

n 2a  (n  1)b  2

D12

= 12/2  2 (500) + (12-1) 100 = 6 (1000 + 1100) = 12600

2. Pada akhir tahun 2006 jumlah penduduk kota Pekanbaru diketahui berjumlah 875.000 jiwa, dimana tingkat pertumbuhan (rate of growth) penduduk kota Pekanbaru setiap tahun diperkirakan 3,4 % pertahun. Berapa jumlah penduduk kota Pekanbaru pada tahun 2011 ?. Jawab. (1  r n ) Jn = a , bila jumlah penduduk saat ini = a = 875.000 jiwa 1 r Tingkat pertumbuhan = r = 3,4 %, n = 5 tahun

(1  0,034 5 ) 1  0,034

= 875.000

Jn

= 905.797,06 jika dibulatkan menjadi 905.800 jiwa.

Herispon, SE. M.Si

= 875.000

1  0,000000045 0,966

Jn

Matematika Keuangan -- 2007 | 24

3. CV. Kita membukukan penerimaan dari penjualan barang produksinya pada tahun ketiga sebesar Rp 600.000.000,-. Sedangkan pada tahun ke 7 adalah Rp 1.200.000.000. Apabila penerimaan penjualan selalu bertambah dengan jumlah yang sama dari suatu tahun ke tahun berikutnya, maka hitunglah : a. Tambahan penerimaan setiap tahunnya. b. Berapakah penerimaan pada tahun pertama c. Kapan dapat diperoleh penerimaan sebanyak Rp 1.650.000.000,-. Jawab. a. Tambahan penerimaan setiap tahun. Sn = a + (n–1)b Maka : S3 = 600 a + ( 3-1 )b = 600 a + 2 b = 600 S7 = 1.200 a + ( 7-1 )b = 1.200 a + 6 b = 1.200 - 4 b = -600 b = 150 Jadi tambahan penerimaan setiap tahun adalah Rp 150.000.000. b. Besar penerimaan pada tahun pertama Pada S3 = 600 , maka : a + 2 (150 ) = 600 a + 300 = 600 a = 600 – 300 a = 300 Jadi besar penerimaan pada tahun pertama adalah Rp 300.000.000,-. c. Pada Sn = 1.650 juta dan

Sn = a + ( n-1 ) b maka : 1.650 = 300 + ( n-1 ) 150 1.650 = 300 + 150n – 150 1.500 = 150n n = 1500 / 150 n = 10 Jadi angka penerimaan Rp 1.650.000.000,-.akan tercapai pada tahun ke 10.

4. Tuan A bermaksud meminjam uang disuatu bank sebesar Rp 2.000.000. Apabila dana tersebut dapat diangsur setiap bulan sebanyak 20 kali, dengan ditambah pembayaran bunga atas sisa pinjaman sebesar 1,5 % perbulan. Berapa jumlah bunga yang harus dibayar Tuan A. Jawab. Angsuran pinjaman setiap bulan = 2.000.000 : 20 = 100.00 Pembayaran bunga pada bulan pertama = 1,5 % x 2.000.000 = 30.000 Pembayaran bunga pada bulan kedua = 1,5 % x (2.000.000 – 100.000) = 28.500 Penurunan pembayaran bunga perbulan = 30.000 - 28.500 = 1.500

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 25

Maka jumlah bunga adalah : n Dn = 2a  (n  1)b  2

D12

= 20/2  2 (30.000) + (20-1) - 1.500

= 10 (60.000 – 28.500) = Rp 315.000 Jadi jumlah bunga yang harus dibayar Tuan A sampai dengan lunasnya pinjaman sebanyak Rp 315.000,-. 5. Suatu perusahaan menghasilkan barang A dan barang B. Pada tahun keempat produksi barang A sebanyak 4000 unit, sedangkan pada tahun ke 8 sebanyak 6000 unit. Untuk barang B produksi tahun ke 2 adalah sebesar 2500 unit dan 5500 unit pada tahun ke 5. Dari data tersebut tentukanlah pada tahun berapa produksi barang A akan sama banyak dengan produksi barang B diperusahaan tersebut. Jawab. Sn = a + ( n – 1 ) b S4 4000 = a + ( 4 -1 ) b S8 6000 = a + ( 8 –1) b S4

4000 6000 - 2000 b

= a + 3b = a + 7b = - 4b = 500

4000 4000 a

= a + 3 ( 500 ) = a + 1500 = 4000 - 1500 = 2500 Jadi pada barang A : Sn = 2500 + ( n – 1 ) 500 Barang B S2 2500 = a + ( 2 -1 ) b S8 5500 = a + ( 5 –1) b S2

2500 5500 - 3000 b

= a + b = a + 4b = - 3b = 1000

2500 2500 a

= a + ( 1000 ) = a + 1000 = 2500 - 1000 = 1500 Jadi pada barang B : Sn = 1500 + ( n – 1 ) 1000 Barang A = Barang B 2500 + ( n – 1 ) 500 2500 + 500n - 500 2000 - 500 1500 n n

Herispon, SE. M.Si

= = = = = =

Sn A = S n B 1500 + ( n – 1 ) 1000 1500 + 1000n - 1000 1000n - 500 n 500 n 1500 / 500 3

Matematika Keuangan -- 2007 | 26

Pada barang A : S3 = 2500 + (3 – 1) 500 = 3500 Pada barang B : S3 = 1500 + (3 – 1) 1000 = 3500 Jadi produksi barang A dan barang B akan sama besarnya adalah pada tahun ke 3 yaitu pada produksi 3500 unit.

Latihan. 1. Penduduk Propinsi Riau saat ini adalah sebanyak 4.000.000,- jiwa, dan diperkirakan setiap tahun akan mengalami pertumbuhan (rate of growth) sebesar 3,0 % berapa jumlah penduduk Propinsi Riau pada 5 tahun mendatang ?. 2. Seorang rentenir meminjam uang dari Bank sebesar Rp 3.000.000,- dengan bunga 2 % perbulan atau 24 % pertahun, untuk masa pinjam selama 5 tahun. Kemudian rentenir itu meminjamkan seluruhnya uang itu kepada si A dengan bunga 2,5 % perbulan. Dari data tersebut : a. Tentukan besarnya pengembalian kepada Bank b. Tentukan besarnya penerimaan rentenir dan berapa keuntungan yang diperolehnya. 3. Seorang pengusaha akan membeli sebidang tanah. Ada dua calon lokasi tanah. Lokasi I harganya Rp 100 juta dengan luas 1 ha, lokasi II harganya Rp 200 juta dengan luas 1 ha. Harga jual lokasi I bertambah 20 % pertahun, sedangkan harga jual lokasi II bertambah 40 % pertahun setelah 5 tahun. Lokasi mana yang paling menguntungkan ?. 4. Pada tahun ke 3 barang yang diproduksi PT. Imam sebanyak 4000 unit, sedangkan jumlah produksinya sampai dengan tahun ke 6 sebanyak 21.000 unit. Dari data tersebut tentukanlah berapa produksi pada tahun pertama ? dan kapan perusahaan tidak berproduksi lagi ?. Jawab. 1.

Jn

= a

(1  r n ) 1 r

, bila jumlah penduduk saat ini = a = 4.000.000 jiwa Tingkat pertumbuhan = r = 3,0 %, n = 5 tahun

(1  0,035 ) 1  0,03

Jn

= 4.000.000

Jn

= 4.123.711,24 jiwa.

Herispon, SE. M.Si

= 4.000.000

1  0,000000024 0,97

Matematika Keuangan -- 2007 | 27

2.

a. Besarnya pengembalian ke Bank = Rp 3.000.000 + 24/100 x Rp 3.000.000 x 5 = Rp 6.600.000 b. Penerimaan Rentenir = Rp 3.000.000 + 30/100 x Rp 3.000.000 x 5 = Rp 7.500.000 Keuntungan yang diperoleh rentenir = Rp 7.500.000 - Rp 6.600.000 = Rp 900.000,-

3.

Lokasi I harga Rp 100 juta luas 1 ha Harga jual bertambah 20 % pertahun, dan setelah 5 tahun harganya akan menjadi sebesar = Rp 100.000.000 + 20/100 x Rp 100.000.000 x 5 = Rp 100.000.000 + Rp 100.000.000 = Rp 200.000.000,Jika setelah 10 tahun ; = Rp 100.000.000 + 20/100 x Rp 100.000.000 x 10 = Rp 100.000.000 + Rp 200.000.000 = Rp 300.000.000,Lokasi II harga Rp 200 juta luas 1 ha Harga jual bertambah 40 % setelah 5 tahun ; Berarti dari tahun ke 1 sampai tahun ke 5 harganya = Rp 200.000.000,Jika dari 5 tahun sampai 10 tahun harga jualnya ; = Rp 200.000.000 + 40/100 x Rp 200.000.000 x 5 = Rp 200.000.000 + Rp 400.000.000 = Rp 600.000.000,-

4.

= 4000

Sn 4000 4000 a

D6 = Dn

= 21.000

Dn = n/2 2a + ( n-1) b 21.000 = 6/2 2a + ( 6-1) b 21.000 = 3 2a + 5 b 21.000 = 6a + 15 b

Substitusi S3 ke D6

Herispon, SE. M.Si

= = = =

a + (n–1)b a + (3–1)b a + 2b 4000 - 2b

Sn = S3

21.000 = 21.000 = -3000 = b =

6 (4000 – 2b) + 15 b 24.000 -12b + 15 b 3b -1000 (penurunan produksi pertahun)

Matematika Keuangan -- 2007 | 28

Pada S3

:

a = 4000 - 2 b

Sehingga : Sn = 6000 + Pada Sn = 0, maka : 0 0 1000 n n n

4000 4000 4000 a

= = = =

a + 2b a + 2 ( -1000) a – 2000 6000 (produksi tahun ke 1)

(n-1) (-1000) = 6000 + (n-1) (-1000) = 6000 - 1000 n + 1000 = 7000 = 7000 / 1000 = 7

Jadi produksi barang PT. Imam pada tahun pertama adalah sebanyak 6000 unit, dengan penurunan produski pertahun sebanyak 1.000 unit sehingga pada akhir tahun ke tujuh tidak beroperasi lagi. Dapat dilihat pola : Tahun 1 = 6000 Tahun 2 = 5000 Tahun 3 = 4000 Tahun 4 = 3000 Tahun 5 = 2000 Tahun 6 = 1000 Tahun 7 = 0

-------------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 29

BAB IV BUNGA DAN NILAI UANG

1. Pengertian Banyak hal yang berhubungan dengan perhitungan bunga dan nilai uang. Perhitungan bunga menyangkut dengan bunga pinjaman dari sumber dana yang berasal dari luas usaha seperti ; Bank konvensional, lembaga keuangan lainnya, ataupun perorangan. Demikian pula dengan perhitungan nilai uang, baik dalam bentuk nilai sekarang (present value) atau dalam bentuk nilai masa datang (future value), yang pada umumnya tingkat bunga digunakan sebagai indikator. Seseorang akan bersedia mengorbankan uangnya pada saat ini bila tingkat bunga diperhitungkan sebagai kompensasi disebut juga „time value of money”, dapat dijelaskan bahwa yang mempunyai nilai adalah uang atau uang mempunyai nilai dari waktu kewaktu, tapi harus diingat bahwa nilai uang tersebut dari waktu kewaktu tidaklah sama, maka timbullah kompensasi atas nilai uang yang dapat disebut bunga. Contoh : Rp 1.000 pada tanggal 1 Januari menjadi Rp 1.200 pada tanggal 1 Februari, ini berarti telah diberikan kompensasi sebesar Rp 1200 – Rp 1000 = Rp 200/Rp1000 = 0,2 atau 20 %. Pada umumnya setiap orang lebih menghargai nilai uang Rp 1.000 saat ini bila dibandingkan Rp 1.000 satu tahun kemudian, keadaan ini akan diakui dan berlaku pada seseorang maupun masyarakat secara keseluruhan, disebut juga “time preference”. 2. Perhitungan Bunga. Dalam sistem perbankan konvensional bunga dapat merupakan biaya dana (cost of fund) atau biaya modal (cost of capital). Besar kecil jumlah bunga yang merupakan beban terhadap peminjam (debitur) sangat tergantung pada waktu, jumlah pinjaman, dan tingkat bunga yang berlaku. Dalam matematies of finance dikenal 3 bentuk perhitungan bunga yaitu : 1. Bunga Tunggal ( simple interest ) 2. Bunga Majemuk (compound interest ) 3. Anuitas (anuity) Dalam pembahasan selanjutnya, yang akan dibahas pada bab ini adalah perhitungan bunga tunggal dan perhitungan bunga majemuk, sedangkan anuity dibahas tersendiri pada bab berikutnya.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 30

2.1. Bunga Tunggal (Simple Interest) a. Pengertian bunga. 1. Bunga adalah uang yang dibayarkan untuk penggunaan uang pinjaman atau tambahan uang bila modal diinvestasikan. 2. Bunga merupakan biaya modal, besar kecilnya jumlah bunga yang merupakan beban terhadap peminjam (debitur) sangat tergantung pada jumlah pinjaman, dan besaran bunga yang berlaku. Besaran tingkat bunga ini ditetapkan dalam bentuk persentase ( % ) atau dalam bentuk desimal (0,00). Contoh : a. Si A meminjam Rp 500.000 dari si B dengan suatu perjanjian bahwa pada akhir bulan ke enam si A membayar pada si B sebesar pokok pinjaman Rp 500.000 dan ditambah Rp 12.500. Jumlah yang Rp 12.500 ini dikatakan bunga. b. Si C membeli obligasi 10 tahun senilai Rp 1.000.000 dari PT. XYZ. Obligasi tersebut : i) dibayar kembali setelah 10 tahun sebanyak Rp 1.000.000, ii) dibayar dengan jumlah yang sama dengan Rp 15.000 tiap tiga bulan selama 10 tahun, setara dengan 40 kali pembayaran. Dan pembayaran Rp 15.000 pertiga bulan dikatakan bunga. Dalam perhitungan bunga ini waktu yang digunakan tergantung kepada pemakainya, misalnya waktu 1 tahun dihitung selama 365 hari atau 366 hari, atau waktu 1 tahun dihitung selama 360 hari ini adalah untuk mempermudah dalam penggunaannya karena dapat dipakai dalam penentuan waktu 1 bulan yaitu 360 dibagi 12 bulan = 30 hari. b. Perhitungan Bunga Tunggal. Jika hanya pokok pinjaman yang berbunga selama masa transaksi, bunga yang harus dibayar pada akhir jatuh tempo dikatakan bunga tunggal. Atau besar kecilnya jumlah bunga yang diterima oleh kreditur/pemberi pinjaman tergantung pada besar kecilnya modal (principal), bunga (interest rate), dan jangka waktu. Perhitungan bunga tunggal dapat ditulis dalam rumus : B = M p t Dimana :

B = bunga M = Modal /pokok p = bunga (interest rate) t = waktu / periode Dan jumlah akumulasinya diberikan oleh : S = M + B = M + p t = M ( 1 + p t ), dimana S adalah nilai akumulasi dari M.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 31

Contoh : Tentukan bunga tunggal dari Rp 750, untuk 4 % dalam waktu ½ tahun. Dan berapakah nilan akumulasinya ? Jawab. B = M pt Nilai akumulasi = 750 (0,04) (6/12) S = M + B = Rp 15 = 750 + 15 = Rp 765 c. Bunga Tunggal Sebenarnya dan Bunga Tunggal Pendekatan. Perhitungan pada bunga tunggal dapat juga berdasarkan pada periode waktu dalam 1 tahun, yang dapat dibedakan yaitu : a. Bunga tunggal sebenarnya. Bunga tunggal sebenarnya dihitung dengan menganggap bahwa satu tahun sesuai dengan hari kalender yakni 365 hari. b. Bunga tunggal pendekatan. Bunga tunggal pendekatan dihitung dengan dasar bahwa satu tahun itu dihitung sebanyak 360 hari. Contoh : Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan bunga tunggal pendekatan dari Rp 2.000 untuk 50 hari dengan bunga 5 %. Jawab. B = Mpt = 2.000 ( 0,05 ) ( 50/365) = Rp 13,70 (BT sebenarnya) B

= Mpt = 2.000 (0,05) 50/360)

= Rp 13,89 (BT pendekatan)

d. Waktu Sebenarnya dan Waktu Pendekatan. Jika pada perhitungan bunga tunggal sebenarnya dan bunga tunggal pendekatan waktu dalam satu tahun yang diukur, sedangkan pada waktu sebenarnya dan waktu pendekatan yang dihitung adalah jumlah hari dalam satu bulan yang sebenarnya atau pendekatannya yang diukur, yaitu : a. Waktu sebenarnya. Adalah waktu atau hari yang dihitung menurut hari yang sebenarnya dari seluruh jumlah hari dalam kalender. b. Waktu pendekatan. Adalah waktu atau hari dengan menganggap bahwa tiap bulan terdiri dari 30 hari. Contoh : Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari 20 Juni 2006 sampai 24 Agustus 2006.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 32

Jawab. Waktu sebenarnya

Juni Juli Agustus

= = = =

10 hari 31 hari 24 hari 65 hari

Waktu pendekatan

Juni Juli Agustus

= = = =

10 hari 30 hari 24 hari 64 hari

Contoh : Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan bunga tunggal pendekatan dari Rp 2.000 untuk 6 % dari tanggal 20 April 2006 sampai tanggal 1 Juli 2006 dengan menggunakan ; a) waktu sebenarnya, b) waktu pendekatan. Jawab. Waktu sebenarnya April = 10 hari Waktu pendekatan April = 10 hari Mei = 31 hari Mei = 30 hari Juni = 30 hari Juni = 30 hari Juli = 1 hari Juli = 1 hari = 72 hari = 71 hari -

-

-

-

Bunga tunggal sebenarnya pada waktu sebenarnya B = M p t = Rp 2.000 (0,06) (72/365) = Rp 23,67 Bunga tunggal sebenarnya pada waktu pendekatan B = M p t = Rp 2.000 (0,06) (71/365) = Rp 23,34 Bunga tunggal pendekatan pada waktu sebenarnya B = M p t = Rp 2.000 (0,06) (72/360) = Rp 24 Bunga tunggal pendekatan pada waktu pendekatan B = M p t = Rp 2.000 (0,06) (71/360) = Rp 23,66

3. Nilai Tunai dari Hutang Nilai tunai dari hutang yang dibayarkan pada hari jatuh tempo dikatakan sebagai nilai tunai dari hutang. Seperti yang digambarkan oleh rumus berikut : Dari S = M (1+pt) S Didapatkan M = yang merupakan nilai tunai dari S 1  pt dalam t tahun dengan bunga tunggal sebesar p.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 33

Contoh : Tentukan nilai tunai untuk bunga tunggal 6 % dari Rp 1500 dalam waktu 9 bulan. Jawab. S = 1500, p = 0,06 t = 9/12 = ¾ Maka : S = M (1 + pt) 1500 = M  1 + (0,06) (9/12) 1500 = M ( 1,045) M = 1500 / 1,045 = Rp 1.435, 41 Perhitungan bunga tunggal dapat juga dengan menggunakan rumus sebagai berikut : B = f ( P. i. n ) Dimana : B = bunga P = Modal/principal i = interest rate (tingkat bunga) n = jangka waktu (periode) Contoh : Apabila jumlah pinjaman sebesar Rp 5.000.000 dengan tingkat bunga 18 % pertahun. Untuk menentukan jumlah bunga selama 3 tahun, 2 bulan, 40 hari. Selesaikan dan tentukan bunga pada masing-masing waktu tersebut. Jawab. Bunga selama 3 tahun Bunga untuk 2 bulan B = f ( P. i. n ) B = f ( P. i. n ) = Rp 5.000.000 x 18/100 x 3 = Rp 5.000.000 x 18/100 x 2/12 = Rp 2.700.000 = Rp 150.000 Bunga untuk 40 hari B = f ( P. i. n ) = Rp 5.000.000 x 18/100 x 40/360 = Rp 100.000 Selanjutnya dari perhitungan bunga tunggal ini dapat juga dihitung berapa principal/modal, menentukan tingkat bunga (interest rate), menentukan jangka waktu/periode sebagai berikut : B a. Untuk menentukan principal/modal : P = i.n B b. Untuk menentukan interest rate : i = P.n B c. Untuk jangka waktu : n = P.i

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 34

d. Menentukan total penerimaan e. Menentukan bunga (Rp) f. Menentukan penerimaan Dimana S = jumlah penerimaan.

: S = P + B atau S = P + (P.i.n) : B = S - P : P = S - B

Contoh : Hitunglah nilai-nilai yang tidak diketahui dalam tabel berikut : No 1 2 3

Principal 6.000.000 ? 7.000.000

Interest rate 18 % 10 % ?

Periode 2 tahun ? 50 hari

Bunga (Rp) ? 250.000 ?

Penerimaan ? 5.250.000 7.145.033

Jawab. 1.

B = P. i. n S = P + B

2.

P = S–B B n = P.i

3.

B = 6.000.000 x 18/100 x 2 S = 6.000.000 + 2.160.000 P = 5.250.000 - 250.000 250 .000 n = = 0,5 x 12 5.000 .000 x0,1

B = 7.145.033 - 7.000.000 145.033 i = 50 7.000.000 x 360 sehingga tabel akan terisi sebagai berikut : No 1 2 3

B = S - P B i = P.n

Principal 6.000.000 5.000.000 7.000.000

Interest rate 18 % 10 % 15

Periode 2 tahun 6 bulan 50 hari

= Rp 2.160.000 = Rp 8.160.000

= Rp 5.000.000 = 6 bulan = Rp 145.033 = 0,15 = 15 %

Bunga (Rp) 2.160.000 250.000 145.033

Penerimaan 8.160.000 5.250.000 7.145.033

Soal dan penyelesaian 1. Tentukan bunga tunggal dari sejumlah Rp 1.000 a. 4 ½ % untuk 1 tahun b.5 ¼ % untuk 2 tahun c. 3 ½ % untuk ½ tahun d.6 % untuk 8 bulan e. 4 % untuk 15 bulan f. 5 % untuk 10 bulan

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 35

Jawab. a. B

= Mpt = 1.000 (0,045)(1) = Rp 45

S

= M + B = 1.000 + 45 = Rp 1.045

b. B

= Mpt = 1.000 (0,0525)(2) = Rp 105

S

= M + B = 1.000 + 105 = Rp 1.105

c. B

= Mpt = 1.000 (0,035)(6/12) = Rp 17,5

S

= M + B = 1.000 + 17,5 = Rp 1.017,5

d. B

= Mpt = 1.000 (0,06)(8/12) = Rp 40

S

= M + B = 1.000 + 40 = Rp 1.040

e. B

= Mpt = 1.000 (0,04)(15/12) = Rp 50

S

= M + B = 1.000 + 50 = Rp 1.050

f. B

= Mpt = 1.000 (0,05)(10/12) = Rp 41,67

S

= M + B = 1.000 + 41,67 = Rp 1.041,67

2. Tentukan tingkat bunga tunggal dari : a. Rp 2.000 dalam satu tahun menjadi 2.110 b. Rp 720 menjadi Rp 744 dalam 10 bulan Jawab. a. M = 2.000 , S = 2110 , B = S - M , B = 2.110 – 2.000 = 110, t = 1 tahun B = M pt 110 = 2.000 ( p ) ( 1 ) 110 = 2.000 p P = 110/2000 = 0,055 = 5½% b. M = 720, S = 744 , B = S - M , B = 744 - 720 = 24, t = 10 bulan B = M pt 24 = 720 ( p ) ( 10/12 ) 24 = 600 p P = 24/600 = 0,04 = 4 %

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 36

3. Si A membeli sebuah radio seharga Rp 79.950. Ia membayar sebesar Rp 19.950 sebagai uang muka dan setuju membayar sisanya ditambah beban tambahan Rp 2.000 dalam 3 bulan. Berapakah % bunga tunggal yang dibayar ? Jawab. Dengan anggapan bahwa si A membayar Rp 2.000 bunga untuk Rp 79.950 – 19.950 = Rp 60.000 untuk 3 bulan diperoleh. Demikian M = 60.000, B = 2.000 , t = 3 bulan B = Mpt 2.000 = 60.000 ( p ) ( 3/12 ) 2.000 = 15.000 p p = 2.000/15.000 = 0,13333 = 13,33 % 4. Dalam waktu berapakah Rp 2.000 menjadi Rp 2125 dengan bunga tunggal 5 % Jawab. S = 2.125 , M = 2.000 , B = S – M B = 2.125 – 2.000 = 125 p = 5 % B 125 125 T

= = = =

M p t 2.000 (0,05) t 100 t 125/100 = 1,25 adalah 1 ¼ tahun = 1 tahun 3 bulan

5. Berapakah waktu yang dibutuhkan agar uang menjadi dua kali bila bunga tunggal sebesar 5 %. Jawab. Anggap M = 1 , S = 2 , B = S - M , B = 2 – 1 = 1 B = M p t 1 = ( 1 ) (0,05) t 1 = 1/0,05 = 20 tahun 6. Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari 25 Januari 2006 sampai 15 Mei 2006. Jawab. Waktu sebenarnya Waktu pendekatan Januari = 6 Januari = 6 Pebruari = 28 Pebruari = 28 Maret = 31 Maret = 30 April = 30 April = 30 Mei = 15 Mei = 15 = 110 = 109 7. Bandingkan bunga sebenarnya dan bunga pendekatan (biasa) dari Rp 2.500 untuk 5 % dari 15 April 2006 sampai 25 Juli 2006 dengan waktu sebenarnya atau waktu pendekatan.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 37

Jawab. Bunga sebenarnya dengan waktu sebenarnya B = Mpt = 2.500 (0,05) (101/365) = Rp 34,59 Bunga pendekatan dengan waktu pendekatan B = M p t = 2.500 (0,05) (100/360) = Rp 34,72 8. Untuk tiap nota berikut, tentukan tanggal jatuh tempo dan nilai akhirnya.: Nilai awal Tanggal Tempo Bunga % a Rp 2.500 1 Maret 4 bulan 6% b Rp 3.000 15 Juni 150 hari 4% Jawab. a. Jatuh tempo adalah tanggal 1 Juli Nilai akhir S = M (1 + pt) B = S - M S = 2.500 ( 1 + 0,06 (4/12) = 2550 – 2500 S = 2.500 ( 1,02) = Rp 50 S = Rp 2.550 b. Jatuh tempo adalah tanggal 12 Nopember Nilai akhir S = M (1 + pt) B = S - M S = 3.000 ( 1 + 0,06 (150/365) = 3.074 – 3.000 S = 3.000 ( 1,0246) = Rp 74 S = Rp 3.074 9. Berapa jumlah yang diinvestasikan hari ini dengan bunga 5 % akan menjadi Rp 1.000.000 dalam 8 bulan ? Jawab. S = 1.000.000 , p = 0,05 , t = 8 bulan Dengan mengadakan penyesuaian pada rumus : S 1.000.000 S = M ( 1 + p t ) menjadi M = = = Rp 968.054,21 8 1  pt 1  (0,05)( ) 12 10. Promes nominal Rp 3.000 selama 10 bulan dengan bunga 6 % dibuat hari ini. Tentukan nilainya setelah 4 bulan sejak hari ini jika uang bertambah 5 %. Jawab. Nilai jatuh tempo promes : S = M (1+pt) = 3.000 ( 1 + 0,06 (10/12) = 3.000 ( 1,05 ) = Rp 3.150 Nilai sekarang dari Rp 3.150 ( dari 105/100 x Rp 3.000), untuk tempo selama 10 bulan – 4 bulan = 6 bulan dengan bunga 5 %. Jawab.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 38

S = M ( 1 + p t ) menjadi M =

S = 1  pt

3.150 6 1  (0,05)( ) 12

= Rp 3.073

Latihan. 1. Tentukan bunga tunggal dari sejumlah a. Rp 750 selama 9 bulan untuk 5 ½ % b. Rp 1.800 selama 10 bulan untuk 4 ½ % c. Rp 600 selama 5 bulan untuk 6 % d. Rp 900 selama 4 bulan untuk 3 ¾ % 2. Tentukan tingkat bunga tunggal jika Rp 1.650 menjadi : a. Rp 1.677,50 dalam 4 bulan b. Rp 1.705,00 dalam 10 bulan 3. Berapakah jumlah yang diinvestasikan dalam 8 bulan, jika bunga yang dihasilkan : a. Rp 48 untuk 6 % b. Rp 50 untuk 5 % 4. Berapa lamakah untuk penanaman Rp 3.000 agar : a. Bertambah Rp 90 dengan bunga tunggal 4 % b. Menjadi Rp 3.100 dengan bunga tungal 5 % 5. Tentukan bunga sebenarnya dan bunga pendekatan / biasa dari : a. Rp 900 untuk 120 hari sebesar 5 % b. Rp 1.200 selama 100 hari sebesar 6 % c. Rp 1.600 selama 72 hari sebesar 4 % d. Rp 3.000 selama 146 hari sebesar 3 % e. Rp 1.000 dari tanggal 6 Agustus 2006 s/d 7 Nopember 2006 dengan bunga 4 %. 6. Tentukan tanggal jatuh tempo dan nilai jatuh tempo untuk tiap promes berikut ini : Nilai awal tanggal Tempo Bunga % Rp 2.000 25 April 3 bulan 0 Rp 3.000 5 Maret 8 bulan 5½% Rp 1.250 10 Juni 4 bulan 5% Rp 2.300 1 Januari 7 bulan 6% Rp 1.600 10 Februari 120 hari 4% Rp 3.200 28 Nopem 45 hari 7¾%

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 39

4. Bunga Tunggal dan Nilai Uang. a. Nilai masa datang Misal : Andi mempunyai uang sebanyak Rp 5.00.000. Ia akan meminjamkan uangnya kepada Ali dengan tingkat bunga 12 % pertahun. Ali mengembalikan pinjaman itu bersama bunganya kepada Andi setelah 2 tahun. Berapa rupiah yang harus diberikan kepada Andi ?. Jawab. Bunga selama 2 tahun adalah 2 x 12 % = 24 % Jumlah uang yang harus dikembalikan : = Rp 500.000 + 24/100 x Rp 500.000 = Rp 500.000 + Rp 120.000 = Rp 620.000,-. Yang berarti si Ali membayar bunga kepada si Andi adalah Rp 60.000 setahun. Perhitungan bunga seperti ini disebut perhitungan bunga tunggal, seperti pembahasan diatas. Secara umum penentuan nilai uang masa datang dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut : FV = FVi,n FVi,n Dimana : FVi,n P i n

P + i. n. P = P ( 1 + i. n ) = P + i. n. P = P ( 1 + i. n ) = P ( 1 + i. n ) = = = =

atau menjadi (1)

nilai uang sesudah waktu n dengan bunga i modal / pinjaman / penerimaan suku bunga ( % ) satuan waktu / periode / jangka waktu

Contoh : Andi mempunyai uang sebanyak Rp 5.00.000. Ia akan meminjamkan uangnya kepada Ali dengan tingkat bunga 12 % pertahun. Ali mengembalikan pinjaman itu bersama bunganya kepada Andi setelah 2 tahun. Berapa rupiah yang harus diberikan kepada Andi ?. Jawab. FVi,n = P ( 1 + i. n ) FV12%,2th = Rp 500.000 ( 1 + 0,12 x 2 ) = Rp 500.000 ( 1,24 ) = Rp 620.000,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 40

b. Nilai masa sekarang Persoalan diatas menghitung nilai masa datang, kadang-kadang dipersoalkan berapa harus kita sediakan uang sekarang, jika kita menginginkan sejumlah uang tertentu dimasa datang. Nilai masa sekarang dapat ditulis dengan rumus : FVi ,n 1 PV = atau PV = FV (2) 1  i.n (1  r) n Dimana : PV = nilai sekarang / nilai saat ini FV = nilai dimasa datang i = tingkat bunga n = periode /jangka waktu c. Nilai sekarang dan masa datang berdasarkan pembayaran seri. Perhitungan nilai sekarang dan nilai masa datang telah dijelaskan, kadang-kadang perhitungan ini dikaitkan dengan pembayaran seri / cicilan dengan pembayaran jumlahnya sama, andaikan pembayaran seri sebanyak R persatuan waktu saat pembayaran dianggap merupakan akhir periode sebelumnya atau awal periode sesudahnya adalah sama. Setiap akhir periode atau sebelum awal periode sesudahnya, bunga dihitung atas dasar modal awal (P), hal ini dapat dilihat pada gambar berikut :

0

1

2

3

4

n-4

n-3

n-2

n-1

R

R

R

R

R

R

R

R

n

R

Perhitungan-perhitungan pembayaran seri dengan jumlah sama : FVi,1 FVi,2 FVi,3 FVi,4 FVi,n

= = = = = =

R R + R (1+i) = 2 R + i R =R(2+i) R + R (1+i) + R (1+2i) = R (3+3i) R + R (1+i) + R (R + 2i) + R (1 + 3i) = R(4+6i) R ( 1 + 1 + i + 1 + 2i + 1 + 3i + …+ 1 + (n-1) i  n R + i R ( 1 + 2 + 3 + … + n – 1) n 1 1 = n R + iR  k = n R + i R  n (n-1) 2 k 1 = n R  1 + i/2 (n-1) FVi,n = n R  1 + i/2 (n-1) (3)

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 41

Dapat dihitung P sebagai berikut :  i  nR1  (n  1) FVi ,n  2  P = = 1  in 1  i.n nR  i  P = 1  (n  1)  1  in  2 

atau (4)

Jika nilai nilai R sekarang dihitung, maka ekuivalensi : n n nR 1 PR =   nR k 1 1  ik k 1 1  ik

(5)

d. Potongan Harga ( Diskonto ) Seseorang membuat promes dengan nilai pinjaman = P, S = nilai jatuh tempo promes, t = tahun waktu jatuh tempo dan d = bunga tahunan. Jika pihak yang meminjamkan (misalkan bank) mengambil bunga dimuka (diskonto), maka diskonto adalah : D = S. d. t

sehingga

P

= S–D = S - S.d.t = S ( 1 – d.t)

e. Bunga Biasa dan Bunga Eksak Bunga biasa, dihitung dengan basis bahwa 1 tahun = 360 hari. Rumus : Ib = P. i. tb Bunga eksak, dihitung dengan basis bahwa 1 tahun = 365 hari Rumus : Ie = P. i. te Dimana : P = jumlah pinjaman te = waktu eksak tb = waktu biasa i = bunga pinjaman ( % )

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 42

Soal dan pembahasan 1. Si A menyimpan uangnya dibank sebesar Rp 5.000.000 dengan bunga 18 % pertahun, perhitungan bunga setiap akhir tahun. Berapa jumlah uangnya setelah 3 tahun ?. Jawab. P = 5.000.000 , i = 18 % , n = 3 tahun FVi,n = P ( 1 + i.n ) FV18%,3th = 5.000.000 ( 1 + 0,18 x 3 ) = 5.000.000 (1,54) = Rp 7.700.000 Jadi jumlah uang setelah 3 tahun adalah Rp 7.700.000,-. 2. Bila si A menginginkan agar jumlah uangnya menjadi Rp 10.000.000 setelah 3 tahun. Berapa bunga uangnya setiap tahun ?. Jawab. Dalam soal ini P = Rp 5.000.000 , FVi,3 = 10.000.000 , i = ? FVi,3 = P ( 1 + i. n ) 10.000.000 = 5.000.000 ( 1 + i. 3) 1 + i. 3 = 10.000.000 / 5.000.000 3. i = 2–1 i = 1/3 i = 0,33 atau 33 % Jadi bunga (i) setiap tahun adalah 33 % 3. Tuan B menginginkan jumlah uangnya setelah 4 tahun menjadi Rp 3.600.000 dengan bunga 20 %. Berapa jumlah uang yang harus disimpan mula-mula ?. Jawab. FVi ,n PV = maka : FV20%,4 = P ( 1 + i.n ) 1  i.n 3.600.000 = P ( 1 + 20/100 x 4 ) 3.600.000 = P ( 1,8 ) P = 3.600.000 / 1,8 P = Rp 2.000.000,-. Jadi uang yang disimpan mula-mula adalah sejumlah Rp 2.000.000,-. 4. Tuan A meminjamkan uangnya sebesar Rp 1.000.000 pertahun kepada Tuan B selama 3 tahun dengan bunga biasa 12 %. Tuan A dan Tuan B membuat perjanjian bahwa pada akhir tahun ketiga, uang beserta bunga harus dikembalikan. Jika peminjaman diberikan setiap awal tahun berapakah yang harus dikembalikan Tuan B tersebut ?.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 43

Jawab. R = 1.000.000 , i= 12 % , n = 3 tahun FVi,n = n R  1 + i/2 (n-1) FV12%,3th = 3 x 1.000.000  1 + 0,12/2 (3-1)  = 3.000.000 ( 1,12 ) = Rp 3.360.000 Jadi jumlah uang yang harus dikembalikan Tuan B adalah : = Rp 3.360.000 - Rp 1.000.000 = Rp 2.360.000,-. 5. Berdasarkan pada soal nomor 4 hitunglah jumlah uang sekarang ( PR ) adalah : Jawab. n n nR 1 PR =   nR k 1 1  ik k 1 1  ik

3x1.000.000 1 1   1  3.000.000    k 1 1  0,12 k  1,12 1,24 1,36  = Rp 3.000.000 ( 0,89 + 0,81 + 0,74 ) = Rp 3.000.000 ( 2,44 ) = Rp 7.320.000,-. Jadi jumlah uang sekarang adalah : Rp 7.320.000,-. 3

PR =



6. Adi meminjamkan uangnya kepada Paijo sebanyak Rp 100.000 perbulan selama 12 bulan. Adi dan Paijo membuat perjanjian bahwa pada akhir bulan ke 12 uang beserta bunganya harus dikembalikan dengan perhitungan bunga biasa, tingkat bunga 12 %. Jawab. Jika pengembalian pada akhir bulan ke 12, maka n = 13. Diketahui R = 100.000 , i= 12 % FVi,n = n R  1 + i/2 (n-1) FV12%,13 = 13 x 100.000  1 + 0,12/2 (13-1)  = 1.300.000 ( 1,72 ) = Rp 2.236.000 Pada akhir bulan ke 12, R = 0 maka jumlah uang yang harus dikembalikan Paijo ke Andi pada akhir bulan ke 12 : = FV12%,13 - 100.000 = 2.236.000 - 100.000 = Rp 2.136.000,-. Jadi Andi menerima uang yang dipinjamkannya kepada Paijo adalah sebesar Rp 2.136.000,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 44

7. Pada contoh soal nomor 6 FV12%,13 = Rp 2.136.000. Hitunglah P menurut rumus : FVi ,n FV12%,12 2.136 .000 a. P = = = = Rp 875.409,8 1  i.n 1  1,44 1  0,12 x12 n

b. PR PR

=

n nR 1  nR   k 1 1  ik k 1 1  ik

1 1   1 = 12x100.000   ...   1  1,44   1  0,12 1  0,24 = Rp 1.200.000 ( 7,16 ) = Rp 8.592.000,-.

8. Hitunglah bunga biasa dan bunga eksak suatu pinjaman sebesar Rp 5.000.000 selama 80 hari dengan bunga 18 % pertahun. Jawab. P = Rp 5.000.000 , i= 18 % Bunga biasa : Ib = P. i. tb = 5.000.000 x 0,18 x 80/360 = Rp 199.800 Bunga eksak :

Ie

= P. i. te = 5.000.000 x 0,18 x 80/365 = Rp 197.100

9. Si Badu meminjamkan uangnya selama 90 hari dengan bunga 20 % pertahun bunga biasa, uangnya menjadi Rp 240.000. Hitunglah bunga eksak uangnya. Jawab. i= 20 % , Ib= 240.000 , P = ? 240 .000 Ib = P. i. tb maka : P = Ib / i. Ib maka P = 90 0,20 x 360 P = Rp 4.800.000 Dengan demikian bunga eksak adalah : Ie = P. i. te = 4.800.000 x 0,20 x 90/365 = Rp 236.712,-. 10. PT. Rasa Madu mendiskontokan weselnya Rp 2.000.000 ke bank pada tanggal 20 Agustus 2006 dengan diskonto 18 %. Hitunglah nilai diskonto dan nilai pinjaman setelah 60 hari. Jawab : D = S. d. t Nilai pinjaman = 2.000.000 x 0,18 x 60/360 P =S-D = Rp 60.000 = 2.000.000 – 60.000 = Rp 1.940.000,-. Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 45

5. Bunga Majemuk (Compound Interest). Bunga majemuk biasanya dilakukan dalam waktu yang relatif panjang dan dalam perhitungan bunga biasanya dilakukan lebih dari satu periode. Bunga majemuk adalah bunga yang terus menjadi modal apabila tidak diambil pada waktunya. Perhitungan bunga majemuk dilakukan secara reguler dengan interval tertentu, seperti : setiap harian, bulanan, mingguan, kwartal, semesteran, dan tahunan. Tingkat bunga setiap interval adalah tingkat bunga setahun dibagi dengan interval yang digunakan. Misal tingkat bunga dalam setahun adalah 24 % maka pada : a. Interval Tahunan (annual) = 24 / 1 b. Interval Semesteran = 24 / 2 c. Interval Kuartalan (kwartely) = 24 / 4 d. Interval Bulanan (monthly) = 24 / 12 e. Interval Mingguan = 24 / 52 f. Interval Harian (daily) = 24 /360 atau 24 / 365 Dalam suatu penyelesaian transaksi yang dilakukan untuk suatu periode waktu tertentu, bunga dapat dihitung menurut dua jalan yaitu : 1. Bunga yang harus dibayar untuk suatu interval waktu tertentu. (misalnya untuk obligasi dibayar dengan cek atau kupon). Pokok bertambah dengan bunga tetap tidak berubah, karena bunga dibayar tidak berubah untuk sepanjang waktu dari transaksi. Disini kita berbicara mengenai bunga tunggal. 2. Untuk suatu interval tertentu bunga yang harus dibayar ditambahkan kedalam pokok, artinya bunga yang digabungkan pada pokok dan juga dikenakan bunga. Jadi pokok akan meningkat secara periodik dan bunga yang digabungkan kepada pokok juga bertambah secara periodik selama masa transaksi. Disini kita berbicara mengenai bunga majemuk. Contoh : 1. Diketahui jumlah principal (modal) sebesar Rp 1.000.000, tingkat bunga 5 %. Tentukan bunga tunggal selama 3 tahun. Jawab. B = Mpt = 1.000.000 (0,05)(3) = Rp 150.000,-. 2. Seseorang meminjamkan uang sebesar Rp 100.000 dengan tingkat bunga 12 % pertahun dan dimajemukan setiap 6 bulan selama 2 tahun. Berapakah jumlah modal setelah 2 tahun ?. Jawab. Modal = Rp 100.000 Bunga 6 bulan ke I ( 6 % x 100.000) = Rp 6.000+ Jumlah modal = Rp 106.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 46

Modal Bunga 6 bulan ke II ( 6 % x 106.000) Jumlah modal Bunga 6 bulan ke III ( 6 % x 112.360) Jumlah modal Bunga 6 bulan ke IV ( 6 % x 119.101,6) Jumlah modal setelah 2 tahun

= = = = = = =

Rp 106.000 Rp 6.360+ Rp 112.360 Rp 6.741,6+ Rp 119.101,6 Rp 7.146,1+ Rp 126.247,7

Atau dapat juga dibuat dalam bentuk tabel sebagai berikut : No 1 2 3 4

Interval 6 bulan 12 bulan 18 bulan 24 bulan

Modal 100.000 106.000 112.360 119.101,6

Tingkat bunga 6.000 6.360 6.741,6 7.146,1

Nilai akhir 106.000 112.360 119.101,6 126.247,7

Sejalan dengan perhitungan diatas, formula yang digunakan dalam perhitungan bunga majemuk pada prinsipnya dapat dilakukan sebagai berikut : S

= P ( 1 + r )n

P

= S ( 1 + r )-n

atau P =

S (1  r ) n

atau

P = S

1 (1  r) n

1/ n

r n dimana : S P n r

S =    1x100% P log S  log P = log(1  r ) = = = =

jumlah penerimaan nilai sekarang (present value) periode / waktu tingkat bunga per periode waktu

Nilai ( 1 + r )n disebut : compounding interest faktor (CIF). CIF adalah suatu billangan yang digunakan untuk menilai nilai uang pada masa yang akan datang (future value). 1 Nilai ( 1 + r )-n atau disebut discount faktor / interest faktor. DF / IF (1  r) n adalah suatu bilangan untuk menilai nilai uang dalam bentuk nilai sekarang (present value) dari sejumlah penerimaan pada n tahun. Besar kecilnya jumlah uang dimasa yang akan datang maupun jumlah uang pada saat ini tergantung pada besar kecilnya tingkat bunga dan jangka waktu yang digunakan.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 47

3. Seorang investor meminjamkan uang sebesar Rp 5.000.000 selama 8 tahun dengan tingkat bunga 18 % pertahun dan dimajemukan setiap 6 bulan. Diminta : a. Jumlah pengembalian setelah 8 tahun b. Nilai sekarang dari jumlah penerimaan c. Besar tingkat bunga setahun d. Lamanya jangka waktu/periode. Jawab. Diketahui : P = 5.000.000 , r = 18 % , n= 16 S

= P ( 1 + r )n = Rp 5.000.000 ( 1 + 0,09)16 = Rp 19.851.529,5

P

= = = =

r

S ( 1 + r )-n 19.851.529,5 ( 1 + 0,09 )-16 Rp 19.851.529,5 ( 0,25186976) Rp 5.000.000

S =   P

1/ n

 1x100%

 19.851.529,5  =    5.000.000  n

1 / 16

 1x100% = 9 % (semesteran)

log S  log P log19.851.529,5  log 5.000.000 = log(1  r ) log(1  0,09) 7,297795  6,698970 = = 16 maka 16/2 = 8 tahun. 0,037426498

=

Perlu diperhatikan bahwa tingkat bunga yang sama akan memberikan hasil yang berbeda, apabila frekwensi bunga majemuk yang dilakukan dalam satu tahun juga berbeda, seperti contoh no. 4 berikut : 4. Bank A menerima tingkat bunga deposito sebesar 18 % pertahun dan dimajemukan setiap bulan. Bank B juga menerima tingkat bunga deposito sebesar 18 % pertahun dan dimajemukan setiap 6 bulan. Hitunglah bunga efektif dari masing-masing bank. Jawab. Bunga efektif / efective rate dapat dihitung dengan menggunakan rumus : m

Er

r  = 1    1  m

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 48

Dimana : Er = bunga efektif r = tingkat bunga m = periode interval majemuk. m

Efektive rate bank A

ErA

r  = 1    1  m 12

 0,18  = 1  1 12  

= 19,56 %

m

Efektive rate bank B

ErB

r  = 1    1  m 2

 0,18  = 1  1 2  

= 18,81 %

Jadi dapat dilihat bahwa effective rate bank A lebih besar dari bank B yaitu sebesar 0,75 %, ini diakibatkan oleh interval pemajemukan bunga yang dimiliki masingmasing bank. 5. Apabila pada 5 tahun mendatang seorang pegawai ingin mempunyai jumlah tabungan sebanyak Rp 3.000.000. Tingkat bunga adalah 10 % (konstan). Berapa jumlah uang pada tahun ini yang perlu ditabungnya. Jawab. Persoalan ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Fn Fn P = atau P = n m. n (1  r ) r  1    m Dimana : P = jumlah nilai yang ditabung sekarang Fn = jumlah yang diterima pada n tahun yang akan datang r = tingkat bunga n = periode waktu m = frekwensi pembayaran bunga Soal tersebut dapat dijawab dalam interval tahunan, semesteran, kuartalan, bulanan, dan harian. Pembayaran bunga tahunan 3.000.000 P = (1  0,1) 5

Herispon, SE. M.Si

= Rp 1.862.763,97

Matematika Keuangan -- 2007 | 49

Pembayaran bunga semesteran 3.000.000 P = 2.5  0,1  1   2   Pembayaran bunga kuartalan 3.000.000 P = 4.5  0,1  1   4   Pembayaran bunga bulanan 3.000.000 P = 12 .5  0,1  1    12  Pembayaran bunga harian 3.000.000 P = 365 .5 0,   1    365 

= Rp 1.841.739,76

= Rp 1.830.812,83

= Rp 1.823.365,78

= Rp 1.819.716,60

Soal latihan 1. Pada tahun ini seorang mahasiswa mempunyai uang kas sebanyak Rp 2.000.000,-. Apabila uang tersebut dibiarkan tersimpan pada bank selama 3 tahun, dan akan memperoleh bunga sebesar 12 % pertahun. Maka berapa besar tabungan mahasiswa tersebut jika pembayaran bunga masing-masing dilaksanakan ; dengan interval tahunan, semesteran, kuartalan, bulanan, mingguan, dan harian. 2. Amin mempunyai uang sebanyak Rp 1.000.000 yang akan ditabung dalam bentuk deposito triwulanan, tabanas, atau tabungan harian, dan akan diambil 5 tahun mendatang ketika amin lulus sarjana. Apabila simpanan deposito memberikan bunga 18 % pertahun, tabanas 17 % dan tabungan harian 14 % pertahun. Maka mana tabungan yang paling menguntungkan ? 3. Seorang pemuda pada tahun ini menabung ke suatu bank sebesar Rp 200.000, untuk mendapatkan bunga tahunan atau harian sebesar 18 % pertahun, dari permasalahan tersebut ; a. Berapakah jumlah tabungannya pada tahun ke 10 ? b. Bila pada tahun ke 5 pemuda tersebut diberi uang kas Rp 475.000 sebagai pengganti tabungannya, apakah tawaran tersebut diterima atau ditolak ? 4. Jika anda ditawari uang Rp 150.000 yang diberikan sekarang atau Rp 250.000 yang akan diterima pada 5 tahun mendatang, mana yang anda pilih apabila ; a. Tingkat bunga 10 % pertahun b. Tingkat bunga 12 % pertahun.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 50

6. Perhitungan Bunga Efektif, Sliding Rate, dan Flat Rate. Perhitungan Bunga Efektif. a. Bunga dibayar diakhir periode Contoh : Diketahui suatu pinjaman Rp 30.000.000, bunga 16 % dan dibayar pada akhir pinjaman (periode tahun). Bunga = Rp 30.000.000 x 16 % = Rp 4.800.000 Bunga Efektif = Rp 4.800.000 / Rp 30.000.000 x100 % = 16 %. b. Bunga dibayar dimuka Contoh : Diketahui suatu pinjaman Rp 30.000.000, bunga 16 % dan dibayar dimuka. Bunga = Rp 30.000.000 x 16 % = Rp 4.800.000 Penerimaan pinjaman = Rp 30.000.000 - Rp 4.800.000 = Rp 25.200.000 Bunga efektif = Rp 4.800.000 / Rp 25.200.000 x 100 % = 19 % c. Pinjaman jenis kredit line Misalkan pinjaman Rp 400.000.000, tapi harus menyisihkan saldo kompensasi dengan bunga 13 % dari pinjaman yang digunakan dan 10 % untuk pinjaman yang tidak digunakan. Bunga pinjaman 18 % setahun. Pinjaman yang dimanfaatkan Rp 275.000.000. Saldo kompensasi : 13 % x Rp 275.000.000 10 % x Rp 125.000.000 Jumlah

= Rp 35.750.000 = Rp 12.500.000 = Rp 48.250.000

Bunga efektif adalah : Bunga efektif

=

BungaPinjamanxPinjamanSesungguhnya x100% PinjamanSesungguhnya SaldoKompensasi

=

18% x 275.000.000 x100 % 275.000.000  48.250.000

= Rp 49.500.000 / Rp 226.750.000 x100 % = 21,8 %.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 51

Perhitungan Sliding Rate. Sliding rate atau bunga menurun adalah beban bunga yang dibayarkan / yang diterima dari periode yang satu keperiode berikutnya jumlahnya selalu menurun. Misal : Besar pinjaman adalah sebesar Rp 120.000.000 selama 6 bulan, dengan bunga 18 % per tahun, jadi besar bunga per bulan adalah 1,5 %. Cicilan pokok adalah Rp 120.000.000 : 6 = Rp 20.000.000. Lihat tabel berikut :

Bulan

Pokok

a 1 2 3 4 5 6

b 120.000.000 100.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000

Bunga 1,5 % 1,5 % x b

Cicilan Pokok

c 1.800.000 1.500.000 1.200.000 900.000 600.000 300.000 6.300.000

d 20.000.000 20.000.000 20.000.000 20.000.000 20.000.000 20.000.000 120.000.000

Cicilan Pokok + bunga d+c E 21.800.000 21.500.000 21.200.000 20.900.000 20.600.000 20.300.000 126.300.000

Saldo Pokok b-d f 100.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000

Perhitungan Flat Rate. Flat rate atau bunga tetap adalah beban bunga yang dibayarkan / yang diterima dari periode yang satu keperiode berikutnya jumlahnya selalu sama. Misal : Besar pinjaman adalah sebesar Rp 120.000.000 selama 6 bulan, dengan bunga 18 % per tahun, jadi besar bunga per bulan adalah 1,5 % x Rp 120.000.000. Cicilan pokok adalah Rp 120.000.000 : 6 = Rp 20.000.000. Lihat tabel berikut :

Bulan

Pokok

a 1 2 3 4 5 6

B 120.000.000 100.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000

Herispon, SE. M.Si

Bunga 1,5 % 1,5 % x b

Cicilan Pokok

c 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 1.800.000 10.800.000

d 20.000.000 20.000.000 20.000.000 20.000.000 20.000.000 20.000.000 120.000.000

Cicilan Pokok + bunga d+c E 21.800.000 21.800.000 21.800.000 21.800.000 21.800.000 21.800.000 130.800.000

Saldo Pokok b-d f 100.000.000 80.000.000 60.000.000 40.000.000 20.000.000

Matematika Keuangan -- 2007 | 52

BAB V ANUITAS

1. Pengertian. Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama besar pada setiap interval pembayaran. Besar kecilnya jumlah pembayaran pada setiap interval tergantung pada jumlah pinjaman, jangka waktu, dan tingkat bunga. Tingkat bunga pada setiap interval tergantung pada interval bunga majemuk yang dilakukan seperti ; setiap hari, setiap bulan, setiap kuartal, setiap semester, setiap tahun. Interval pembayaran adalah waktu antara dua pembayaran berturut dari anuitas. Tempo/masa anuitas adalah waktu dari permulaan interval pembayaran pertama sampai akhir dari interval pembayaran yang terakhir. Cicilan tahunan adalah seluruh jumlah pembayaran yang dibuat dalam satu tahun. Jika masa anuitas sudah pasti maka disebut anuitas tertentu (annuity certain) dan jika masa anuitas bergantung pada beberapa event maka disebut anuitas tidak tertentu (contingent annuity). Anuitas sederhana tertentu dilakukan pembayaran pertama pada akhir interval pertama, pembayaran kedua pada akhir interval kedua, dan seterusnya. Suatu anuitas yang pembayarannya berlanjut terus menerus disebut perpetuity, nilai masa depan suatu perpetuitas menjadi tak terhingga, karena pembayaran periodiknya menjadi tak terhingga. Dilihat dari bentuknya anuitas ini dapat dibagi atas 3 (tiga) bagian sebagai berikut : 1. Simple Anuitas (anuitas sederhana), dibagi dalam 3 jenis yaitu : a. Ordinary anuitas b. Anuitas Due c. Deferred Anuitas 2. Complex Anuity (anuitas kompleks) dibagi dalam 3 jenis yaitu : a. Compleks Ordinary b. Compleks Due c. Compleks Deferred 3. Anuitas Perpetuitas ( anuitas berlanjut terus / tak terhingga ).

2. Simple Anuitas. Simple anuitas adalah sebuah anuitas yang mempunyai interval yang sama antara waktu pembayaran dengan waktu dibunga majemukan. Dilihat dari tanggal pembayarannya anuitas ini dapat dibagi atas 3 bagian yaitu :

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 53

a. Ordinary Anuitas. Adalah suatu anuitas yang diperhitungkan pada setiap akhir interval seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir setiap 6 bulan, dan akhir tahun. Untuk menghitung present value, future value, maupun jumlah anuitas dapat dilkukan dengan rumus sebagai berikut: An

R

=

R

=

An

1  (1  i )  n    i  

Sn

=

R

 (1  i ) n  1   i  

R

=

Sn

  i   n  (1  i )  1

  i  n  1  (1  i ) 

Dimana : An Sn R i n

= = = = =

nilai sekarang (present value) jumlah pembayaran (future value) anuitas (cicilan / angsuran) tingkat bunga setiap interval jumlah interval pembayaran.

a.1. Present Value (nilai sekarang) Nilai sekarang (present value) merupakan nilai sekarang dari sebuah anuitas dan identik dengan nilai awal dari penanaman modal. Apabila jumlah penerimaan sebesar Rp 100.000, dan bunga sebesar Rp 20.000, maka present valuenya adalah Rp 100.000 – Rp 20.000 = Rp 80.000. Contoh dalam perhitungan ordinary anuitas adalah sebagai berikut : Si A mencicil pinjaman sebesar Rp 50.000 pada setiap akhir bulan selama 6 bulan dengan tingkat bunga 18 % pertahun. Berpakah nilai sekarangnya (PVnya). 1,5 % R1 50

R2

R3

R4

R5

R6

50

50

50

50

50

R= 50.000 , i = 18%/12 = 1,5 % = 0,015 , n = 6

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 54

An

=

R

1  (1  i )  n    i  

1  (1  0,015) 6  = 50.000   = 50.000 (5,6971872) 0,015   = Rp 284.859,36

An

Jadi nilai sekarang dari jumlah cicilan si A selama 6 bulan adalah Rp 284.859,36. Perhitungan tersebut diatas dapat pula dibuat dalam bentuk tabel sebagai berikut :

Bln

Anuitas

Bunga 1,5 %

1

2

0 1 2 3 4 5 6

50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000 50.000

3 (3x6) 0 4.272,89 3.586,98 2.890,78 2.184,15 1.466,91 738,92

Jumlah Pengembalian Pokok Pinjaman 4 (2–3) 0 45.727,11 46.413,02 47.109,22 47.815,85 48.533,09 49.261,07

Jumlah Pengembalian Kumulatif 5 (4+4) 0 45.727,11 92.140,13 139.249,35 187.065,20 235.598,29 284.859,36

Sisa Kredit 6 (6–4) 284.859,36 239.132,25 192.719,23 145.610,01 97.794,16 49.261,07

Nilai sekarang dari soal diatas juga dapat dihitung dengan menggunakan perhitungan bunga majemuk (compund interest method) sebagai berikut : 0

1

2

3

4

5

6 (anuitas) 50.000 (1+0,015)-1 = 49.261,08 50.000 (1+0,015)-2 = 48.533,08 50.000 (1+0,015)-3 = 47.815,85 50.000 (1+0,015)-4 = 47.109,22 50.000 (1+0,015)-5 = 46.413,02 50.000 (1+0,015)-6 = 45.727,11 Jumlah P V = 284.859,36

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 55

a.2. Anuitas dari PV Anuitas dari present value sebenarnya sama dengan jumlah angsuran pada setiap interval. Jumlah angsuran pada setiap interval dari jumlah pinjaman tergantung pada besar kecilnya tingkat bunga dan jangka waktu yang digunakan. Contoh : Seorang investor merencanakan membangun rumah murah untuk dijual secara cicilan kepada konsumen. Biaya pembangunan diperhitungkan sebesar Rp 12.000.000. Berapa besar nilai cicilan yang dibebankan kepada konsumennya, bila tingkat bunga setahun 15 % dan dimajemukan setiap bulan selama 3 tahun. Jawab. Diketahui An = 12.000.000,-. , i= 15 % / 12 = 0,0125 , n=36   i R = An  n  1  (1  i )  R

  0,0125 = Rp 12.000.000  36  1  (1  0,0125)  = Rp 12.000.000 (0,034664448) = Rp 415.973,37

a.3. Jumlah Penerimaan (future amount) Jumlah penerimaan dari serangkaian pembayaran bukanlah berarti kumulatif dari jumlah pembayaran pada setiap interval, akan tetapi diperhitungkan bunga secara bunga majemuk (compound interest) dari sejumlah uang yang dicicil. Jumlah pembayaran pada interval pertama diperhitungkan bunga pada akhir interval kedua, sehingga jumlah penerimaan pada akhir interval kedua adalah sebesar 2 kali setoran ditambah bunga pada setoran pertama. Contoh : Berdasarkan soal diatas. Bila jumlah cicilan pada setiap akhir bulan sebesar Rp 415.973,37 dengan tingkat bunga 15 % dan dimajemukan pada setiap bulan selama 3 tahun. Berapakah jumlah penerimaan investor.  (1  i ) n  1 Sn = R   i   Sn

 (1  0,0125 ) 36  1 = Rp 415.973,37   0,0125   = Rp 415.973,37 ( 45.1155055) = Rp 18.766.848,66.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 56

Berdasarkan pada hasil perhitungan diatas, jumlah pembayaran pada akhir interval sebesar Rp 18.766.848,66 tetapi bila dilihat dari pengeluaran nasabah hanya sebesar Rp 415.973,37 x 36 bulan = Rp 14.975.041,32. Ini berarti besarnya yang merupakan beban selama 3 tahun adalah : Rp 14.975.041,32 – Rp 12.000.000 = Rp 2.975.041,32. Dipihak lain bunga efektif yang diterima investor diperhitungkan sebesar Rp 18.766.848,66 – Rp 12.000.000 = Rp 6.766.848,66. Berdasarkan pada uraian tersebut, bunga yang akan dibayarkan oleh konsumen / nasabah sebesar Rp 2.975.041,32 dan bunga yang diterima oleh investor Rp 6.766.848,66. a.4. Tingkat bunga. Untuk menghitung besarnya tingkat bunga, apabila PV yang diketahui dapat diselesaikan dengan menggunakan bantuan lampiran 3 dan untuk jumlah penerimaan digunakan lampiran 5. Bila PV yang diketahui : 1  (1  i )  n  An   i   R Bila jumlah penerimaan yang diketahui :  (1  i ) n  1 Sn   i   R Contoh : Jika diketahui jumlah PV sebesar Rp 969.482 dengan anuitas Rp 150.000 pada setiap akhir kuartal selama 2 tahun. Untuk menentukan besarnya tingkat bunga pada setiap kuartal atau setiap tahun dapat diselesaikan sebagai berikut : Diketahui : An = 969.482 , R = 150.000

, n = 2x4 = 8

1  (1  i )  n  An 1  (1  i ) 8  969.482 , maka  = 6,463213333    i i   R   150.000 1  (1  i )  n  Nilai discount faktor untuk   dapat dilihat dalam lampiran 3 pada n = 8 i   dimana nilainya 6,463212760. Dengan demikian pada kolom tersebut i = 5 % dan tingkat bunga setahun (nominal rate) 4 x 5 = 20 % (dimajemukan 4 kali setahun). Apabila nilai i tidak tersedia dalam lampiran, nilai i dapat dihitungkan dengan menggunakan sistem interpolasi.

Contoh : Seorang pengusaha menyetor uang pada bank sebesar Rp 445.000 dan diambil kembali secara cicilan setiap akhir 6 bulan sebesar Rp 50.000 dalam waktu 5 tahun. Berapakah besarnya interest rate / nominal rate ? Diketahui : An = 445.000 , R= 50.000 , n = 2 x 5 = 10

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 57

1  (1  i )  n  An 1  (1  i ) 10  445.000   8,9000000 maka     i i   R   50.000 Apabila dilihat dalam lampiran 3 untuk nilai i = 8,9 pada n =10 nilai tidak tersedia, yang mendekati nilai tersebut adalah 8,98258501 pada i = 2 % dan 8,75206393 pada i = 2,5 %. Dengan demikian nilai i dapat ditulis sebagai berikut : 2 % < i < 2,5 %. Untuk mengetahui nilai i secara pasti dapat dilakukan dengan cara interpolasi yang dihitung sebagai berikut :

Tingkat bunga i 2% 2,5 %

Discount rate 1  (1  i )  n    i  

Persamaan

8,98258501 8,90000000 8,75206393

(1) (2) (3)

(2)  (3) x  2,5% x  2,5% 0,14793607    (1)  (3) 2%  2,5%  0,5% 0,23052108 0,14793607 X – 2,5 % = - (0,5%) 0,23052108 X – 2,5 % = -0,003208731 X = 0,025 – 0,003208731 X = 0,021791269 atau 2,18 % sama dengan tingkat bunga 2 x 2,18 % = 4,36 sama dengan nominal rate.

a.5. Menentukan Jangka Waktu. Untuk menentukan jangka waktu dari sebuah anuitas sama halnya dengan menentukan tingkat bunga. Apabila PV, tingkat bunga, dan jumlah anuitas dapat diketahui maka jangka waktu dari pinjaman dapat diselesaikan dengan menggunakan cara tertentu. Contoh : Seorang pegawai negeri menerima uang dari bank sebesar Rp 1.653.298 dari hasil setoran sebesar Rp 50.000 pada akhir setiap kuartal dengan bunga 20 % setahun. Berapa lama pegawai tersebut melakukan penyetoran. Diketahui : Sn = 1.653.298 , i = 20/4 = 5 % , R = 50.000 ,

n=?

 (1  i ) n  1 Sn  (1  0,05) n  1 1.653.298   33,065960 , maka     i i 50.000   R  

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 58

Nilai 33,065960 dapat dilihat dalam lampiran 5 pada i = 5 % dan pada n = 20. Dengan demikian lamanya pegawai tersebut melakukan penyetoran adalah 20 kuartal atau sama dengan 20 : 4 = 5 tahun. Apabila pada tingkat bunga 5 % tidak tersedia nilai 33,065960. Carila nilai i yang mendekati nilai hitung sehingga n berada antara kedua nilai. Untuk mendapatkan nilai n secara pasti gunakan metode interpolasi. b. Anuitas Due. Anuitas due adalah sebuah anuitas yang pembayaran dilakukan pada setiap awal interval. Awal interval pertama merupakan perhitungan bunga yang pertama dan awal interval kedua merupakan perhitungan bunga yang kedua dan seterusnya. Dalam anuitas due ditambahkan satu compounding faktor (1+i) baik untuk PV atau FV. Pertambahan satu compounding faktor pada anuitas due adalah sebagai akibat pembayaran yang dilakukan pada awal setiap interval maka nilai yang dihitung dengan menggunakan anuitas due selalu lebih besar bila dibandingkan dengan ordinary anuitas. b.1. Perhitungan PV. Untuk menghitung present value dari sebuah anuitas due dapat dilakukan dengan menggunakan formula sebagai berikut : 1  (1  i )  n  An(ad) = R  .(1  i ) i   1  (1  i )  ( n 1)   1 An(ad) = R  i    ( n 1) 1  (1  i )  An(ad) = R  R i   Contoh : Sebuah perusahaan yang bergerak dalam alat bangunan ingin memperoleh uang secara kontinyu sebesar Rp 1.500.000 dari bank pada setiap awal kuartal selama satu tahun. Berapa jumlah dana yang harus disetor pada bank apabila tingkat bunga diperhitungkan sebesar 18 % pertahun. Jawab : Diketahui : R=1.500.000 , i = 18/4 = 4,5 % , n = 4 1  (1  i )  n  An(ad) = R  .(1  i ) i   1  (1  0,045) 4  An(ad) = 1.500.000  .(1  0,045) 0,045   An(ad) = 1.500.000 (3,58752577) (1,045) = Rp 5.623.447.

Nilai discount faktor 3,58752577 dapat dilihat pada lampiran 3 pada i = 4,5 % dan n = 4. Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 59

b.2. Jumlah Pembayaran (future amount) Formula yang digunakan untuk menghitung jumlah pembayaran dalam anuitas due adalah sebagai berikut :  (1  i ) n  1 Sn(ad) = R  .(1  i ) i   Sn(ad) Sn(ad)

 (1  i ) ( n 1)  1   1 = R  i   ( n 1)  (1  i )  = R  R i  

Contoh : PT. Bank Mandiri disebuah kota baru-baru ini memberikan fasilitas penjualan kenderaan roda dua secara kredit pada guru-guru SD. Tingkat bunga diperhitungkan sebesar 12 % pertahun dan cicilan dilakukan setiap awal bulan sebesar Rp 70.000 selama 3 tahun. Berapakah besarnya jumlah pembayaran ? Diket : R = 70.000 , i = 12/12 = 1 % , n = 12 x 3 = 36 bln Sn(ad) Sn(ad)

 (1  i ) n  1 = R  .(1  i ) i    (1  0,01) 36  1 = 70.000  .(1  0,01) 0,01   = 70.000 (43,07687836) (1,01) = Rp 3.045.535,-.

b.3. Hubungan antara PV dengan Jumlah Pembayaran. Hubungan antara Present Value dengan Future Value dari sebuah anuitas due sama halnya dengan hubungan yang terdapat dalam perhitungan bunga majemuk. Present Value merupakan modal dasar. Future Value merupakan penjabaran dari bunga majemuk. Dalam perhitungan bunga majemuk jumlah penerimaan dihitung dengan rumus : S = P ( 1 + i )n . Sedangkan Present Value dihitung dengan rumus : P = S ( 1 + i ) -n . Sejalan dengan formula bunga majemuk, anuitas due Sn (ad) merupakan FV dan An (ad) merupakan PV dengan demikian formula yang digunakan dalam hubungan ini adalah : PV An(ad) = Sn (ad) ( 1 + i )-n FV Sn(ad) = An (ad) ( 1 + i )n Apabila diketahui nilai PV dari anuitas due, jumlah penerimaan pada akhir interval dapat diketahui tanpa menghitung besarnya anuitas pada setiap interval dan hubungan ini tidak dapat diterapkan pada ordinary anuitas maupun bentuk anuitas lainnya seperti defered anuitas.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 60

b.4. Anuitas, Jangka Waktu, dan Tingkat Bunga. Penentuan anuitas dalam sebuah anuitas due dapat dihitung apabila nilai PV dan FV (jumlah penerimaan) dari transaksi pinjaman diketahui, disamping tingkat bunga dan lamanya pinjaman. Apabila diketahui nilai PV, untuk menghitung besarnya anuitas dapat digunakan rumus : i R = apabila jumlah penerimaan diketahui dapat (1  i ) 1 n 1  (1  i ) digunakan rumus : i R = (1  i) 1 untuk menentukan jangka waktu dari sebuah n 1  (1  i)  1 anuitas due, sama halnya dengan menentukan n pada ordinary anuitas. Lamanya jangka waktu dari suatu pinjaman dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus : 1  (1  i )  ( n 1)  Bila An (ad) diketahui rumus : R  R i    (1  i ) n  1 Bila Sn (ad) diketahui rumus : R  .(1  i ) i   Contoh : Seorang pimpinan perusahaan telah melakukan penyetoran pinjaman secara cicilan pada bank sebesar Rp 500.000 pada setiap awal bulan. Tingkat bunga pinjaman diperhitungkan sebesar 18 % pertahun. Berapa bulan harus diadakan penyetoran untuk menutupi pinjaman sebesar Rp 10.000.000,-. Diket : R = 500.000 , i = 18/12 = 1,5 % , An = 10.000.000 , n = ?

An (ad) 10.000.000

1  (1  i )  ( n 1)  = R  R i   1  (1  0,015)  ( n 1)  = 500.000    500.000 0,015  

1  (1  0,015)  (n 1)  10.000.000  500.000    =    19 0,015 500.000     Untuk menentukan atau mengetahui lamanya penyetoran, lihat lampiran 3 : Pada n = 22, i = 1,5 % nilai = 18,62082437 Pada n = 23, i = 1,5 % nilai = 19,33086145 Sementara nilai 19 tidak ada pada tabel. Dengan demikian untuk mengembalikan kredit sebesar Rp 10.000.000 membutuhkan waktu selama 22 bulan lebih atau dapat ditulis sebagai berikut : 22 bulan < n < 23 bulan. Cara interpolasi : Periode Discount Rate Persamaan 22 18,62082437 (1) ? 19, (2) 23 19,33086145 (3)

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 61

(2)  (3) X  23 X  23  0,33086145    (1)  (3) 22  23 1  0,71003708  0,33086145 X - 23 = - (1)  0,71003708 X - 23 = - (1) (0,46597772) , (1) = (0,01) (0,46597772) X - 23 = - 0,004659777 X = 0,23 - 0,004659777 X = 0,2253 , 22, 53 bulan

c. Deferred Anuitas. Defered anuitas adalah series (anuitas) yang pembayarannya dilakukan pada akhir setiap interval. Perbedaan antara ordinary anuitas dengan defered anuitas terletak dalam hal penanaman modal, dimana dalam perhitungan defered anuitas ada masa tenggang waktu (grace period) yang tidak diperhitungkan bunga. Illustrasi. Pemerintah Jepang memberikan pinjaman pada Pemerintah Indonesia sebesar Rp 10 miliar pada tanggal 1 Januari 2000. Dengan persetujuan bersama antara kedua pemerintah, bunganya mulai diperhitungkan sejak 1 Januari 2005. Ini berarti dari 1 Januari 2000 sampai dengan 1 Januari 2005 adalah merupakan grace period. Persoalan demikian dalam matematika keuangan disebut dengan defered anuitas. Untuk menentukan nilai PV dan FV dapat dihitung dengan rumus : 1  (1  i )  n  t An (da) = R   (1  i ) i    (1  i ) n  1 Sn (da) = R   i   t adalah tenggang waktu yang tidak dihitung bunga.

Contoh : Seorang petani membuka usaha dalam bidang peternakan dan untuk membiayai usaha tersebut ia meminjam uang pada bank dengan tingkat bunga 12 % pertahun, dan dimajemukan setiap kuartal. Pinjaman tersebut harus dikembalikan secara cicilan mulai pada akhir kuartal ketiga sebesar Rp 400.000, selama 5 kali angsuran. Berapa besar jumlah pinjaman ? Diket : R = 400.000 , I = 12/4 = 3 % , n = 5 , t = 2 1  (1  i )  n  t An (da) = R   (1  i ) i   1  (1  0,03) 5  2 An (da) = 400.000   (1  0,03) 0,03   = 400.000 ( 4,5797072 ) ( 0,942595909 )

Herispon, SE. M.Si

= Rp 1.726.725,308.

Matematika Keuangan -- 2007 | 62

Jumlah PV dari defered anuitas sebenarnya sama dengan jumlah PV dari ordinary anuitas yang dikalikan dengan nilai discount faktor dari masa tenggang waktu.

= =

1  (1  i )  n  R   i   1  (1  0,03) 5  400.000   0,03   400.000 ( 4,5797072 ) Rp 1.831.882,88

= = = =

An x discount faktor t 1.831.882,88 x ( 1 + 0,03 )-2 1.831.882,88 ( 0,942595909 ) Rp 1.726.725,308.

An

=

A5

=

An (da)

lihat pola berikut :

A5 = 1.831.882,88 A7 (da) = 1.726.725 0

1

2

3 400

4 400

5 400

6 400

7 400

tenggang waktu Nilai PV dari defered anuitas juga sama dengan jumlah PV secara keseluruhan dikurangi dengan nilai PV dari tenggang waktu sebagai berikut : An (da) An (da)

= A7 - A 1  (1  i )  n  1  (1  i )  t  = R  R    i i     7 1  (1  0,03)  1  (1  0,03) 2  = 400.000  400.000    0,03 0,03     = 400.000 ( 6,230282967 ) – 400.000 ( 1,9134697 ) = 2.492.113,187 - 765.387,88 = Rp 1.726.725,307,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 63

3. Complex Anuity (anuitas kompleks). Anuitas komplek adalah merupakan sebuah rentetan pembayaran dari sebuah pinjaman dengan jumlah yang sama pada setiap interval. Perbedaan anuitas komplek dengan dengan anuitas biasa, terletak pada sistem perhitungan bunga majemuk pada setiap interval pembayaran. Dalam anuitas biasa perhitungan bunga majemuk dengan interval pembayaran mempunyai interval yang sama. Dalam anuitas kompleks antara interval pembayaran dengan interval bunga majemuk mempunyai interval yang berbeda. Apabila interval pembayaran dilakukan pada setiap bulan, mungkin dimajemukan pada setiap kuartal atau sebaliknya apabila interval pembayaran dilakukan setiap kuartal, perhitungan bunga majemuk dilakukan pada setiap bulan. Lihat pola berkut : Anuitas Kompleks Pembayaran 12 x setahun bln 0 1 kuartal

2

3

4

k1

5

6

7

8

9

10

11

k2 k3 dimajemukan 4 kali setahun

12 k4

Simple Anuitas Pembayaran 4 x setahun kuartal 0 Bln

1

2

3 1

4

5

6 7 8 2 Dimajemukan 4 x setahun

9 3

10

11

12 4

Seperti terlihat dalam gambar atau pola diatas kompleks anuitas pembayaran dari sebuah anuitas dilakukan pada setiap bulan dan dimajemukan setiap kuartal. Dalam pola atau gambar simple anuitas antara pembayaran dan dibungamajemukan mempunyai interval yang sama yaitu masing-masing pada setiap kuartal (3 bulan). Jika dilihat dari tanggal pembayaran, kompleks anuitas dapat dibagi atas tiga bagian yaitu : a. Compleks Ordinary Anuity Pembayaran anuitas dalam perhitungan complex ordinary anuity dilakukan pada akhir setiap akhir interval, dimana besar kecilnya anuitas tergantung pada besar kecilnya pinjaman (principal), tingkat bunga, jangka waktu, dan frekwensi bunga majemukdalam satu tahun. Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 64

a.1. Present Value. Untuk menentukan PV dalam complex ordinary anuity adalah : 1  (1  i )  nc    i An(c) = R    c i    (1  i )  1 Dimana c adalah perbandinngan antara frekwensi bunga majemuk dalam satu tahun dengan frekwensi pembayaran dalam satu tahun. Sebagai ilustrasi, untuk mendapatkan besaran nilai n, c, dan nc dalam rumus diatas dapat dikuti dalam bentuk tabel berikut :

Interval Pembayaran 1 Kuartal 1 Tahun 1 Bulan 6 Bulan 1 Kuartal 1 Bulan 1 Bulan

Periode Bunga Majemuk 1 Bulan 1 Kuartal 1 Kuartal 1 Kuartal 1 Tahun 1 Tahun 6 Bulan

Jangka Waktu 3 Tahun 3 Tahun 3 Tahun 3 Tahun 3 Tahun 3 Tahun 3 Tahun

Jumlah n

Jumlah c

Jumlah nc

12 3 36 6 12 36 3

3 4 1/3 2 ¼ 1/12 2

36 12 12 12 3 3 6

Contoh : Seorang petani merencanakan meminjam uang pada bank untuk membiayai rencana perluasan usaha dalam sub sektor perikanan. Berdasarkan pada perkiraaan dan perhitungan benefit, ia mampu mengembalikan pinjaman sebesar Rp 76.015 pada setiap akhir kuartal selama 2 tahun dengan tingkat bunga pinjaman sebesar 18 % pertahun dan dimajemukan pada setiap bulan. Berapa besar jumlah kredit yang dapat dipinjam oleh petani tersebut ? Diketahui : R = 76.015 , n = 2x4=8 (kuartal) , c= 12/4 =3, nc = 3x8=24 i =18/12 = 1,5 % An(c)

=

An(c)

= = =

1  (1  i )  nc    i R    c i    (1  i )  1 1  (1  0,015) 24    0,015 76.015    3 0,015    (1  0,015)  1 Rp 76.015 (20,03040537) (0,32838296) Rp 499.999,5942 dibulatkan menjadi Rp 500.000,-.

Dari contoh ini dimana interval pembayaran dilakukan pada setiap 3 bulan dan interval bunga dimajemukan pada setiap bulan. Untuk menyamakan interval pembayaran dengan interval bunga majemuk dapat dilakukan sebagai berikut :

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 65

    i 0,015 B = R  B = 76.015    = Rp 24.962,02 3 c  (1  0,015)  1  (1  i )  1 Rp 24.962,02 adalah cicilan perbulan

Dengan adanya perubahan ini, present value (jumlah pijaman) dapat dihitung dengan menggunanakan formula simple ordinary anuity dengan cara sebagai berikut : 1  (1  i )  nc  An = B   i   1  (1  0,015) 24  A24 = 24.962,02   0,015   = 24.962,02 (20,03040537) = Rp 500.000,-.

a.2. Jumlah Penerimaan. Jumlah penerimaan ( Snc) dalam complex ordinary anuity dapat dihitung apabila PV atau anuitas dari sebuah pinjaman diketahui.Formula yang digunakan adalah sebagai berikut : 1  (1  i )  nc    i Snc = R    c i    (1  i )  1 Nilai compounding faktor perpangkat nc dapat dilihat dalam lampiran 4 dengan asumsi nc = n. Perubahan perhitungan dari complek ordinary anuity menjadi simple ordinary anuity dapat dilakukan dengan jalan yang sama seperti yang dilakukan sebelumnya. Untuk mengubah nilai Anc dan Snc dalam complek ordinary anuity juga dapat digunakan rumus :  (1  r ) n  1 1  (1  r )  n  Sn = R  dan An = R    r r     Kembali pada contoh diatas, sebelumnya tingkat bunga majemuk dilakukan pada setiap bulan dan diubah menjadi 3 bulan untuk menyamakan interval bunga majemuk dengan interval pembayaran, ini berarti r adalah merupakan perubahan i dari setiap bulan menjadi setiap 3 bulan (kuartal). Perubahan ini dapat dilakukan dari i perbulan (1,5%) menjadi i setiap 3 bulan dengan menggunakan compount interest ( 1 + i )n atau ( 1 + 1,5 % )3 dengan cara sebagai berikut : 1  (1  i) c  n  1  (1  r )  n    Anc = R   = R  c  r ( 1  i )  1     n  (1  r )  1 Snc = R   r  

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 66

Snc

 (1  0,015) 3 8  1  = 76.015   (1  0,015) 3  1    = 76.015 ( 9,4027603 ) = 714.750,82

Present Value Anc

Atau

Anc

1  (1  i) c  n  1  (1  r )  n    = R   = R  c  r ( 1  i )  1     1  (1  0,015) 3 8  1  (1  r )  n    = R   = 76.015  3  r ( 1  0 , 015 )  1     = 76.015 ( 6,577643808 ) = 499.999,5941 dibulatkan menjadi 500.000,-. 1  (1  r )  n  = R   r   1  (1  0,0456784 ) 8  = 76.015 R   0,0456784   = 76.015 ( 6,577643137 ) = 500.000

Dalam perhitungan pertama i perbulan adalah 18 / 12 = 1,5 % dan interval pembayaran setiap 3 bulan selama 2 tahun, berarti n = 8. Dalam perhitungan kedua i dihitung setiap 3 bulan berarti r = ( 1+i )3 -1 dimana interval pembayarannya setiap kuartal terdiri dari 3 bulan, berarti n selama 2 tahun = 24 bulan. Dengan demikian i perbulan = 1,5 %, i perkuartal = 4,56784 %, dan i pertahun = 19,56182 %, dimana nominal rate adalah 18 %. Perlu diperhatikan kenaikan i yang dihitung dalam interval kumulatif adalah sebagai akibat dari effektif rate. b. Compleks Anuity Due. Complek anuity due adalah pembayaran yang dilakukan pada setiap awal interval. Perbedaan antara simple anuity due dengan complek anuity due juga terletak pada interval bunga, dimana dalam complek anuity due frekwensi bunga majemuk tidak sama dengan frekwensi pembayaran didalam satu tahun, oleh karena itu dalam i perhitungan nilai baik PV dan FV harus dikalikan dengan discount faktor 1  (1  i ) c sebagai kompensasi, rumus yang digunakan sebagai berikut :

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 67

Anc Snc

1  (1  i )  n    i = R   c  i   1  (1  i )   (1  i ) n  1   i = R   c  i   1  (1  i ) 

Untuk menghitung tingkat bunga, jangka waktu dan anuitasnya sama dengan cara menghitung pada complek ordinary anuity.

c. Compleks Deferred Sistem pembayaran anuitas yang dilakukan dalam complek deferred anuity juga dilakukan pada setiap akhir interval, seperti akhir bulan, akhir kuartal, akhir setiap 6 bulan, maupun akhir tahun. Perbedaan antara anuitas ini dengan complek anuitas sebelumnya terletak pada tenggang waktu yang tidak diperhitungkan bunga. Contoh : Seorang mahasiswa meminjam uang pada bank sebesar Rp 800.000 dalam rangka menutupi biaya perkuliahannya. Ia berjanji akan mengembalikan pinjaman tersebut secara cicilan selama 5 tahun dan pengembalian pinjaman dilakukan setelah 3 tahun dari meminjam. Bunga diperhitungkan sebesar 12 % pertahun dan dimajemukan setiap 6 bulan sekali. Berapakah besarnya pembayaran yang harus dikembalikan pada bank setiap akhir tahun ? Diketahui : Anc = 800.000 , n = 5 , c = 2 / 1 = 2 (bunga dimajemukan dua kali setahun dan pembayaran setiap tahun) , nc = 2 x 5 = 10 , t = 2 (dilakukan pembayaran pertama 3 tahun dari meminjam, ini berarti 1 tahun terakhir telah diperhitungkan bunga karena dalam complek deferred anuity pembayaran dilakukan pada akhir interval , i = 12 / 2 = 6 % (karena dimajemukan 2 kali setahun). Dan rumusnya adalah : 1  (1  i )  nc    i ct Anc (da) = R    . (1+i) c i    (1  i )  1  (1  i ) nc  1   i Snc (da) = R    c i    (1  i )  1

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 68

Karena yang diminta adalah berapa jumlah pembayaran yang harus dikembalikan pada setiap akhir tahun, maka rumusnya adalah : R

= = = =

   (1  i ) c  1 i ct Anc (da)   . (1+i)  nc   i 1  (1  i )       (1  0,06) 2  1 . 0,06 2.2 800.000   ( 1 + 0,06 ) 10   0 , 06 1  ( 1  0 , 06 )    800.000 ( 0,13586795 ) ( 2,06 ) ( 1,26247696 )∞ 282.681,70 ( adalah cicilan setiap tahun )

 (1  i ) nc  1   i Snc (da) = R    c i    (1  i )  1  (1  0,06)10  1   0,06 = 282.681,70    2 0,06    (1  0,06)  1 = 282.681,70 ( 13,18079494 ) ( 9,485436893 ) = 1.808.723,068 ( total pembayaran ).

4. Anuitas Perpetuitas ( anuitas berlanjut terus / tak terhingga ). Suatu anuitas yang pembayarannya berlanjut terus disebut perpetuitas (perpetuity). Nilai masa depan suatu perpetuitas menjadi tak terhingga, karena pembayaran periodiknya menjadi tak terhingga. Menurut rumus anuitas dapat dituliskan dalam bentuk rumus sebagai berikut : 1  (1  i )  n  A = R  ∞, maka  Jika pembayaran berlanjut terus artinya n i   nilai sekarang suatu anuitas menjadi : 1  (1  i)   1  0  R A = R  maka : A =    menjadi = R   i  i  i   Contoh : Hitunglah nilai sekarang, jika pembayaran terus berlanjut sebesar Rp 600.000,-. Dengan tingkat bunga 6 %. Jawab : A = 600.000 / 0,06 = Rp 10.000.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 69

BAB VI DISKONTO TUNGGAL

Pengertian Diskonto tunggal merupakan selisih dari jumlah sebenarnya yang dibayarkan dari sejumlah nilai tunai yang ditawarkan, misal nilai tunai Rp 1000, dan jumlah sebenarnya yang dibayar adalah Rp 950, berarti terdapat selisih nilai yaitu Rp 50, yang Rp 50 ini disebut dengan diskonto tunggal. Pembahasan dalam materi diskonto tunggal ini sebenarnya berkaitan dengan pehitungan bunga tunggal yang telah dibahas pada bab sebelumnya, sehingga dalam pembahasan diskonto tunggal ada tiga aspek yang akan diuraikan yaitu : 1. Sebagai laju pertambahan bunga. 2. Sebagai laju pertambahan diskonto 3. Nota diskonto Ad.1. Sebagai laju pertambahan bunga Nilai tunai (M) dari jumlah A yang dibayar dihari yang berlainan sudah dibahas pada bab sebelumnya, dapat di interpretasikan sebagai nilai diskonto dari A, maka D = A – M dinamakan diskonto tunggal dari A pada suatu laju bunga atau diskonto sebenarnya dari A. Maka dari : M A = menjadi A = M ( 1 + pw ) maka M (nilai tunai) adalah : 1  pw A M = 1  pw Contoh : Tentukan nilai tunai untuk bunga tunggal 6 % dari Rp 1500 yang harus dibayar dalam 9 bulan. Berapakah diskonto sebenarnya ?. Jawab : Diketahui A = 1500 ,p=6% , w = 9 bulan ( 9/12 = 0,75) Maka dari : A 1500 M = = = 1500 / 1,045 = Rp 1.435,41 1  pw 1  0,06(0,75) Rp 1.435,41 adalah nilai tunainya ( M ) D

= A -M = 1500 - 1435,41 = Rp 64,59 adalah diskonto tunggalnya (D).

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 70

Ad.2. Sebagai laju pertambahan diskonto Laju pertumbuhan diskonto didefinisikan sebagai perbandingan antara diskonto yang diberikan dalam satu unit waktu ( misal 1 tahun) terhadap sejumlah diskonto yang diberikan. Laju pertambahan diskonto tahunan dinyatakan sebagai persentase. Diskonto tunggal juga disebut bank diskonto ( D ) pada jumlah A, untuk waktu (w) tahun. Untuk laju diskonto P diberikan oleh ( D = A. p. w ) dan nilai tunai dari A diberikan oleh : M = A - D maka M = A – D = A – A. p. w = A ( 1 – pw ). Contoh : Tentukan diskonto tunggal pada hutang Rp 1500 jangka waktu 9 bulan dengan laju diskonto 6 %. Berapakah nilai tunai dari hutang tersebut ?. Jawab : Diketahui : A = 1500 , p= 6 % , w = 9 bulan D = A pw D = 1500 x 0,06 x 9/12 = Rp 67,50 M = A–D M = 1500 - 67,50 = Rp 1432,50 Ad.3. Sebagai nota diskonto. Perhitungan nota diskonto berhubungan dengan surat berharga jangka pendek atau dengan suatu janji kesanggupan membayar (promes) oleh suatu bank kepada pihak lain. Promes dapat dijual sekali atau beberapa kali sebelum jatuh tempo, setiap pembeli memberikan diskonto dari nilai akhir promes untuk waktu dari tanggal dijual sampai waktu jatuh tempo dengan suatu laju diskonto. Contoh : Tentukan proses penjualan 5 bulan sebelum waktu pembayaran suatu promes pada Hartono dimana laju diskonto 8 %. Lihat surat promes berikut : Pekanbaru, 1 Januari 2006 Delapan bulan setelah tanggal tersebut bayarkan kepada Marlis atau order uang sejumlah empat ratus ribu rupiah. Bunga 4 %. ( Amran) Jawab : 1/1

Herispon, SE. M.Si

4/1

1/9

Matematika Keuangan -- 2007 | 71

Besarnya bunga = 400.000 ( 0,04 ) ( 8/12) Nilai akhir = 400.000 + 10.666,67 Periode diskonto 5 bulan. Diskonto = 410.666,67 ( 0,08 ) ( 5/12 ) Pendapatan = 410.666,67 - 13.688,89

= Rp 10.666,67 = Rp 410.666,67 = Rp 13.688,89 = Rp 396.977,78

Soal dan penyelesaian. 1. Diketahui nilai total dari kupon obligasi Rp 1200, jatuh tempo 1 bulan, uang bertambah 6 % dengan bunga tunggal. Diminta : a. Berapakah nilai hari dari kupon obligasi (M) b. Berapakah diskonto sebenarnya (D) Jawab : A = 1200 , p= 6 % , w = 1 bulan A = M(1+pw) a. M = A / ( 1 + pw ) = 1200 / 1 + (0,06) (1/12) = 1200 / 1,05 = Rp 1.194,03 b. D = A - M = 1.200 - 1194,03 = Rp 5,97 2. Tentukan nilai pada 1 Mei dari promes Rp 1.500 dibayar 15 Juni, yang bertambah dengan bunga tunggal 5 %. Berapakah diskonto yang sebenarnya. Jawab : Nilai tunai per 1 Mei Diketahui A = 1500 , p=5 % , w = 45 hari. M = A / ( 1 + pw ) = 1500 / ( 1 + (0,05) (45/360) = 1500 / 1,00625 = Rp 1.490,68 Diskonto yang sebenarnya : D = A - M = 1.500 - 1.490,68 = Rp 9,32 3. Untuk diskonto tunggal 5 % tentukanlah nilai hari ini dari : a. Rp 1.000 dalam tempo 1 tahun dari hari ini b. Rp 1.200 dalam tempo setengah tahun c. Rp 800 dalam tempo 3 bulan Jawab : a. D = A p w D = 1.000 (0,05) (1) D = Rp 50 M = A – D M = 1.000 – 50 D = Rp 950 b. D = A p w M=A -D

D = 1.200 (0,05) (6/12) M = 1.200 - 30

Herispon, SE. M.Si

D = Rp 30 M = Rp 1.170

Matematika Keuangan -- 2007 | 72

c. D = A p w M=A -D

D = 800 (0,05) (3/12) M = 800 - 10

D = Rp 10 M = Rp 790

4. Sebuah bank membebani bunga 6 % (sebagai diskonto tunggal) Jika X menandatangani promes 5 bulan untuk Rp 2.000. Berapakah jumlah yang diterima dari bank ?. Jawab : A = 2.000 , p = 0,06 , w = 5/12 M = A(1–pw) = 2.000 ( 1 – (0,06) (5/12) ) = 2.000 (0,975) = Rp 1.950 5. Berapakah laju bunga tunggal pada problem soal 4 diatas yang dibayar oleh X ? Jawab : X membayar Rp 50 untuk bunga 5 bulan atas sejumlah uang Rp 1.950/ Dari B = M p w ,maka : p = B /M.w P = 50 / 1.950 (5/12) p = 0,06154 Atau laju bunga tunggal = 6,15 % ( P ) 6. Tentukan nilai awal dari promes5 bulan dimana X menerima Rp 2.000 dari bank ( soal nomor 4 ). Jawab : M = 2.000 , P = 0,06 , w = 5/12 Maka dari M = A ( 1 – pw ) A = M / (1 + pw ) = 2.000 / ( 1 – (0,06) (5/12) ) = 2.000 / 0,975 = Rp 2.051,28 7. Suatu promes untuk 3 bulan Rp 1.000 tertanggal 5 Mei dipotong pada 26 Juni sebesar 6 %. Tentukan nilai perolehannya. Jawab :

5/5

26/6

5/8

Tanggal pembayaran pada tanggal 5 Agustus Nilai jatuh tempo Rp 1.000 Tempo dari diskonto ( 26 Juni s/d 5 Agustus) adalah 40 hari D =Apw M=A -D

D = 1.000 (0,06) (40/360) M = 1.000 - 6,67

Herispon, SE. M.Si

D = Rp 6,67 (diskontonya) M = Rp 993,33 (perolehannya)

Matematika Keuangan -- 2007 | 73

8. Promes 6 bulan sebesar Rp 2.500 dengan bunga 6 % tertanggal 20 Maret didiskontokan pada 7 Juli sebesar 5 %. Tentukan perolehannya. Jawab:

20/3

7/7

20/9

Nilai akhir = 2.500 + 2.500 (0,06) (6/12) Tempo diskonto dari 7 Juli s/d 20 September Perolehan = 2.575 - 2.575 (0,05) (75/360)

= Rp 2.575 = 75 hari = Rp 2.548,17

Soal Latihan. 1. Suatu hipotik mempunyai nilai akhir Rp 1.200. Tentukan nilainya 5 bulan sebelum jatuh tempo, jika uang berkembang 4,5 % (bunga tunggal). Berapakah diskonto sebenarnya ?. 2. X akan menerima Rp 750 termasuk keuntungan pada 14 Juni. Berapakah nilainya pada tanggal 30 April, bila uang berkembang 5 % dengan bunga tunggal. Berapakah diskonto sebenarnya ? 3. Tentukan diskonto tunggal dan nilai tunai dari : a. Rp 3.500 selama 60 hari dengan laju diskonto 4 % b. Rp 5.000 selama 90 hari dengan laju diskonto 3,5 % c. Rp 1.200 selama 4 bulan dengan laju diskonto 5 % d. Rp 2.500 dari 5 Maret s/d 10 April dengan laju diskonto 6 % e. Rp 4.000 dari 10 Okto s/d 13 Nopember dengan laju diskonto 5,5 % f. Rp 3.000 dari 15 Sept s/d 30 Oktober dengan laju diskonto 4,4 % 4. Bank membebankan bunga tunggal 6 % (sebagai diskonto tunggal) untuk hutang jangka pendek dari : a. Rp 1.500 untuk 60 hari b. Rp 1.750 untuk 6 bulan c. Rp 2.000 untuk 8 bulan d. Rp 1.000 dari 1 Maret s/d 20 April e. Rp 2.250 dari 5 Mei s/d 16 Juli f. Rp 3.000 dari 1 Juni s/d 18 Nopember Tentukanlah : 1) Jumlah yang diterima oleh peminjam (M) 2) Laju bunga tunggal (P) 3) Nilai awal hutang (A)

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 74

5. Tentukan perolehan dari tiap promes yang didiskonto berikut : No a b c d e f g

Nilai awal Rp 2.000 Rp 3.500 Rp 1.000 Rp 4.500 Rp 3.000 Rp 800 Rp 1.200

Tanggal 19 April 5 Juni 10 Juli 15 Maret 12 Januari 9 Februari 1 Nopembe

Tempo 3 bulan 4 bulan 75 hari 90 hari 6 bulan 45 hari 4 bulan

Laju bunga 4% 5% 6%

Tgl diskont 31 Mei 21 Agust 25 Juli 26 Mei 28 April 1 Maret 4 Februari

Laju diskon 6% 5% 5,5 % 8% 5% 6,5 % 5%

Jawaban latihan soal. 1.

M

= A/1+pw = 1.200 / 1,01875 Diskonto sebenarnya = D D = A - M = 1.200 - 1.177,91

2.

M M

3. a

D

= 1.200 / 1 + 0,045 ( 5/12) = Rp 1.177,91 ( nilai tunai = M)

= Rp 22,08

= nilai tunai =A/1+pw = 750 / 1 + (0,05) (47/360) = 750 /1,006527778 = Rp 745,13 Diskonto sebenarnya = D D = A - M = 750 - 745,13 = Rp 4,87

b.

= A. p. w = 3.500 (0,04) (60/360) M = Nilai tunai / hari ini M = A - D = 3.500 - 23,33 D M

c.

D M

= = = =

A. p. w 5.000 (0,035) (90/360) A - D 5.000 - 43,75

= = = =

A. p. w 1.200 (0,05) (4/12) A - D 1.200 - 20

Herispon, SE. M.Si

= Rp 33,23

= Rp 3.476,67

= Rp 43,75 = Rp 4.956,25

= Rp 20 = Rp 1.180

Matematika Keuangan -- 2007 | 75

d.

D M

e.

D M

f.

D M

4.a

= = = =

A. p. w 2.500 (0,06) (36/360) A - D 2.500 - 15

= = = =

A. p. w 4.000 (0,055) (34/360) A - D 4.000 - 20,77

= = = =

A. p. w 3.000 (0,045) (45/360) A - D 3.000 - 16,87

= Rp 2.485

= Rp 20,77 = Rp 3.979,23

= Rp 16,87 = Rp 2.983,13

= A(1–pw) = 1.500 ( 1 – (0,06) (60/360) ) B atau D = A - M = 1.500 - 1.485 M

P = D / M.w A = M/1–pw b

= Rp 15

M D

= = = =

= 1.500 (0,99) = Rp 1.485 = Rp 15

= 15 / 1.485 (60/360) = 15 / 247,5 = Rp 6,06 % = 1.500 / 1 – (0,06)(60/360) = 1.500 / 0,99 = Rp 1.515

A(1–pw) 1.750 ( 1 – (0,06) (6/12) ) A - M 1.750 - 1.697,5 = Rp 52,5

= 1.750 (0,97) = Rp 1.697,5

P = D / M.w = 52,5 / 1.697,5 (6/12) = 52,5 / 848,75 = Rp 6,18 % A = M / 1 – p w = 1.750 / 1 – (0,06)(6/12) = 1.750 / 0,97 = Rp 1.804,12 f

M D

= = = =

A(1–pw) 3.000 ( 1 – (0,06) (171/360) ) A - M 3.000 - 2.914,5 = Rp 85,5

= 3.000 (0,9715) = Rp 2.914,15

P = D / M.w = 85,5 / 2.914,5 (171/360) = 85,5 / 1.384,39 = Rp 6,2 % A = M / 1 – p w = 3.000 / 1 – (0,06)(171/360) = 1.500 / 0,9715 = Rp 3.088

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 76

5.a 19/4

31/5

18/7

di diskonto Tanggal pembayaran pada tanggal : 18 Juli Nilai jatuh tempo : Rp 2.000 Tempo dari diskonto ( 31 Mei s/d 18 Juli) adalah 49 hari D =Apw M=A -D

D = 2.000 (0,06) (49/360) M = 2.000 - 16,33

D = Rp 16,33 (diskontonya) M = Rp 1.983,67 (perolehannya)

5.e

12/1

28/4

12/7

Nilai akhir = 3.000 + 3.000 (0,04) (6/12) Tempo diskonto dari 28/4 s/d 12/7 Perolehan = 3.060 - 3.060 (0,05) (75/360)

= Rp 3.060 = 75 hari = Rp 3.028,125

----------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 77

BAB VII PEMBAYARAN CICILAN

Perhitungan pembayaran cicilan yang akan dibahas dalam sajian materi pada bab ini adalah pembayaran cicilan pada obligasi-obligasi keuangan. Suatu obligasi finansial sering diselesaikan pembayarannya oleh suatu deret pembayaran cicilan sebatas waktu dari obligasi yang harus dibayar pada tanggal jatuh temponya. Persoalannya adalah bagaimana mencari jumlah dari tanggal ke tanggal jika suatu himpunan pembayaran cicilan dibuat. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya adalah : a. Merchant‟s Rule b. United States Rule Ad.a. Merchant’s Rule. Pada perhitungan metode ini bunga dihitung pada hutang sebenarnya dan setiap pembayaran angsuran jatuh pada tanggal yang ditentukan. Jumlah yang diharapkan pada jatuh temponya adalah merupakan perbedaan antara jumlah dari seluruh hutang dengan jumlah dari semua pembayaran cicilan. Contoh : Suatu hutang sebesar Rp 5.000 diselesaikan dengan bunga 5 % dalam batas waktu 1 tahun. Debitur membayar Rp 800 dalam 5 bulan dan Rp 1.000 dalam 9 bulan. Tentukan neraca pembayaran pada jatuh temponya ?. Jawab : Bunga tunggal dihitung terhadap hutang sebenarnya dari Rp 5.000 untuk 1 tahun, pada pembayaran cicilan pertama ( Rp 800 ) untuk 12 – 5 = 7 bulan dan pada pembayaran kedua ( Rp 1.000 ) untuk 12 – 9 = 3 bulan. Hutang sebenarnya = Rp 5.000 Bunga untuk 1 tahun ( 0,05 x Rp 5.000 ) = Rp 250 Total = Rp 5.250 Pembayaran cicilan pertama Bunga untuk 7 bulan { 800 (0,05) (7/12) } Pembayaran cicilan kedua Bunga untuk 3 bulan { 1.000 (0,05)(3/12) } Jumlah akumulasi

= Rp 800 = Rp 23,33 = Rp 1.000 = Rp 12,50 = Rp 1.835,83

Demikian saldo pembayaran pada tanggal jatuh tempo adalah Rp 5.250 – Rp 1.835,83 = Rp 3.414,17.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 78

Cara kedua : Dalam persamaan nilai dengan akhir 1 tahun sebagai jatuh tempo yaitu : Rp 800 0

Rp 1.000

5

9

12 3/12

7/12

X + Rp 800 { 1 + (0,05)(7/12) } + 1.000 { 1 + (0,05)(3/12) } = Rp 5.000 { 1+(0,05)(1) } X + Rp 823,33 + Rp 1.012,5 = 5.250 X = Rp 5.250 – 1.835,83 X = Rp 3.414,17.

Ad.b. United States Rule. Pada perhitungan metode ini bunga dihitung terhadapsisa yang belum terbayar dari hutang setiap saat pembayaran cicilan dilakukan, dengan ketentuan : a. Jika pembayaran lebih besar dari bunga yang harus dibayar, perbedaan ini digunakan untuk mengurangi hutang. b. Jika pembayaran lebih kecil dari bunga yang harus dibayar, pembayaran dilakukan tanpa bunga sampai pembayaran cicilan yang dilakukan mempunyai jumlah yang cukup untuk menutupi bunga yang harus dibayar pada waktu itu. Dengan memakai contoh soal diatas : Suatu hutang sebesar Rp 5.000 diselesaikan dengan bunga 5 % dalam batas waktu 1 tahun. Debitur membayar Rp 800 dalam 5 bulan dan Rp 1.000 dalam 9 bulan. Tentukan neraca pembayaran pada jatuh temponya ?. Jawab : Hutang sebenarnya = Rp 5.000 Bunga untuk 5 bulan ( 5.000 (0,05)(5/12) = Rp 104,16 Jumlah yang harus dibayar setelah 5 bulan = Rp 5.104,16 Pembayaran cicilan ke I = Rp 800 Saldo setelah 5 bulan = Rp 4.304,16 Bunga untuk 4 bulan (4.304,16 (0,05)(4/12) = Rp 71,74 Jumlah yang harus dibayar setelah 9 bulan = Rp 4.375,90 Pembayaran cicilan ke II = Rp 1.000 Saldo hutang setelah 9 bulan = Rp 3.375,90 Bunga untuk 3 bulan (3.375,90 (0,05)(3/12) = Rp 42,20 Jumlah yang dibayar pada jatuh tempo = Rp 3.418,10

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 79

Pembelian Angsuran ( beli sewa ). Model perhitungan dalam pembelian sewa dimana sipembeli membayar sejumlah uang muka untuk suatu harga yang telah disetujui dan membuat sejumlah pembayaran cicilan baik perminggu, atau perbulan. Contoh : Sebuah TV dihargai Rp 600.000 dijual dengan uang muka sebesar Rp 100.000 dan cicilan 10 bulan dengan tiap cicilan Rp 50.000 ditambah dengan bunga tunggal sebesar 6 % dari sisa hutang yang belum dibayar. Berapa jumlah total yang harus dilunasi oleh sipembeli ?. Jawab : - Setelah pembayaran uang muka, sisa hutang adalah 600.000 – 100.000 = 500.000 - Pembayaran bulan ke I Rp 50.000 + Rp 500.000 (0,06)(1/12) = Rp 52.500 Sisa hutang adalah : Rp 500.000 – Rp 50.000 = Rp 450.000 - Pembayaran cicilan bulan ke II Rp 50.000 + Rp 450.000 (0,06)(1/12) = Rp 52.250 Sisa hutang adalah : Rp 450.000 – Rp 50.000 = Rp 400.000 - Pembayaran bulan ke III Rp 50.000 + Rp 400.000 (0,06)(1/12) = Rp 52.000 Sisa hutang adalah : Rp 400.000 – Rp 50.000 = Rp 350.000 - Pembayaran cicilan bulan ke IV Rp 50.000 + Rp 350.000 (0,06)(1/12) = Rp 51.750 Sisa hutang adalah : Rp 350.000 – Rp 50.000 = Rp 300.000 - Pembayaran bulan ke V Rp 50.000 + Rp 300.000 (0,06)(1/12) = Rp 51.500 Sisa hutang adalah : Rp 300.000 – Rp 50.000 = Rp 250.000 - Pembayaran cicilan bulan ke VI Rp 50.000 + Rp 250.000 (0,06)(1/12) = Rp 51.250 Sisa hutang adalah : Rp 250.000 – Rp 50.000 = Rp 200.000 - Pembayaran bulan ke VII Rp 50.000 + Rp 200.000 (0,06)(1/12) = Rp 51.000 Sisa hutang adalah : Rp 200.000 – Rp 50.000 = Rp 150.000 - Pembayaran cicilan bulan ke VIII Rp 50.000 + Rp 150.000 (0,06)(1/12) = Rp 50.750 Sisa hutang adalah : Rp 150.000 – Rp 50.000 = Rp 100.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 80

-

Pembayaran bulan ke IX Rp 50.000 + Rp 100.000 (0,06)(1/12) Sisa hutang adalah : Rp 100.000 – Rp 50.000 Pembayaran cicilan bulan ke X Rp 50.000 + Rp 50.000 (0,06)(1/12) Sisa hutang adalah : Rp 50.000 – Rp 50.000

-

= Rp 50.500 = Rp 50.000 = Rp 50.250 = Rp 0.

Jumlah total yang harus dilunasi oleh sipembeli TV yang bersangkutan adalah : A = 100.000 + ( 52.500 + 52.250 + 52.000 + 51.750 + 51.500 + 51.250 + 51.000 + 50.750 + 50.500 + 50.250 ) A A

= 100.000 + 513.750 = Rp 613.750

Adalah merupakan jumlah dari deret aritmetik untuk 10 suku. Jadi pembeli mebayar Rp 613.750 – Rp 600.000 = Rp 13.750 sebagai balas jasa dengan mebyara kontan pada waktu tanggal pembayaran. Sering jumlah yang harus dibayar tidak penuh pada waktu pembelian ditambahkan pada sisa yang belum dibayar pada hari itu dan jumlah ini dibayar secara mingguan atau bulanan. Contoh : Sebuah radio dijual tunai seharga Rp 63.000 atau dengan uang muka Rp 8.000 dan sisanya dibayar dalam 12 minggu sebesar Rp 5.000 tiap pembayaran perminggu. Disini sisa pembayaran Rp 63.000 – Rp 8.000 = Rp 55.000. Dan sisa pembayaran ( 12 x Rp 5.000 ) – Rp 55.000 = Rp 5.000 pada akhir jatuh tempo. Rumus Residu / Rumus Dagang. Persoalan untuk menentukan laju bunga dalam suatu transaksi telah dibahas dalam pembahasan bunga, anuitas, dan diskonto, disini diperkenalkan dengan sejumlah bentuk-bentuk sederhana dimana digunakan untuk pendekatan dari laju bunga. Dalam persoalan anggap suatu pembayaran cicilan ( R )digunakan untuk membayar sisa hutang ( B ) dan beban bunga ( I ), tentukan laju bunga, laju bunga dalam rumus dagang dapat ditentukan dengan rumus : 2MI r = B(n  1)  I (n  1) dimana : n = jumlah pembayaran, diluar uang muka M = jumlah pembayaran dalam satu tahun r = rata-rata bunga tahunan R = pembayaran untuk satu periode pembayaran Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 81

B I

= saldo yang belum dibayar = harga kas – uang muka = Rn – B = beban bunga.

Contoh : Sebuah TV dijual Rp 349.950 dengan tunai. Tetapi dapat dibayar Rp 49.950 sebagai uang muka dan cicilan 10 bulan dengan pembayaran tiap bulan Rp 35.000. Tentukan % beban bunga. Jawab : n = 10 , M = 12 , R = 35.000 , B = 349.950 – 49.950 = 300.000 I =Rn -B = 35.000 (10) – 300.000 = Rp 50.000.

r

2MI B(n  1)  I (n  1) 2(12)(50.000) = = 1.200.000 / 2.850.000 = 0,421 300.000(10  1)  50.000(10  1) = 42,1 %

=

Rumus Pembanding Tetap Dengan anggapan bahwa tiap pembayaran R terdiri dari pembayaran kembali sisa hutang dan beban bunga, dalam hal yang sama sebagai hutang sebenarnya B ditambah beban bunga I, dapat ditentukan dengan rumus : 2 MI r = B (n  1) dengan menggunakan soal diatas, dapat ditentukan r dengan rumus : 2 MI 2(12)(50.000) r = = B (n  1) 300.000(10  1) = 1.200.000 / 3.300.000

= 0,364

atau

36,4 %

Rumus Pembayaran Seri Dengan anggapan bahwa jumlah dari nilai tunai pada tanggal pembelian dari suatu barisan / sederajat pembayaran R dengan diskonto sederhana (tunggal) d % untuk sisa pembayaran B, dapat ditentukan dengan rumus : d

=

2MI Rn(n  1)

dengan menggunakan soal diatas, dapat ditentukan :

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 82

d

=

2(12)(50.000) = 1.200.000 / 3.850.000 = 0,3116 = 31,2 % 35.000(10)(10  1)

Rumus Pembanding Langsung Adalah suatu rumus yang lebih teliti dari rumus sebelumnya. 6 MI r = dengan tetap menggunakan soal diatas, maka dapat 3B(n  1)  I (n  1) ditentukan nilai r sebagai berikut : r =

6(12)(50.000) = 0,3478 = 34,8 % 3(300.000)(10  1)  50.000(10  1)

Soal dan penyelesaian 1. Pada tanggal 1 Juni 2006 si A meminjam uang Rp 5.000 dengan bunga 6 %. Ia membayar Rp 2.000 pada tanggal 15 Juli 2006, Rp 40 pada tanggal 20 Oktober 2006, Rp 2.500 pada tanggal 25 Januari 2007. Tentukan jumlah yang harus dibayar pada 15 Maret 2007 : a. Dengan Hukum Merchan‟t b. Dengan United States Rule Jawab : a. Dari perhitungan pada garis waktu, dengan 15 Maret 2007 sebagai hari valuta dan X jumlah yang diharap :

287 hari 5.000 1/6-06

15/7-06 2.000

20/10-06 40

25/1-07 2.500 49 hari

15/3-07

146 hari 243 hari X + 2.500 { 1 + (0,06) (49/360) } + 40 { 1 + (0,06)(146/360) } + 2.000 { 1 + (0,06)(243/360) } = { 5.000 ( 1 + 0,06 (287/360) } X + 2.520,42 + 40,97 + 2.081,00 = 5.239,17 X = 5.239,17 - 4.642,39 = Rp 596,78.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 83

b. Hutang pada 1 Juni 2006 Bunga ( 1/6 s/d 15 /7 ) = 5.000 (0,06)(44/360) Jumlah sampai 15 Juli 2006 Pembayaran pada 15 Juli 2006 Sisa sampai 15 Juli 2006 Bunga dari 15 Juli s/d 20 Oktober 2006 ( 97 hari ) adalah = 3.036,67 (0,06)(97/360) = Rp 49,09. Pembayaran pada 20 Oktober 2006 hanya Rp 40 berarti lebih kecil dari beban bunga, jadi dihitung tanpa bunga. Bunga dari 15 Juli s/d 25 Januari 2007 (194 hari) adalah = 3.036,67 (0,06)(194/360) Jumlah sampai 25 Januari 2007 Pembayaran Rp 40 dan Rp 2.500 Sisa pada 25 Januari 2007 Bunga dari 25 Januari s/d 15 Maret 2007 (49 hari) adalah = 594,86 (0,06)(49/360) Jumlah yang dibayar sampai 15 Maret 2007

= Rp 5.000 = Rp 36,67 = Rp 5.036,67 = Rp 2.000,00 = Rp 3.036,67

= Rp 98,19 = Rp 3.134,86 = Rp 2.540,00 = Rp 594,86 = Rp = Rp

4,86 599,72

2. Sebuah mobil bekas dioperkan dengan harga Rp 600.000 tunai atau uang muka Rp 100.000 dan sisanya dibayar 9 bulan dengan tiap pembayaran Rp 60.000. Taksirlah laju bunga dengan menggunakan : a. Rumus dagang b. Rumus pembanding tetap c. Rumus pembanding langsung d. Rumus pembanding seri Jawab : Diketahui :

a.

r

n I

=

=

= 9 , R = 60.000 , B = 600.000 – 100.000 = 500.000 = Rn - B = 60.000 (9) – 500.000 = 40.000

2MI B(n  1)  I (n  1) 2(12)(40.000) = 960.000 / 4.680.000 = 0,2051 500.000(9  1)  40.000(9  1)

= 20,51 %

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 84

b.

r

=

2 MI B (n  1)

=

2(12)(40.000) 500.000(10  1)

= 960.000 / 5.000.000

= 0,192

atau

19,2 %

r

=

6 MI 3B(n  1)  I (n  1)

r

=

6(12)(40.000) = 0,188 = 18,8 % 3(500.000)(9  1)  40.000(9  1)

d

=

2MI Rn(n  1)

d

=

2(12)(40.000) 60.000(9)(9  1)

c.

d.

= 960.000 / 5.400.000 = 0,1777 = 17,8 %

3. Perusahaan simpan pinjam menetapkan bunga 2 % untuk pinjaman lebih kecil dari Rp 500.000. Dengan menggunakan rumus pembandingan langsung, tentukan laju beban bunga untuk pinjaman Rp 5.000.000 bila dibayar dalam 24 bulan secara cicilan. Jawab : Bila n = 24 , M = 12 , B = 500.000 , I = 500.000 (0,02) (24) = 240.000 r

=

6 MI 3B(n  1)  I (n  1)

r

=

6(12)(240.000) 3(500.000)(24  1)  240.000(24  1)

= 17.280.000 / 43.020.000

Herispon, SE. M.Si

= 0,4016

= 40,16 %.

Matematika Keuangan -- 2007 | 85

BAB VIII PENYUSUTAN

Untuk menjaga kontinuitas kegiatan usaha dari proyek atau usaha yang direncanakan perlu dihitung besarnya biaya penyusutan pada setiap tahun. Sebuah perusahaan yang sehat pada umumnya mempunyai cadangan penyusutan / depresiasi untuk menjaga kontinuitas dari kegiatan usaha disamping menjaga kualitas produk serta untuk memudahkan dalam mengikuti perubahan aset dengan adanya perubahan tehnologi. Dana penyusutan adalah biaya yang dibebanan pada konsumen melalui perhitungan biaya-biaya atau harga pokok produksi. Dengan demikian layaknya dari sebuah studi kelayakan bisnis, sebenarnya telah diperhitungkan dana penyusutan sebagai pengganti dari aset yang tidak ekonomis lagi. Dilain pihak penyusutan dianggap sebagai laba dalam perhitungan rugi laba karena dana yang disisihkan sebenarnya merupakan penerimaan perusahaan yang dapat digunakan pada berbagai kepentingan. Jenis investasi yang perlu disusut terdiri dari mesin, bangunan / gedung dan peralatan lainnya yang memerlukan penggantian pada suatu masa sebagai akibat dari pemakaian. Besar kecilnya biaya penyusutan dari pada aset tergantug harga aset, umur ekonomis, metode yang digunakan dalam penyusutan. Metode penyusutan pada umumnya dapat dikelompokkan dalam 4 bagian yaitu : 1. Metode rata-rata, metode dapat dikelompokan lagi yaitu ; a. Metode garis lurus (straight line method b. Metode jam kerja mesin c. Metode unit produksi 2. Metode bunga majemuk, meliputi ; a. Metode anuitas b. Metode penyisihan dana (sinking fund method) 3. Metode penurunan, mencakup ; a. Metode jumlah angka tahunan b. Metode persentase 4. Metode penyusutan gabungan. Perusahaan berskala kecil lebih umum menggunakan metode rata-rata, sedangkan perusahaan berskala besar umumnya menggunakan metode bunga majemuk.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 86

1) Metode rata-rata. a. Metode garis lurus. Contoh : Pimpinan sebuah perusahaan yang bergerak dalam bidang pengangkutan membeli sebuah bus dengan harga Rp 80 juta. Berdasarkan pengalaman sebagai pimpinan perusahaan, bus ini dapat beroperasi secara ekonomis selama 5 tahun dan pada akhir tahun kelima masih dapat dijual dengan harga Rp 25 juta (scrapvalue). Berapakah jumlah penyusutan yang harus dilakukan pada setiap akhir tahun selama 5 tahun dan susunlah jadwal penyusutannya. Dengan menggunakan metode garis lurus (straight line method), maka penyusutan dapat ditentukan sebagai berikut : P = B–S/n dimana : P = jumlah penyusutan pertahun B = harga beli aset (original cost) S = nilai sisa ( scrap / residual / solvage value ) n = umur ekonomis aset Jawab : P

= B–S/n = Rp 80.000.000 - Rp 25.000.000 / 5 Total penyusutan sampai tahun ke 5 adalah = Rp 11.000.000 x 5 Ditambah nilai sisa

= Rp 11.000.000

= Rp 55.000.000 = Rp 25.000.000 = Rp 80.000.000 Berdasarkan cadangan dana ini pimpinan perusahaan pada akhir tahun ke 5 dapat mengganti bus lama dengan bus baru dari penggunaan dana penyusutan ini. Bila penyusutan 1 tahun sebesar Rp 11.000.000, maka : Penyusutan perbulan adalah = Rp 11.000.000 : 12 = Rp 916.666,67 Penyusutan per hari adalah = Rp 916.666,67 : 30 = Rp 30.555,55 Jika bus dalam satu hari dapat mengangkut penumpang sebanyak 80 orang (ratarata perhari), maka beban penyusutan pada setiap tiket yang dijual diperhitungkan sebesar Rp 30.555,55 : 80 = Rp 382,-. Ini berarti perlembar tiket yang dijual kepada konsumen dibebankan penyusutan sebesar Rp 382.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 87

Jadwal penyusutan tahunan dari bus. Akhir tahun 0 1 2 3 4 5

Penyusutan tahunan

Kumulatif

11.000.000 11.000.000 11.000.000 11.000.000 11.000.000

11.000.000 22.000.000 33.000.000 44.000.000 55.000.000

Nilai buku 80.000.000 69.000.000 58.000.000 47.000.000 36.000.000 25.000.000

b. Metode jam kerja mesin (service hours method ). Penyusutan yang dihitung berdasarkan jumlah jam kerja mesin, didasarkan pada jumlah jam kerja yang digunakan dalam tahun yang bersangkutan. Penyusutan ini dapat dihitung dengan rumus : J = B–S/E dimana : J = jumlah penyusutan per jam B = original cost S = solvage value n = jam kerja efektif Jawab : J = B–S/E = 10.000.000 - 2.000.000 / 80.000 = Rp 100 Jumlah penyusutan tahunan (J) tergantung pada jumlah jam kerja mesin yang digunakan pada setiap tahun. Besar kecilnya jumlah jam kerja mesin dalam satu tahun tergantung rencana produksi yang direncanakan setiap tahun terhadap produk yang dihasilkan. Bila produk yang dihasilkan belum dikenal oleh konsumen rencana produksi pada tahun pertama relatif lebih kecil dari tahun-tahun berikutnya, berikut merupakan contoh perencanaan produksi terhadap produk yang belum dikenal sebagai berikut : Rencana produksi tahun I = 10 % = 8.000 jam II = 15 % = 12.000 jam III = 20 % = 16.000 jam IV = 25 % = 20.000 jam V = 30 % = 24.000 jam = 100 % = 80.000 jam Setelah diketahui rencana pemakaian jam mesin maka dapat ditentukan penyusutannya yaitu : Tahun I = 8.000 jam x Rp 100 = Rp 800.000 II = 12.000 jam x Rp 100 = Rp 1.200.000 III = 16.000 jam x Rp 100 = Rp 1.600.000 IV = 20.000 jam x Rp 100 = Rp 2.000.000 V = 24.000 jam x Rp 100 = Rp 2.400.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 88

Jadwal penyusutan Akhir tahun 0 1 2 3 4 5

Penyusutan tahunan

Kumulatif

800.000 1.200.000 1.600.000 2.000.000 2.400.000

800.000 2.000.000 3.600.000 5.600.000 8.000.000

Nilai buku 10.000.000 9.200.000 8.000.000 6.400.000 4.400.000 2.000.000

c. Metode jumlah produk (product unit method). Penyusutan dalam metode ini dihitung berdasarkan jumlah produksi yang dihasilkan sama dengan penyusutan yang menggunakan metode jam kerja mesin. Dalam metode ini digunakan rumus : P = B–S/U Dimana : P = penyusutan B = harga beli awal (original cost) S = nilai sisa U = jumlah unit produksi Contoh : Bila mesin A dapat memproduksi sebanyak 100.000 unit selama umur ekonomis mesin, original cost Rp 10.000.000,-. Nilai sisa Rp 2.000.000, waktu 5 tahun. Tentukan jumlah penyusutan menurut metode jumlah produk. Jawab : P = B–S/U = 10.000.000 - 2.000.000 / 100.000 = Rp 80 Bila rencana produksi (unit) Tahun I = 25.000 unit x Rp 80 = Rp 2.000.000 II = 25.000 unit x Rp 80 = Rp 2.000.000 III = 20.000 unit x Rp 80 = Rp 1.600.000 IV = 15.000 unit x Rp 80 = Rp 1.200.000 V = 15.000 unit x Rp 80 = Rp 1.200.000 = 100.000 unit = Rp 8.000.000 Jadwal penyusutan Akhir tahun 0 1 2 3 4 5

Herispon, SE. M.Si

Penyusutan tahunan

Kumulatif

2.000.000 2.000.000 1.600.000 1.200.000 1.200.000

2.000.000 4.000.000 5.600.000 6.800.000 8.000.000

Nilai buku 10.000.000 8.000.000 6.000.000 4.400.000 3.200.000 2.000.000

Matematika Keuangan -- 2007 | 89

2) Metode bunga majemuk (compound interest method) Penyusutan yang dilakukan dengan menggunakan metode bunga majemuk didasarkan pada tingkat bunga yang berlaku dalam masyarakat disebut “oppurtunity cost of capital” yang disingkat dengan OCC. Metode penyusutan yang didasarkan pada bunga majemuk dilakukan dengan dua cara yaitu : a. Metode anuitas. Metode anuitas sebenarnya identik dengan perhitungan anuitas yang didasarkan pada nilai aset atau original cost sebagai present value. Contoh : Harga beli sebuah mesin Rp 50 juta dengan nilai sisa diperkirakan Rp 10.000.000. Umur ekonomis aset selama 5 tahun. Tingkat bunga efektif diperhitungkan sebesar 18 % pertahun. Tentukanlah ; besar penyusutan dan buat jadwal penyusutan. Jawab : Diketahui ; original cost = B = Rp 50 juta , nilai sisa = Rp 10 juta , n= 5 tahun dan r = 18 %. Penyusutan dapat dihitung dengan : P = S ( 1 + r )-n P = S ( 1 + r )-n = 10.000.000 ( 1 + 0,18 )-5 = 10.000.000 ( 0,437109216 ) = Rp 4.371.092 Nilai mesin yang disusut : An = B - P = 50.000.000 - 4.371.092 = Rp 45.628.908. Setelah jumlah penyusutan diketahui sebesar Rp 4.371.092 dan nilai mesin yang disusut sebesar Rp 45.628.908, maka dapat ditentukan jumlah penyusutan pertahun ( R ) dengan rumus : 1  (1  i )  n    i An = R  R = An   diubah menjadi n  i 1  (1  i )      i R = An  n  1  (1  i )    0,18 = 45.628.908  5  1  (1  0,18) 

= 45.628.908 ( 0,319777842 ) = Rp 14.591.113,74 ( jumlah penyusutan tahunan / pertahun )

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 90

Tabel penyusutan model anuitas Tahun

Penyusutan per tahun

Bunga 18 % ( 6 x 18 %) (3)

Penyusutan Bersih (2-3) (4)

(1)

(2)

0 1 2 3 4 5

14.591.113,74 14.591.113,74 14.591.113,74 14.591.113,74 14.591.113,74

9.000.000 7.993.599,53 6.806.046,97 5.405.455,83 3.752.037,41

5.591.113,74 6.597.514,21 7.785.066,77 9.185.657,9 10.839.928

Jumlah

72.955.568,70

32.957.139,73

40.000.000,00

Penyusutan Kumulatif (5+4) (5)

Nilai Sisa (6-4) (6)

5.591.113,74 12.188.627,95 19.973.694,72 29.159.352,64 40.000.000

50.000.000 44.408.886,26 37.811.372,05 30.030.310,17 20.844.652,27 10.000.000

Seperti terlihat pada tabel diatas jumlah penyusutan bersih selama 5 tahun adalah Rp 40.000.000 dan nilai sisa aset sebesar Rp 10.000.000 sehingga nilai depresiasi ditambah nilai sisa pada akhir tahun ke 5 sebesar Rp 50.000.000,-. Untuk mengatasi kenaikan harga dalam pergantian aset baru sebagai akibat inflasi telah dicadangkan dana sebesar Rp 32.957.139,73 b. Metode penyisihan dana ( sinking fund method) Penyusutan yang dilakukan dengan metode penyisihan dana merupakan deposito yang dilakukan oleh pemilik perusahaan pada setiap akhir tahun pada bank. Besar kecilnya deposito yang dilakukan tergantung pada besar kecilnya nilai aset, tingkat bunga dan umur ekonomis dari aset itu sendiri. Contoh : Harga beli sebuah mesin Rp 50 juta dengan nilai sisa diperkirakan Rp 10.000.000. Umur ekonomis aset selama 5 tahun. Tingkat bunga efektif diperhitungkan sebesar 18 % pertahun. Jawab : Diketahui ; original cost = B = Rp 50 juta , nilai sisa = Rp 10 juta , n= 5 tahun dan r = 18 %. Sn = ? , R = ? Sn = B - S = 50.000.000 - 10.000.000 = Rp 40.000.000,-.   i R = Sn   n  (1  i )  1   0,18 = 40.000.000   5  (1  0,18)  1 = 40.000.000 ( 0,139777841 ) = Rp 5.591.113,-. Dengan demikian penyusutan setiap akhir tahun dilakukan sebesar Rp 5.591.113,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 91

Tabel penyusutan metode penyisihan dana Tahun

Penyusutan per tahun

(0)

(1)

Bunga 18 % ( 4 x 18 %) (2)

Penyusutan Bersih (1+2) (3)

0 1 2 3 4 5

5.591.113 5.591.113 5.591.113 5.591.113 5.591.113

0 1.006.400 2.193.953 3.595.267 5.248.814

5.591.113 6.597.513 7.785.066 9.186.380 10.839.928

Jumlah

27.955.564

12.044.436

40.000.000,00

Jumlah Deposito (4+3) (4) 5.591.113 12.188.626 19.973.692 29.160.073 40.000.000

Nilai Sisa (5-3) (5) 50.000.000 44.408.887 37.811.374 30.026.308 20.839.928 10.000.000

Jadi jumlah dana yang disetorkan selama 5 tahun sebesar Rp 27.955.564 dengan jumlah bunga dari setoran selama 5 tahun sebesar Rp 12.044.436, sehingga jumlah dana pada akhir tahun kelima sebesar Rp 40.000.000, dan nilai sisa Rp 10.000.000,-. Dengan jumlah penyusutan tadi ditambah nilai sisa maka dapat dibelikan lagi mesin baru. 3) Metode penurunan. Metode penurunan adalah jumlah penyusutan yang dilakukan setiap tahun pada aset yang mengalami penurunan dari tahun ke tahun sesuai dengan aset yang makin lama makin tua / aus. Metode ini dapat dibagi dalam beberapa jenis yaitu : a. Metode jumlah angka tahunan (sum of years digit method) Jumlah dana penyusutan yang harus dikeluarkan pada setiap tahun didasarkan pada jumlah angka tahunan dari umur ekonomis aset. Biaya penyusutan dilakukan secara berkala yang mana akan menurunkan secara tetap sepanjang umur aktiva tersebut karena angka pecahan yang dikalikan harga perolehan dikurangi taksiran nilai sisa semakin kecil. Angka pembagi dari pecahan tersebut adalah tetap yaitu jumlah angka yang menunjukan umur aktiva setiap tahun. Contoh : Diketahui harga beli / harga perlehan/ original cost Rp 10.000.000,-. Nilai sisa adalah Rp 2.000.000, dan umur ekonomis dari aset itu 5 tahun. Hitunglah penyusutan dengan metode jumlah angka tahunan. Jika jumlah angka tahunan : 5 tahun

= 5+4+3+2+1 = 15

Jika jumlah angka tahunan : 10 tahun

= 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 92

Cara lain untuk menentukan jumlah angka tahunan adalah dengan menggunakan rumus :

 n  1 S = n    2  Dimana : S = jumlah angka tahunan n = periode / tahun Jika n = 5, maka S adalah

jika n = 10, maka S adalah :

 5  1 10  1 S = 5  = 15 S = 10 = 55   2   2    Dengan demikian nilai aset yang disusut pada soal diatas dapat dihitung dengan cara: Nacc

= OC - SV

Nacc OC SV

= nilai aset yang disusut = original cost / harga beli = Solvage value / nilai sisa

Jadi penyusutannya adalah : Nacc

= Rp 10.000.000 - Rp 2.000.000 = Rp 8.000.000,-.

Penyusutan setiap tahun adalah : Tahun 1 = 5/15 x Rp 8.000.000 2 = 4/15 x Rp 8.000.000 3 = 3/15 x Rp 8.000.000 4 = 2/15 x Rp 8.000.000 5 = 1/15 x Rp 8.000.000

= 2.666.667 = 3.133.333 = 1.600.000 = 1.066.667 = 533.333 = Rp 8.000.000

Penyusutan yang didasarkan pada metode jumlah angka tahunan yang tersebut diatas dapat dilihat dalam tabel berikut : Akhir tahun 0 1 2 3 4 5

Herispon, SE. M.Si

Penyusutan tahunan

Kumulatif

2.666.667 2.133.333 1.600.000 1.066.667 533.333

2.666.667 4.800.000 6.400.000 7.466.667 8.000.000

Nilai buku 10.000.000 8.333.333 5.200.000 3.600.000 2.533.333 2.000.000

Matematika Keuangan -- 2007 | 93

b. Metode persentase, yang terdiri dari : -

Metode penyusutan persentase rata-rata. Metode penyusutan persentase rata-rata disebut juga metode : Metode 2 x straight line Metode saldo menurun ( declining balance method ). Untuk metode ini pembebanan biaya penyusutan dilakukan secara berkala yang mana setiap tahunnya semakin menurun sepanjang umur taksiran dari aktiva tersebut. Untuk menghitung biaya penyusutan dimana nilai sisa diabaikan. Untuk tarif dalam % dilakukan dengan 2 kemudian dikalikan dengan harga perolehan. Dan untuk menghitung penyusutan tahun ke 1, 2, 3, dan seterusnya dikalikan dengan nilai bukunya. Contoh : Harga beli aset Rp 10.000.000 (dianggap baru 100 %) Umur ekonomis 5 tahun. Tentukan % tarif dan penyusutan tahunan. Jawab : 100 % Tarif % = = = 20 % 5 JangkaWaktu Declining balance method = 2 x 20 % = 40 % Jumlah penyusutan tahunan adalah : Tahun 1 = 40 % x Rp 10.000.000 = Rp 4.000.000 = Rp 10.000.000 - Rp 4.000.000 = Rp 6.000.000 (nilai buku) Tahun 2 = 40 % x Rp 6.000.000 = Rp 2.400.000 = Rp 6.000.000 - Rp 2.400.000 = Rp 3.600.000 (nilai buku) Tahun 3 = 40 % x Rp 3.600.000 = Rp 1.440.000 = Rp 3.600.000 - Rp 1.440.000 = Rp 2.160.000 (nilai buku) Tahun 4 = 40 % x Rp 2.160.000 = Rp 864.000 = Rp 2.160.000 - Rp 864.000 = Rp 1.296.000 (nilai buku) Tahun 5 = 40 % x Rp 1.296.000 = Rp 518.400 = Rp 1.296.000 - Rp 518.400 = Rp 777.600 (nilai buku) Tabel penyusutan metode % rata-rata :

Akhir tahun 0 1 2 3 4 5

Herispon, SE. M.Si

Penyusutan tahunan

Kumulatif

4.000.000 2.400.000 1.440.000 864.000 518.400

4.000.000 6.400.000 7.840.000 8.704.000 9.222.400

Nilai buku 10.000.000 6.000.000 3.600.000 2.160.000 1.296.000 777.600

Matematika Keuangan -- 2007 | 94

-

Metode penyusutan persentase tetap. Dalam metode persentase tetap rumus yang dapat digunakan adalah sebagai berikut : S r = 1 - n Dimana : r = dasar penyusutan dari aset B S = nilai sisa B = harga beli aset / original cost n = usia ekonomis dari aset Contoh : Harga beli aset Rp 10.000.000, nilai sisa Rp 2.000.000, umur ekonomis 5 tahun. Hitunglah % penyusutan . Jawab : S 2.000.000 r = 1 - n r = 1 - 5 B 10.000.000 = 1 - (0,2)1/5 = 1 - 0,72477966 = 0,275220336 Jika dibulatkan menjadi = 27,52 % Jumlah penyusutan tahunan adalah : Tahun 1 = Rp 10.000.000 x 27,52 % = Rp 10.000.000 - Rp 2.752.000

= Rp 2.752.000 = Rp 7.248.000

Tahun 2

= Rp 7.248.000 x 27,52 % = Rp 7.248.000 - Rp 1.994.649,6

= Rp 1.994.649,6 = Rp 5.253.350,4

Tahun 3

= Rp 5.253.350,4 x 27,52 % = Rp 5.253.350,4 - Rp 1.445.722,03

= Rp 1.445.722,03 = Rp 3.807.628,37

Tahun 4

= Rp 3.807.628,37 x 27,52 % = Rp 3.807.628,37 - Rp 1.047.859,327

= Rp 1.047.859.327 = Rp 2.759.769,043

Tahun 5

= Rp 2.759.769,043 x 27,52 % = Rp 2.759.769,043 - Rp 759.488,4405

= Rp 759.488,4405 = Rp 2.000.000

Tabel penyusutan metode % rata-rata : Akhir tahun Penyusutan tahunan 0 1 2.752.000 2 1.994.649,6 3 1.445.722,03 4 1.047.859,327 5 759.488,4405

Herispon, SE. M.Si

Kumulatif 2.752.000 4.746.649,6 6.192.371,63 7.240.230,957 8.000.000

Nilai buku 10.000.000 7.248.000 5.253.350,4 3.807.628,37 2.759.769,043 2.000.000

Matematika Keuangan -- 2007 | 95

4) Metode penyusutan gabungan. Apabila aset yang disusut lebih dari satu, mempunyai umur ekonomis yang berbeda dan harga beli serta nilai sisa yang berbeda, biasanya dalam perhitungan penyusutan dilakukan dengan metode penyusutan gabungan. Contoh : Mesin

Harga beli

Nilai sisa

A B C Jumlah

10.000.000 7.000.000 5.000.000 22.000.000

2.000.000 1.000.000 400.000 3.400.000

Jumlah penyusutan 8.000.000 6.000.000 4.600.000 18.600.000

Umur mesin (tahun) 5 4 10 19

Penyusutan Tahunan 1.600.000 1.500.000 460.000 3.560.000

Jumlah penyusutan dalam suatu tahun yang dihitung berdasarkan penyusutan tetap adalah : % Penyusutan %P

JumlahPenyusu tan Tahunan JumlahH arg aBeliAset 3.560.000 = = 0,161818181 = 16,18 % 22.000.000

=

Jumlah penyusutan tahunan adalah : 0,161818181 x Rp 22.000.000

= Rp 3.600.000

Lamanya waktu untuk penyusutan : = Rp 18.600.000 : Rp 3.600.000

= 5 tahun, 2 bulan.

--------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 96

BAB IX NILAI WAKTU UANG

1. Pengertian. Nilai waktu uang (time value of money) merupakan konsep yang harus dipahami oleh seseorang yang akan menanamkan modal /dananya pada suatu usaha tertentu, guna memperkecil resiko yang mungkin timbul khususnya resiko finansial. Demikian halnya maka kajian-kajian dan perhitungan-perhitungan nilai waktu uang sangat erat kaitannya dengan aktivitas investasi baik pada real assets maupun pada finansial assets. Investasi pada real assets adalah investasi pada aktiva tetap yang pada dasarnya akan dibicarakan masalah bagaimana melakukan suatu tindakan yang optimal dari sejumlah modal ataupun dana yang akan diinvestasikan pada penguasaan tanah (proyek pertanian, perkebunan, perikanan, dan lainnya), pembangunan atau pembelian gedung atau bangunan, pembelian peralatan mesin dan lainnya. Sedangkan investasi pada finansial assets dapat dilihat dalam bentuk investasi dalam leasing (sewa menyewa), pembayaran kembali obligasi, saham, atau surat berharga jangka pendek maupun surat berharga jangka panjang. Atau investasi pada berbagai aktiva / proyek yang sumber pendanaannya berasal dari dana sendiri atau dari dana pinjaman sehingga dapat menghasilkan tingkat keuntungan yang diperoleh sesuai dengan tujuan yang telah ditetapkan perusahaan. Karena dalam investasi berkenaan dengan suatu nilai yang akan ditanamkan dalam waktu yang cukup panjang, maka perlu diketahui dan dipahami konsep nilai waktu uang (time value of money), karena permasalahan yang akan dihadapi selanjutnya dalam berinvestasi adalah bagaimana suatu investasi dapat dilakukan dengan memperhatikan beban atau bunga yang ditanggung dan diperoleh, tingkat resiko, dan tingkat keuntungan yang diisyaratkan, investasi yang ditanamkan pada suatu aktiva atau proyek biasanya diukur dalam satuan uang (rupiah, dolar dan lainnya). Uang yang diinvestasikan dapat menghasilkan suatu keuntungan (bunga / margin) untuk suatu periode tertentu, maka uang mempunyai nilai waktu. Ini ditunjukkan dengan kecenderungan, kesukaan kita (preferensi) untuk menerima pada saat ini sejumlah uang yang sama dari pada nanti atau lebih suka mengkonsumsi sekarang (present consumtion) dari nanti (future consumtion). Sebaliknya kita akan memilih membayar sejumlah uang yang sama diwaktu yang akan datang (future payment) dari pada waktu sekarang (present payment). Dengan demikian kita mengakui bahwa uang tidak sama nilainya untuk waktu yang berbeda. Semakin jauh dimensi waktu yang dilalui semakin kecil nilai uang tersebut, dengan kata lain rupiah saat ini lebih tinggi nilainya dari pada rupiah yang akan datang. Bagaimana kasus yang terjadi antara sebuah bank dengan nasabah debiturnya ? apakah ada hubungannya dengan nilai waktu uang ?. Dalam kasus ini dapat kita lihat bahwa bank memberikan sejumlah pinjaman kepada nasabahnya terikat dalam waktu yang cukup panjang, karena keterikatan pada waktu inilah nilai uang itu berubah. Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 97

Ditambah dengan kepentingan dari pihak bank yang membebankan biaya-biaya dan keuntungan terhadap pinjaman yang diterima oleh debitur, maka bank menetapkan mark up / beban bunga yang harus ditanggung nasabah. Masalah tidak sampai disitu saja nasabah juga diharuskan untuk memberikan jaminan (borg) kepada bank sebagai antisipasi resiko yang mungkin timbul dari nasabah. Melihat pada argumen diatas jelaslah bahwa dalam konsep nilai waktu uang (time value of money) menunjukkan kepada kita dimana nilai uang saat ini lebih tinggi nilainya dari pada nilai uang pada n tahun yang akan datang, dan kenyataan ini tidak dapat kita tolak dan itu berlaku semenjak uang itu ada, sejumlah uang yang dibayarkan atau yang diterima sebagai kompensasi terhadap penggunaan uang tersebut disebut “bunga”. Nilai waktu uang adalah suatu pemikiran yang didasarkan atas perhitungan bahwa nilai uang pada waktu yang akan datang tidak sama dengan nilai uang pada saat sekarang. Inilah yang dikaitkan dengan investasi pada real asset atau financial assets. Perhitungan nilai sekarang menunjukkan berapa besar nilai uang yang akan diterima pada n tahun yang akan datang, jika dinilai pada saat sekarang. Discounting atau perhitungan nilai sekarang (present value) berhubungan terbalik dengan perhitungan nilai masa datang (berganda, majemuk / compounding). Presen value menghitung nilai uang yang akan datang berdasarkan nilai sekarang, sedangkan nilai masa datang menghitung nilai uang yang akan diterima mendatang (future value) berdasarkan bunga berganda atas uang yang dikeluarkan sekarang. Karena dalam konsep nilai waktu uang terkandung dua unsur yaitu nilai sekarang (present value), dan nilai masa datang (future value) akan dijelaskan lebih lanjut. 2. Nilai sekarang (present value). Present value adalah menghitung nilai sekarang dari sejumlah uang yang akan diterima (proceeds) pada n tahun yang akan datang. Metode perhitungan dalam present value menggunakan apa yang disebut discounting (memendekan, memotong) sejumlah nilai dimasa datang menjadi sebesar nilai sekarang, dengan memakai suatu tingkat bunga (rate) yang disebut interest faktor atau discount faktor. Sehingga dalam perhitungan nilai sekarang tingkat bunga yang dikenakan disebut interest faktor atau discount faktor yang dilambangkan dengan IF atau DF. Perhitungan nilai sekarang dapat menggunakan rumus : 1 Fn PV = Fn atau PV = atau PV = Fn ( 1+ r)-n n n (1  r) (1  r ) Dimana : PV = nilai sekarang Fn = nilai masa datang / nilai yang diterima r = tingkat bunga / discount rate n = periode waktu ( bulan, tahun ) 1 Sedangkan atau ( 1 + r )-n disebut faktor discounting (interest faktor/discount n (1  r) faktor) yang menyebabkan nilai yang akan datang menjadi sebesar nilai sekarang.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 98

Contoh : 1. Si A menyimpan uang di bank sebesar Rp 30.000.000 selama 3 tahun dengan tingkat bunga 10 % pertahun. Berapa nilai sekarang dari simpanan si A tersebut ?. Jawab : Diketahui Fn = 30.000.000 , n = 3 tahun , bunga = 10 % 1 1 PV = Fn maka PV = 30.000.000 n (1  0,1) 3 (1  r) = 30.000.000 (0,75131) = Rp 22.539.300 PV =

Fn (1  r ) n

maka PV

PV = Fn ( 1+ r)-n maka PV

=

30.000.000 = Rp 22.539.444,03 (1  0,1) 3

= 30.000.000 ( 1 + 0,1 ) -3 = Rp 22.539.444,03

2. Jika uang disimpan sebesar Rp 100.000 selama 2 tahun dengan tingkat bunga 10 %. Berapakah nilai sekarang dari uang tersebut ? Jawab. 1 1 PV = Fn maka PV = 100.000 n (1  r) (1  0,1) 2 = 100.000 (0,8264) = Rp 82.640,-.

3. Nilai sekarang dari suatu cicilan. Nilai sekarang dari suatu cicilan atau pembayaran berkala/pembayaran series disebut dengan present value anuity. Present value anuity adalah menghitung nilai sekarang dari suatu anuity (cicilan/series) berkala dari suatu cicilan pembayaran atau penerimaan sejumlah uang. Pembayaran atau penerimaan ini dapat dilakukan di awal periode atau diakhir periode. Nilai sekarang dari suatu cicilan dapat dihitung dengan menggunakan rumus : 1. Bila penyetoran dilakukan diawal periode : 1 PV = Po (1  r ) n 1 Dimana : PV = nilai sekarang Po = jumlah pembayaran / penerimaan.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 99

Contoh : Si A setiap awal tahun melakukan penyetoran ke bank sebesar Rp 1.000.000 sampai dengan tahun ke 5, tingkat bunga 10 % pertahun. Berapakah nilai sekarang anuity dari simpanan si A tersebut ? Jawab : 1 PV = Po (1  r ) n 1 PV = 1.000.000 PV = 1.000.000 PV = 1.000.000 PV = 1.000.000 PV = 1.000.000

1 (1  r )11 1 (1  r ) 21 1 (1  r ) 31 1 (1  r ) 41 1 (1  r ) 51

=

= 1.000.000

= 1.000.000 x 0,909

=

909.000

= 1.000.000 x 0,826

=

826.000

= 1.000.000 x 0,751

=

751.000

= 1.000.000 x 0,683

=

683.000

PV setelah 5 tahun = 4.169.000 Pembayaran dan penerimaan yang dilakukan atau yang diterima oleh seseorang dapat dalam jumlah yang sama ( misal dari tahun 1 sampai tahun ke 5 jumlahnya Rp 1.000.000 seperti pada soal). Tapi pembayaran dan penerimaan dapat juga berbeda jumlahnya dari tahun ke tahun, maka untuk menentukan nilai sekarang dari cicilannya, cara menghitung sama saja ( baik jumlah yang sama atau jumlah yang berbeda). Lihat dalam bentuk pola berikut : 0

1

2

3

4

5

PV dari Proceeds 1.000.000 909.000 826.000 751.000 683.000 4.169.000 2. Bila penyetoran dilakukan diakhir periode : 1 PV = Po (1  r) n Dimana : PV = nilai sekarang Po = jumlah pembayaran / penerimaan.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 100

Contoh : Si A menawarkan kepada si B 5 tahun anuity dari sejumlah Rp 10.000 setahun atas dasar bunga 6 %. Berapakah nilai sekarang dari penerimaan tersebut selama 5 tahun ?. Jawab : 1 PV = Po (1  r) n 1 PV = 10.000 = 10.000 x 0,943 = 9.430 (1  0,06)1 1 PV = 10.000 = 10.000 x 0,890 = 8.900 (1  0,06) 2 1 PV = 10.000 = 10.000 x 0,840 = 8.400 (1  0,06) 3 1 PV = 10.000 = 10.000 x 0,792 = 7.920 (1  0,06) 4 1 PV = 10.000 = 10.000 x 0,747 = 7.470 (1  0,06) 5 PV setelah 5 tahun = 42.120 Pembayaran dan penerimaan yang dilakukan atau yang diterima oleh seseorang dapat dalam jumlah yang sama ( misal dari tahun 1 sampai tahun ke 5 jumlahnya Rp 10.000 seperti pada soal). Tapi pembayaran dan penerimaan dapat juga berbeda jumlahnya dari tahun ke tahun, maka untuk menentukan nilai sekarang dari cicilannya, cara menghitung sama saja ( baik jumlah yang sama atau jumlah yang berbeda). Lihat dalam bentuk pola berikut : 0

1

2

3

4

5

PV dari Proceeds 9.430 8.900 8.400 7.920 7.470 42.120 Atau dapat juga digunakan cara menghitung jumlah pembayaran atau penerimaan dengan rumus berikut :  1 1 1 1 1 1       ...  PV = R   1 2 3 4 5 (1  r ) (1  r ) (1  r ) (1  r ) (1  r ) n   (1  r )

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 101

Bila soal diatas dimasukan dalam rumus ini akan diperoleh hasil sebagai berkut :   1 1 1 1 1     PV = 10.000  1 2 3 4 5  (1  0,06) (1  0,06) (1  0,06) (1  0,06)   (1  0,06) = 10.000 (0,943 + 0,890 + 0,840 + 0,792 + 0,747 ) = 10.000 (4,212) = Rp 42.120 Jika pada perhitungan nilai sekarang yang menjadi kuncinya adalah faktor 1 discounting (interest faktor / discount faktor) dengan rumus : , maka pada (1  r) n perhitungan nilai sekarang dari suatu cicilan (present value anuity) disebut interest faktor anuity atau nilai sekarang dari interest faktor anuity yang disebut present value interest faktor anuity (PVIFA) yang dapat ditulis dalam rumus :

PV

 1   1   R = R  1  2  (1  r )   (1  r )

  1   1   R ,..., R 3  n   (1  r )   (1  r )

  

Inilah yang disebut dengan present value interest factor anuity (PVIFA) dan rumus PVIFA dapat pula ditulis dalam bentuk :  1  1  n  n (1  r ) n  1  (1  r )  atau 1  (1  r ) PVIFA = Po atau r r r Tapi rumus PVIFA hanya dapat digunakan dalam pembayaran atau penerimaan cicilan yang jumlah sama pada setiap setiap interval pembayaran, sedangkan bila pembayaran atau penerimaan dalam jumlah yang berbeda pada setiap interval cara menghitungnya harus dengan menggunakan cara tabel. 4. Nilai masa datang (future value). Future value adalah menentukan nilai masa yang akan datang berdasarkan bunga berganda atas sejumlah uang yang dikeluarkan sekarang. Perhitungan untuk menentukan nilai masa yang akan datang dengan memakai sistem bunga berganda disebut juga bunga majemuk ( compound value, ending amount, compound interest), dan rumus yang digunakan untuk nilai masa datang adalah : FV = P ( 1 + r )n Dimana : FV = jumlah yang akan diterima pada akhir tahun ke n (nilai masa datang) P = jumlah uang yang dibayarkan / disimpan r = tingkat bunga tahunan n = lama uang disimpan / jangka waktu

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 102

Contoh : Si A meminjamkan uangnya kepada si B sebesar Rp 200.000 untuk masa 5 tahun dengan tingkat bunga 8 % pertahun. Tentukan nilai uang tersebut setelah 5 tahun. Jawab : FV = P ( 1 + r )n = 200.000 ( 1 + 0,08 )5 = 200.000 (1,4693) = Rp 293.860 Model penerimaan di bank : Tahun

Modal (P) 200.000 216.000 233.280 251.942,4 272.097,8

1 2 3 4 5

Bunga 8 % (r) 16.000 17.280 18.662,4 20.155,40 21.767,82

Nilai akhir Fn = P + (P.r) 216.000 233.280 251.942,4 272.097,8 293.865,62

Pada perhitungan nilai masa akan datang yang menjadi kunci adalah apa yang disebut dengan faktor bunga berganda atau bunga majemuk (compounding interest faktor) dengan rumus ( 1 + r )n atau disebut juga CIF. 5. Nilai masa datang dari suatu cicilan. Nilai masa yang akan datang dari suatu cicilan (future value anuity) adalah menghitung nilai masa datang dari suatu pembayaran/penerimaan berkala (cicilan/series) dari sejumlah uang. Future value anuity dapat dihitung dengan rumus : Contoh : Dana yang ditabungkan secara berkala sebesar Rp 1.000.000 selama 5 tahun dengan bunga 10 %. Tentukan berapa nilai pada akhir tahu ke 5 dengan asumsi pembayaran dilakukan diakhir periode. Jawab : FV

= = = = = =

P ( 1 + r )n-1 1.000.000 ( 1 + 0,1 )1-1 = 2-1 1.000.000 ( 1 + 0,1 ) = 1.000.000 x 1,1 = 1.000.000 ( 1 + 0,1 )3-1 = 1.000.000 x 1,21 = 1.000.000 ( 1 + 0,1 )4-1 = 1.000.000 x 1,331 = 5-1 1.000.000 ( 1 + 0,1 ) = 1.000.000 x 1,4641= Compound sum setelah 5 tahun =

Herispon, SE. M.Si

1.000.000 1.100.000 1.210.000 1.331.000 1.464.100 6.105.100

Matematika Keuangan -- 2007 | 103

Bentuk perhitungan dapat pula dibuat dalam pola berikut : 1

2

3

4

5 PV dari Proceeds 1.000.000 1.100.000 1.210.000 1.331.000 1.464.100 6.105.100

Dapat juga dilakukan perhitungan dalam bentuk rumus yang lebih panjang untuk menentukan nilai masa datang dari suatu cicilan (compound sum) sebagai berikut : Cn = R1 [1 + r ]n-1 + R2 [ 1 + r ]n-2 + R3 [ 1 + r ]n-3 , …, + R [ 1 + r ]n = R{[1 + r ]5-1 + [ 1 + r ]5-2 + [ 1 + r ]5-3+ [ 1 + r ]5-4+ [ 1 + r ]5-5} = R{[1 + r ]4 + [ 1 + r ]3 + [ 1 + r ]2+ [ 1 + r ]1+ [ 1 + r ]0}

Rumus inilah yang disebut dengan faktor bunga berganda dari suatu anuity (cicilan) atau disebut juga compound value interest faktor anuity (FVIFA). Rumus tersebut dapat dalam bentuk sebagai berikut :  (1  r ) n  1 Cn = R   r   Dimana : Cn = nilai yang dicari R = penerimaan secara periodik n = panjangnya anuity

Contoh : Dana yang ditabungkan secara berkala sebesar Rp 1.000.000 selama 5 tahun dengan bunga 10 %. Tentukan berapa nilai pada akhir tahu ke 5. Jawab :  (1  r ) n  1 Cn = R   r    (1  0,1) 5  1 = 1.000.000   = 1.000.000 (6,1051) = Rp 6.105.100 0,1  

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 104

Jika soal yang disajikan sama dengan yang diatas, bedanya terletak pada angsuran pertahun yaitu : tahun ke 1 dan tahun ke 2 masing-masing Rp 2.000.000,-. Sedangkan tahun ke 3, tahun ke 4, dan tahun ke 5 masing-masing Rp 1.000.000,-. Bungan 10 % pertahun , tentukan nilainya pada akhir tahun ke 5. Jawab : FV = P ( 1 + r )n-1 = 2.000.000 ( 1 + 0,1 )1-1 = 2.000.000 2-1 = 2.000.000 ( 1 + 0,1 ) = 2.000.000 x 1,1 = 2.200.000 = 1.000.000 ( 1 + 0,1 )3-1 = 1.000.000 x 1,21 = 1.210.000 4-1 = 1.000.000 ( 1 + 0,1 ) = 1.000.000 x 1,331 = 1.331.000 = 1.000.000 ( 1 + 0,1 )5-1 = 1.000.000 x 1,4641= 1.464.100 Compound sum setelah 5 tahun = 8.205.100 Dapat juga dihitung dalam bentuk berikut : Jika Jika R R

 (1  0,1) 2  1 n = 2 dan r = 10 % maka   = 2,1 0,1   5  (1  0,1)  1 n = 5 dan r = 10 % maka   = 6,1051 0,1  

6,1051 2,1000

4,0051 = 2.000.000 (2,1) = Rp 4.200.000 = 1.000.000 (4,0051) = Rp 4.005.100 Total anuity = Rp 8.205.100

= 2.000.000 maka C2 = 1.000.000 maka C5

6. Nilai majemuk (compounding). Nilai majemuk dari sejumlah uang adalah jumlah uang pada permulaan periode (jumlah awal atau pokok) ditambah dengan jumlah bunga yang diperoleh selama periode tersebut. Nilai majemuk (compounding) dalam satu tahun dapat dibagi yaitu : 1. Tahunan (annual) 2. Tengah tahunan (semi annual compounding) 3. Kuartalan (quartely compounding) 4. Bulanan (monthly compounding) 5. Harian (daily compounding) Pemajemukan ganda (multiple compounding) selama satu tahun dapat dilihat pada rumusan sebagai berikut : Tahunan

FV = P ( 1 + r )n m. n

Tengah Tahunan

r  FV = P 1    m

m. n

Kuartalan

r  FV = P 1    m

Herispon, SE. M.Si

m=2 m=4

Matematika Keuangan -- 2007 | 105

m. n

Bulanan

r  FV = P 1    m

Harian

r  FV = P 1    m

m = 12 m. n

m = 360 / 365

Dimana : FV = nilai yang dicari, P = nilai yang disimpan, r = tingkat bunga, n = lama waktu uang disimpan, m = frekwensi perhitungan bunga dalam satu tahun. Contoh : Perusahaan A menyimpan cadangan ekspansinya di bank sebesar Rp 200.000 untuk masa 2 tahun dengan bunga 8 % pertahun. Berapakah nilai uang tersebut pada akhir tahun ke 2, jika dihitung dengan cara tengah tahunan dan kuartalan. Jawab : Compounding Tengah tahunan.

r  FV = P 1    m

m. n

 0,08  = 200.000 1  2  

2.2

= 200.000 ( 1 + 0,04)4

= Rp 233.972,-. Sedangkan perhitungan dalam bentuk tabel dapat dilihat sebagai berikut : Periode 6 bulan 12 bulan 18 bulan 24 bulan

Simpanan 200.000 208.000 216.320 224.972,8

CIF 1,04 1,04 1,04 1,04

 r CIF = compounding interest faktor 1   =  m

Nilai akhir 208.000 216.320 224.972,8 233.971,73

 0,08  1  2  = 1,04  

Compounding Kuartalan.

r  FV = P 1    m

m. n

 0,08  = 200.000 1  4  

4.2

= 200.000 ( 1 + 0,02)8 = Rp 234.330,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 106

Sedangkan perhitungan dalam bentuk tabel dapat dilihat sebagai berikut : Periode 3 bulan 6 bulan 9 bulan 12 bulan 15 bulan 18 bulan 21 bulan 24 bulan

Simpanan 200.000 204.000 208.080 212.242 216.487 220.817 225.233 229.737

 r CIF = compounding interest faktor 1   =  m

CIF 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02

Nilai akhir 204.000 208.080 212.242 216.487 220.817 225.233 229.737 234.331

 0,08  1  4  = 1,02  

7. Nilai majemuk dari suatu cicilan (compounding anuity). Sebenarnya nilai majemuk dari suatu cicilan (compounding anuity) sama dengan nilai masa datang dari suatu cicilan yang telah diuraikan sebelumnya, bedanya terletak pada lambang yang digunakan sebagai berikut : Ca = R1 [1 + r ]n-1 + R2 [ 1 + r ]n-2 , …, + R [ 1 + r ]1 + R [ 1 + r ]0 = R{[1 + r ]n-1 + [ 1 + r ]n-2 , …, + [ 1 + r ]1 + [ 1 + r ]0 } = R{[1 + r ]5-1 + [ 1 + r ]5-2 + [ 1 + r ]5-3+ [ 1 + r ]5-4+ [ 1 + r ]5-5} = R{[1 + r ]4 + [ 1 + r ]3 + [ 1 + r ]2+ [ 1 + r ]1 + [ 1 + r ]0} = R{[1 + r ]4 + [ 1 + r ]3 + [ 1 + r ]2+ [ 1 + r ]1 + 1 Dimana : Ca = nilai yang dicari (compounding anuity) R = penerimaan secara periodik n = panjangnya anuity. Contoh : Si A menabung setiap tahunnya di bank sebesar Rp 5.000 selama 5 tahun dengan suku bunga 6 % pertahun. Penyetoran dilakukan pada akhir tahun 1, akhir tahun 2 dan seterusnya. Berapa nilai majemuk dari simpanan si A selama 5 tahun tersebut. Jawab : Ca = R{[1 + r ]n-1 + R [ 1 + r ]n-2 + R [ 1 + r ]n-3+ R [ 1 + r ]n-4 + 1 = 5.000 {[1 + 0,06 ]5-1 + [ 1 + 0,06 ]5-2 + [ 1 + 0,06 ]5-3+ [ 1 + 0,06 ]5-4 + 1 } = 5.000 { (1,2624)+(1,1910)+(1,1236)+(1,06)+ 1} = 5.000 (5,637) = Rp 28.185,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 107

Bentuk perhitungan dapat pula dibuat dalam pola berikut : 1 5.000

2 5.000

3 5.000

4 5.000

5 5.000 PV dari Proceeds 5.000 5.300 5.618 5.955 6.312 Jumlah compound sum 28.185

Dapat diambil kesimpulan bahwa terdapat pandangan yang jelas mengenai nilai waktu uang (time value of money) yang merupakan dasar untuk memahami topik pada materi ini. Dimana diketahui dalam perhitungan nilai sekarang disebut pendiskontoan atau discounting, sedangkan menghitung nilai masa datang disebut compounding. Latihan : 1. Si A membeli surat berharga senilai Rp 10.000 dan memperoleh bunga 15 % pertahun. Berapakah yang akan ia terima pada akhir tahun kelima ? 2. Jika Si A membeli surat berharga senilai Rp 1.000 dan memperoleh bunga 10 % pertahun. Berapakah yang ia terima pada akhir tahun tersebut ?. 3. Pada suku bunga 12 % si A ingin mengetahui jumlah nilai yang akan datang dari Rp 10.000 dengan pemajemukan kuartalan selama 5 tahun, tentukanlah nilai akhirnya ?. 4. Berapakah nilai sekarang untuk Rp 1.000 pada akhir tahun ke 3 mendatang ?, bila : a. dengan tingkat bunga 10 % b. dengan tingkat bunga 100 % c. dengan tingkat bunga 0 % 5. Rp 1.000 diterima pada akhir tahun 1, Rp 5.000 diterima akhir tahun ke 2, dan Rp 10.000 diterima pada akhir tahun ke 3. Berapakah nilai sekarang penerimaan tersebut?, bila : a. tingkat bunga 4 % b. tingkat bunga 25 % 6. Rani biasanya menjual barang dagangannya secara tunai dengan harga Rp 75.000 persatuan. Sekarang ia ingin menjual secara kredit dengan jangka waktu 3 bulan, dimana setiap bulannya pembeli harus mengangsur dalam jumlah yang sama. Kalau ia mempertimbangkan tingkat bunga 2 % per bulan, dan angsuran pertama dilakukan satu bulan setelah pembelian, berapa jumlah angsuran tersebut ?. 7. Mana yang saudara pilih ? menerima sekarang sejumlah uang Rp 10.000.000,-. Atau menerima dalam jumlah yang sama pada 5 tahun yang akan datang. Jawablah dari pandang nilai waktu uang dan berikan contoh nyata dalam sebuah harga barang.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 108

8. Hubungan inflasi dengan nilai waktu uang. Pembahasan mengenai nilai waktu uang telah diuraikan diatas, dimana diketahui bahwa nilai uang dari waktu ke waktu selalu mengalami perubahan, berarti nilai uang tidak sama dari kondisi yang telah berlalu, saat sekarang, ataupun disaat yang akan datang. Bila dihubungkan dengan inflasi, apakah inflasi mempunyai kontribusi terhadap perubahan nilai waktu uang ?. Untuk lebih jelas kita harus melihat kepada apa itu inflasi dan mengapa terjadi inflasi. Inflasi berasal dari kata inflate, inflation yang berarti memompa, membumbung / melambung. Sementara kata inflasi sering dikaitkan dengan kondisi ekonomi dan keuangan pada suatu negara. Inflasi dalam bidang moneter / keuangan menyangkut pada barang, uang dan berkaitan dengan harga (baik harga barang maupun harga uang itu sendiri), sehingga bila terjadi kwantity of money dimana jumlah uang lebih banyak dari jumlah barang (barang lebih sedikit) menyebabkan harga naik yang berlaku secara umum. Dengan demikian inflasi adalah terjadinya kenaikan harga-harga yang berlaku secara umum dan terus menerus. Dari sudut pandang konsumen inflasi tidak perlu terjadi dengan kata lain harga barang tetap atau cenderung menurun, tapi sudut pandang produsen inflasi dalam arti terkendali dibutuhkan karena dapat dijadikan stimulus dalam kegiatan produksi dan penjualan produknya. Dalam sudut pandang ekonomi dan moneter inflasi dapat dilihat dari beberapa sudut pandang yaitu : 1. Didasarkan pada parah/tidaknya inflasi. Parah atau tidaknya inflasi dapat dilihat pada laju inflasi sendiri, laju inflasi dapat dibagi dalam beberapa kategori yaitu : a. Inflasi ringan, laju inflasinya dibawah 10 % pertahun. Yang dikatakan laju inflasi 10 % pertahun yaitu kenaikan harga-harga secara umum 10 % pertahun b. Inflasi sedang, laju inflasinya antara 10 % sampai dengan 30 % pertahun. c. Inflasi berat, laju inflasinya antara 30 % sampai 100 % pertahun. d. Hiperinflasi, laju inflasi diatas 100 %. Dalam kondisi hiperinflasi biasa masyarakat enggan memegang uang karena nilai uang menurun secara drastis, sikap masyarakat seperti ini justru menambah keruwetan moneter karena dia enggan memegang uang dan melemparkan uangnya kepasar untuk ditukarkan dengan barang-barang, sehingga jumlah uang yang beredar semakin banyak. Sebaliknya dari sikap masyarakat yang diharapkan dalam keadaan hiperinflasi ini adalah masyarakat lebih dapat menahan diri dari menghamburkan uangnya. 2. Didasarkan pada sebab awal inflasi. Sebab-sebab awal inflasi dapat dilihat dalam dua sudut yaitu : a. Demand inflation. Dalam kondisi ini, inflasi yang terjadi karena ada pergeseran pola komsumsi dalam masyarakat, pola konsumsi masyarakat dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu ; pendapatan, tingkat pertumbuhan penduduk, selera, perilaku dan kebutuhan masyarakat itu sendiri. Bila permintaan akan suatu barang semakin Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 109

lama semakin tinggi atau semakin banyak, maka harga cenderung naik atau produsen menaikan harga sampai pada titik keseimbangan. b. Cost Inflation / Cost fush inflastion. Dalam kondisi ini, inflasi yang terjadi karena kenaikan atau karena dorongan ongkos/biaya produksi yang naik. Diawali oleh kenaikan harga bahan baku, upah tenaga kerja, dan biaya tak langsung lainnya sehingga menyebabkan cost production naik, bila biaya produksi naik maka harga jual juga akan naik, bila harga jual naik maka harga dipasar akan naik pula. 3. Didasarkan pada asal inflasi. Didasarkan pada asal inflasi, dari dusut ini inflasi dapat dibagi dua yaitu : a. Domestic Inflation. Dalam kondisi ini, inflasi timbul dari keadaan dalam negeri, misalnya banyaknya permintaan masyarakat terhadap berbagai macam produk barang yang menyebabkan harga naik. Kebijakan pemerintah dalam bidang moneter dan fiskal, misalnya pemerintah menaikan tarif pengenaan pajak kepada perusahaanperusahaan, pemerintah melalui otoritas moneter menaikan suku bunga pinjaman, akibat dari kebijakan ini cost production naik. Kebijakan pemerintah dalam menaikan gaji dan tunjangan pegawai negeri sipil yang tidak berhubungan langsung dengan harga barang, tapi begitu pemerintah menaikan gaji pegawai maka akan terjadi gejolak atau perubahan harga-harga barang dipasar. b. Imported Inflation. Inflasi ini terjadi karena pengaruh dari luar negeri. Terjadinya inflasi ini bila suatu negara mempunyai ketergantungan yang besar terhadap suatu negara lain. Misalnya negara A sangat tergantung pada negara B dimana semua kebutuhan negara A disupply oleh negara B. Suatu ketika bilai terjadi inflasi di negara B dengan demikian semua harga barang di negara B menjadi tinggi sehingga menyebabkan pula supply barang ke negara A menjadi naik harganya yang berakibat harga dalam negara A dengan sendirinya menjadi tinggi. ( misal negara Jepang yang mempunyai ketergantungan yang tinggi terhadap supply BBM dari negara OPEC, atau Korea Utara yang sangat tergantung pada negara lain akan supply bahan makanan dan obat-obatan). Kita ketahui bahwa harga suatu barang / produk, misal pada tahun 1980, 1990, 2000, sekarang tahun 2007 tidaklah sama (banyak contoh dalam perekonomian bahwa harga sebuah barang dari waktu ke waktu tidak sama, seperti 1 kg beras, harganya dari Rp 800 per kilo, sampai sekarang tahun 2007 harga 1 kg beras Rp 4.000 sampai dengan Rp 6.000. Apa yang menyebabkan terjadinya perubahan pada harga barang-barang itu ? melihat uraian diatas dapat disimpulkan bahwa harga-harga barang dipengaruhi oleh ; banyak pemintaan atas barang itu, naiknya ongkos/biaya produksi dari barang-barang itu, kebijakan pemerintah / penguasa dan adanya penetapan suatu margin atau keuntungan yang diinginkan oleh penghasil barang –barang itu sendiri (produsen) atau oleh lembaga keuangan, sehingga inflasi tak pernah bisa dielakan atau dihapuskan dan selama itu pula nilai uang atau daya beli dari uang akan selalu berubah.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 110

9. Pandangan Islam tentang uang. Sebagai perbandingan dengan teori ekonomi konvensional-kapitalisme, Islam membicarakan uang sebagai sarana penukar dan penyimpan nilai, tetapi uang bukanlah barang dagangan. Mengapa uang berfungsi ?, uang menjadi berfungsi dan berguna hanya jika ditukarkan dengan benda yang nyata atau untuk membeli jasa, oleh karena itu uang tidak bisa dijual atau dibeli secara kredit. Dalam ekonomi Islam dibedakan pengertian antara uang dan modal, yang kadang kala kita sering menempatkan pengertian uang dan modal dalam posisi yang sama. Uang adalah barang khalayak (masyarakat luas / public goods), dimana uang bukanlah barang monopoli seseorang. Jadi semua orang berhak memiliki uang yang berlaku disuatu negara. Sementara modal tidak dapat dimiliki oleh semua orang atau modal dapat dimiliki orang per orang sebagai barang pribadi. Ibn Taymiyah (dalam Muhammad, 2002 : 34) mengatakan : bahwa “uang adalah sebagai alat tukar dan alat ukur nilai”. Melalui uang nilai suatu barang akan diketahui, dan mereka tidak menggunakannya untuk diri sendiri atau dikonsumsi. Hal serupa dikemukakan oleh muridnya (Ibn Qayyim) yaitu uang atau keping uang tidak dimaksudkan untuk benda itu sendiri, tetapi dimaksudkan untuk memperoleh barangbarang. Al-Ghazali (dalam Muhammad, 2002 : 34) mengatakan : bahwa “uang bagaikan kaca, kaca tidak memiliki warna, tetapi kaca dapat merefleksikan semua warna. Uang tidak memiliki harga, tetapi uang dapat merefleksikan semua harga. Melihat fungsi uang tersebut, menunjukkan bahwa dalam Islam adanya uang dapat memberikan fungsi kegunaan atau kepuasan kepada pemakainya. Oleh karena itu uang bukanlah komoditas. Uang itu sendiri tidak memberikan kegunaan akan tetapi fungsi uanglah yang memberikan kegunaan. Dengan demikian secara definitif dapat diajukan bahwa fungsi uang adalah : 1) uang sebagai media pertukaran (untuk transaksi), 2) uang sebagai alat untuk berjaga-jaga / investasi, 3) uang sebagai satuan hitung untuk pembayaran (ba‟i muajjal), 4) uang sebagai sesuatu yang mengalir (flow consept), 5) uang sebagai barang masyarakat (public goods) Money as Flow Concept. Telah disinggung diatas bahwa uang ibarat sesuatu yang mengalir, sehingga uang diibaratkan seperti air, jika air itu mengalir, maka air tersebut akan sehat dan bersih (terlepas dari usaha pencemaran baik sengaja atau tidak sengaja yang dilakukan manusia). Jika air itu berhenti mengalir maka air itu akan menjadi busuk dan berbau. Demikian halnya dengan uang. Uang yang berputar untuk produksi akan dapat memberikan manfaat atau kontribusi terhadap kemakmuran, kesejahteraan, dan kesehatan ekonomi masyarakat. Sementara jika uang ditahan / tidak berputar maka akan dapat menyebabkan kemacetan dalam roda perekonomian, sehingga timbul krisis atau penyakit-penyakit ekonomi lainnya. Dalam ajaran Islam uang harus diputarkan dalam aktivitas atau sektor riil atau melakukan investasi ekonomi pada sektor yang dapat memutar roda perekonomian Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 111

masyarakat, sehingga banyak masyarakat yang akan merasakan manfaatnya. Jika uang disimpan dan tidak diinvestasikan kepada sektor riil maka tidak akan mendatangkan apaapa, dan penyimpanan uang yang telah mencapai haulnya, menurut ajaran Islam akan dikenai zakat. Money as Public Goods. Uang adalah barang untuk masyarakat banyak. Bukan monopoli perorangan. Sebagai barang umum, maka masyarakat dapat menggunakan tanpa ada hambatan dari orang lain. Oleh karena itu dalam tradisi Islam menumpuk uang sanagt dilarang, sebab kegiatan menumpuk uang akan menganggu orang lain menggunakannya. Dari gambaran uang sebagai air yang mengalir dan sebagai barang publik, akhirnya dapat disimpulkan bahwa perbedaan antara modal dengan uang. Kaitan antara uang dan modal ini dapat dikiaskan antara kenderaan dengan jalan raya. Kenderaan adalah barang / milik pribadi, sedangkan jalan adalah barang / milik umum, jadi modal adalah milik pribadi dan uang milik umum. Dengan demikian kenyamanan berkenderaan akan didapatkan jika kenderaan tersebut berjalan diatas jalan raya. Dengan kata lain hanya dengan modal yang diinvestasikan kesektor riillah yang akan mendatangkan pendapatan berupa uang. 10. Pandangan Islam tentang nilai waktu uang. Berkenaan dengan uang, telah disinggung bahwa dalam ekonomi konvensional timbul suatu pemikiran yang disebut dengan nilai waktu uang (time value of money), bagaimana pandangan terhadap konsep ini ?, lebih jelasnya dapat dilihat paparan selanjutnya. Konsep time value of money pada dasarnya, merupakan intervensi kedalam konsep biologi yang diadopsi kedalam konsep ekonomi. Konsep time value of money muncul karena adanya asumsi uang disamakan dengan barang / benda hidup (sel hidup). Sel yang hidup, untuk satuan waktu tertentu dapat menjadi lebih besar dan berkembang. Pertumbuhan sel dalam ilmu biologi diformulasikan dengan rumus ; Pt = Po ( 1 + g )^t. Formula ini kemudian diadopsi dalam ilmu keuangan, sehingga asumsi uang sebagai sesuatu yang hidup terjadi. Dari formula tersebut akhirnya dirumuskan sebagai berikut : FV = Po ( 1 + I )^n, dimana FV nilai yang diinginkan/nilai yang tercipta, Po nilai dalam pembayaran atau penerimaan, i adalah tingkat bunga / interest. Sebagai contoh dapat dilihat pada sikap kreditur yang selalu menuntut adanya kewajiban yang dibayar oleh debitur tanpa memperdulikan apakah usaha debitur yang dibiayai oleh pinjaman akan memperoleh untung atau tidak, karena dalam akad kredit tidak dicantumkan point kalau rugi beban bunga tidak dibayar. Dalam pandangan Islam uang tidak bisa tumbuh dan berkembang dengan sendirinya, yang terjadi adalah adanya interest, kepentingan, keinginan yang disengaja dari sebagian manusia atau individu untuk meminta dan memaksakan kompensasi akibat pemakaian sejumlah uang atau modalnya, sehingga disebutlah bunga, bunga inilah yang menjadi perdebatan dalam Islam. Karena bunga dianggap riba, dan riba lebih banyak menimbulkan mudharat dari pada manfaat.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 112

Di dalam sistem ekonomi Islam, konsep time value of money tentunya tidak akan terjadi. Untuk menganalisis ini ada ajaran kuat dalam Islam, yaitu terdapat dalam AlQur‟an Surat Al-Ahsr ayat 1-3, yang menunjukan bahwa waktu bagi semua orang adalah sama kuantitasnya, yaitu 24 jam dalam sehari semalam, 7 hari dalam seminggu, dan 30 hari dalam sebulan. Namun nilai dari waktu itu akan berbeda dari satu orang dengan orang lainnya. Perbedaan nilai waktu tersebut adalah tergantung pada bagaimana seseorang memanfaatkan waktunya. Semakin efektif dan efisien seseorang menggunakan waktunya, maka akan semakin tinggi nilai waktu. Efektif dan efisien akan mendatangkan keuntungan di dunia bagi siapa saja yang melaksanakannya. Oleh karena itu siapapun pelakunya tanpa memandang suku, agama, ras secara sunnatullah ia akan mendapatkan keuntungan di dunia. Di dalam Islam, keuntungan bukan saja keuntungan di dunia namun yang dicari adalah keuntungan di dunia dan akhirat. Pemanfaatan waktu bukan saja harus efektif dan efisien, juga harus didasari dengan keimanan. Keimanan inilah yang akan mendatangkan keuntungan akhirat. Sebaliknya keimanan yang tidak mampu mendatangkan keuntungan di dunia, berarti keimanan tersebut tidak diamalkan. Islam mengajarkan carilah keuntungan akhirat tetapi jangan lupakan keuntungan di dunia. Implikasi dalam dunia bisnis, ajaran Al-Qur‟an tersebut mengindikasikan bahwa dalam bisnis selalu dihadapkan pada untung dan rugi. Keuntungan dan kerugian tidak dapat dipastikan untuk masa yang akan datang (lihat Al-Qur‟an Surat Lukman ayat 34). Bisnis pada dasarnya adalah hubungan antara return dan risk. Bisnis bukanlah aktivitas yang mendatangkan keuntungan tanpa ada resiko. Sebagaimana dijelaskan pada konsep time value of money yaitu untuk mengganti kondisi yang penuh dengan ketidak pastian dimunsulkan konsep discount rate (pembebanan besaran tingkat bunga dalam % atau nominal tertentu) tanpa melalui aktivitas produksi. Dalam ekonomi Islam penggunaan sejenis discount rate dalam menentukan harga mu‟ajjal (bayar tangguh) dapat dibenarkan, karena : 1. Jual beli dan sewa menyewa adalah sektor riil yang menimbulkan economic value added ( nilai tambah ekonomis ). 2. Tertahannya hak sipenjual (uang pembayaran) yang telah melaksanakan kewajibannya (menyerahkan barang atau jasa), sehingga ia tidak dapat melaksanakan kewajibannya kepada pihak lain. Ada beberapa asumsi dan kejadian yang dapat dijadikan rujukan analisisnya yaitu : a. Harga yang dibayar tangguh dapat lebih besar dari harga yang dibayar sekarang. b. Not due to inflation nor interest foregone ( dapat diartikan tidak akan ada dorongan/inflasi, kalau tidak ada kepentingan yang dibatalkan). c. Adanya penahanan hak pemilik barang. Demikian pula penggunaan discount rate dalam menentukan nisbah bagi hasil, juga dapat digunakan. Nisbah akan dikalikan dengan pendapatan riil (aktual), bukan dengan pendapatan yang diharapkan. Transaksi bagi hasil berbeda dengan transaksi jual beli dan sewa menyewa. Sebab dalam transaksi bagi hasil, hubungan antara kedua pihak tidak terjadi antara penjual dengan pembeli atau penyewa dengan yang menyewa. Dalam transaksi bagi hasil hubungan yang terjadi adalah hubungan antara pemodal dengan yang Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 113

memproduksikan modal tersebut. Hak bagi mereka berdua akan timbul ketika usaha memproduksi modal tersebut telah menghasilkan pendapatan atau keuntungan. Hak mereka adalah berbagi hasil atas pendapatan atau keuntungan tersebut, sesuai kesepakatan awal apakah bagi hasil itu akan dilakukan atas pendapatan atau keuntungan aktual. 11. Time value of money kontra Economic value of time a. Time value of money. Telah diuraikan cukup jelas diatas bahwa menurut teori keuangan konvensional mendasarkan bunganya dengan konsep nilai waktu uang dengan menggunakan rumus matematika tertentu. Nilai waktu uang (time value of money) adalah suatu pemikiran yang didasarkan atas perhitungan bahwa nilai uang yang akan datang tidak sama dengan uang pada saat sekarang. Dengan demikian nilai uang selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu, karena uang selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu maka timbullah suatu konsep untuk menetapkan tingkat bunga tertentu sebagai pengganti dari nilai yang berubah tersebut yang dapat disebut kompensasi atau bunga. b. Economic value of time. Dalam sudut pandang Islam konsep nilai waktu uang tidak bisa diterima, karena uang itu dianggap tidak berarti apa-apa, uang hanya sebagai alat tukar, sebagai media, sebagai alat pengukur, sebagai alat bayar, atau sebagai satuan hitung. Nilai yang tertera pada uang disebut nilai nominal, dan nilai nomimal ini sampai kapanpun akan tertulis seperti itu, yang membedakannya nanti adalah uang sebagai satuan alat hitung, misal pada tahun 1996 harga 1 unit sepeda motor merek “honda” dapat dibayar seharga Rp 4.500.000, pada tahun 2006 (setelah 10 tahun kemudian) harga 1 unit sepeda motor tersebut tidak dapat lagi dihitung seharga Rp 4.500.000, tapi menjadi kelipatan 3 dari harga tahun 1996 yaitu seharga Rp 13.500.000 pada tahun 2006. Timbul pertanyaan apakah nilai uang itu berubah ? jawabannya tidak, karena nilai uang sebesar Rp 4.500.000 adalah tetap, yang berubah adalah daya guna / daya beli dari nilai uang tersebut. Jadi nilai Rp 4.500.000 pada tahun 1996 menjadi tidak berdaya lagi pada tahun 2006 atas 1 unit sepeda motor merek honda. Dari kondisi-kondisi yang terjadi dalam konsep nilai waktu uang, maka Islam mengajukan suatu konsep yang berbeda dengan konsep nilai waktu uang. Kalau dalam konsep ekonomi atau keuangan konvensional dianggap bahwa uang mempunyai nilai dari waktu ke waktu. Sedangkan dalam konsep Islam waktulah yang mempunyai nilai yang disebut : economic value of time. Walaupun menurut konsep Islam, konsep time value of money ini dibantah, namun bukan berarti perangkat matematis yang digunakan oleh konsep tersebut tidak dipakai lagi. Rumus-rumus matematik yang digunakan dalam teori keuangan konvensional pada dasarnya dapat juga digunakan dalam keuangan syari‟ah, misal dalam menentukan tingkat keuntungan oleh bank syari‟ah.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 114

Dalam kasus ini halal haramnya suatu transaksi tidak terngantung pada rumus matematik yang digunakan atau yang dipakai, karena sesungguhnya matematik hanyalah sekedar alat saja. Suatu yang halal tetap halal, baik bila diukur dengan metode persentase ataupun tidak. Mungkin saja ada pihak-pihak tertentu keberatan atas konsep economic value of time, tapi rumus matematika dalam keuangan konvensional tetap dapat dipakai dengan model penerapan konsep Islam. Bedanya kalau dalam konsep nilai waktu uang penentuan besaran bunga atau tingkat keuntungan dalam persentase yang telah ditentukan didasarkan atas pendapatan dan keuntungan yang belum pasti diperoleh. Sementara dalam konsep Islam yang ada adalah bagi hasil menurut nisbah tertentu dalam persentase atau ratio atas keuntungan yang telah pasti diperoleh (keuntungan aktual). Bagi hasil atau nisbah dalam persentase yang dimaksud seperti 50 % : 50 %, 40 % : 60 %, 30 % : 70 % atau menurut ratio 50 : 50, 40 : 60, 30 : 70, nisbah atau ratio ini didasarkan pada pendapatan atau keuntungan aktual yang diperoleh. Kuantitas waktu sama bagi semua orang yaitu 24 jam sehari semalam, 7 hari sepekan, 30 hari sebulan. Namun nilai dari waktu akan berbeda dari seseorang dengan orang lainnya. Misalkan ; bagi seorang buruh kasar satu hari kerja bernilai Rp 50.000, bagi seorang manajer keuangan satu hari kerja bernilai Rp 250.000, sedangkan bagi seorang business satu hari kerja bernilai Rp 3.000.000,-. Jadi faktor yang menentukan nilai waktu adalah bagaimana seseorang memanfaatkan waktu itu. Semakin efektif dan efisien seseorang menggunakan waktunya, maka semakin tinggi nilai waktu yang ia peroleh. Dalam Al-Qur‟an Surat Al „Ashr ayat 1 sampai 3 disebutkan dan dijelaskan ; demi masa, sengguhnya manusia itu dalam kerugian, kecuali orang-orang yang beriman dan beramal shaleh dan berwasiat dengan kebenaran dan berwasiat dengan kesabaran. Sangat jelas sekali bahwa konsep economic value of time dalam Islam mengkritik konsep time value of money. Karena sesungguhnya orang-orang yang tidak dapat memanfaatkan waktunya dengan baik maka orang itulah yang waktunya tidak bernilai, dan sebaliknya orang yang dapat memanfaatkan waktunya dengan efektif dan efisien maka orang tersebut memperoleh keberuntungan, dengan catatan pemanfaatan waktu tersebut adalah yang disertai dengan keimanan, sehingga akan memberikan keuntungan di dunia dan keuntungan di akhirat.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 115

BAB X KONSEP NPV DAN IRR

1. Konsep Net Present Value (NPV). Net present value (NPV) adalah nilai sekarang bersih, model atau metode ini sering dijumpai dalam perhitungan manajemen keuangan, studi kelayakan bisnis, evaluasi proyek, dan juga ditemui dalam perhitungan matematika keuangan. Perhitungan NPV merupakan suatu model yang sering digunakan dalam membantu memecahkan persoalan dalam menentukan memilih atau tidak suatu investasi yang akan dilakukan, pemilihan metode NPV ini lebih dapat dianggap mewakili kepentingan investor dalam menghitung estimasi penerimaan (proceeds) yang akan diterima pada masa periode pelaksanaan investasi. Net present value adalah selisih antara nilai sekarang (present value) dari keseluruhan penerimaan (proceeds) dengan nilai sekarang dari sejumlah pengeluaran modal (net invesment / capital outlays / initial investment). Yang menjadi perhatian dalam metode NPV ini adalah nilai sekarang dari aliran kas masuk (cash inflow / net proceeds) yang didiskontokan /di mark up atas dasar biaya modal (cost of capital) atau tingkat pengembalian yang diisyaratkan / tingkat keuntungan yang diharapkan (rate of return). Dalam perhitungan NPV diterima atau ditolaknya suatu usul investasi mengacu kepada asumsi berikut : 1. Jika nilai sekarang dari keseluruhan penerimaan (proceesd) yang diterima lebih besar dari nilai sekarang net investment maka usulan investasi dapat diterima. ( PV of Proceeds > Net Investment : usul investasi diterima). 2. Jika nilai sekarang dari keseluruhan penerimaan (proceesd) yang diterima lebih kecil dari nilai sekarang net investment maka usulan investasi dapat ditolak. ( PV of Proceeds < Net Investment : usul investasi ditolak). Tapi ada kalanya pendekatan nilai sekarang ini mengubah hasil kedalam “profitability indeks” atau “desirability indeks” yaitu dengan cara membagi nilai sekarang dari keseluruhan proceeds yang diterima dengan nilai sekarang net investment. Jika profitability indeks lebih besar dari 1 (satu) maka usulan investasi dapat diterima, dan bila profitability indeks lebih kecil dari 1 (satu), maka usulan investasi dapat ditolak. Dalam perhitungan matematiknya sebagaimana telah diuraikan pada bab sebelumnya, bahwa penerimaan (proceeds) ada di estimasikan dalam jumlah yang sama, dan ada di estimasikan dalam jumlah yang berbeda. Jika jumlah proceeds sama pada setiap interval penerimaan dapat digunakan rumus nilai sekarang dari suatu anuity 1 1 (1  r ) n (PVIFA) yaitu : Po , bila proceeds berbeda pada setiap interval maka r perhitungan dengan menggunakan daftar atau tabel. Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 116

Contoh 1: Seorang pengusaha merencakan penanaman modal pada suatu proyek sebesar Rp 45.000. Hasil bersih sesudah dipotong pajak (proceeds) yang diterima setiap tahun selama 3 tahun berturut-turut adalah sebesar Rp 22.500. Jika tingkat pengembalian yang diharapkan (rate of return) 10 % pertahun. Apakah usul investasi diterima atau ditolak ?. 1 1 = n (1  0,1)1, 2,3 (1  r) Jawab : Dengan menggunakan daftar/tabel Tahun Proceeds 1 22.500 2 22.500 3 22.500 PV of Proceeds PV Net Investment (initial out lays) Net Presen Value (NPV positif)

Discount Rate 10 % 0, 9090 0,8264 0,7513

PV of Proceeds 20.452,5 18.594,00 16.904,25 55.950,75 45.000,00 10.950,75

1 (1  r ) n Jawab : Dengan menggunakan rumus PVIFA yaitu Po . r Dengan memasukan tingkat bunga kedalam rumus PVIFA3th,10% maka diperoleh interest 1 1 (1  0,1) 3 faktor anuitynya : = 2,4867 dikalikan dengan jumlah proceeds tahunan 0,1 yang diterima adalah : PV dari proceeds = 22.500 x 2,4867 = 55.950,75 PV Net Invesmenst = 45.000,00 Net present value = 10,950,75 1

Untuk menentukan indeks keuntungan (profitability indeks = PI) diperoleh dari hasil jumlah nilai sekarang proceeds dibagi dengan nilai sekarang net invesment sebagai berikut : P I = 55.950,75 / 45.000 = 1,2433. Kesimpulan dari pembahasan soal diats bahwa ditinjau dari nilai sekarang dan profitability indeks usulan investasi dapat diterima karena nilai sekarang proceeds lebih besar dari nilai sekarang net investasi sebesar Rp 10.950,75, dan profitability indeks lebih besar dari 1 yaitu 1,2433.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 117

Contoh 2 : Proyek A dan B membutuhkan investasi masing-masing sebesar Rp 800.000,-. Pola cash flow untuk masing-masing proyek diperkirakan sebagai berikut : Tahun Proyek A Proyek B 1 400.000 100.000 2 400.000 200.000 3 200.000 200.000 4 100.000 200.000 5 300.000 6 400.000 Discount rate diperhitungkan sebesar 8 %. Proyek manakah yang paling menguntungkan bila perhitungan didasarkan atas konsep NPV. Jawab : Proyek A Tahun Proceeds 1 400.000 2 400.000 3 200.000 4 100.000 PV of Proceeds PV Net Investment (initial out lays) Net Presen Value (NPV positif) P IA = 945.500 / 800.000

Discount Rate 8 % 0, 926 0,857 0,794 0,735

PV of Proceeds 370.400 342.800 158.800 73.500 945.500 800.000 145.500

Discount Rate 8 % 0, 926 0,857 0,794 0,735 0,681 0,630

PV of Proceeds 96.600 171.400 158.800 147.000 204.200 252.000 1.030.000 800.000 230.000

= 1,18

Proyek B Tahun Proceeds 1 100.000 2 200.000 3 200.000 4 200.000 5 300.000 6 400.000 PV of Proceeds PV Net Investment (initial out lays) Net Presen Value (NPV positif) P IB = 1.030.000 / 800.000 = 1,29

Dari hasil perhitungan diatas proyek B lebih menguntungkan, karena nilai sekarang netonya lebih besar dan profitability indeksnya juga lebih besar jika dibandingkan dengan proyek A, tapi kedua proyek tersebut mempunyai peluang untuk diterima karena NPVnya sama-sama positif.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 118

Contoh 3: Sebuah perusahaan saat ini sedang mempertimbangkan dua kesempatan investasi yang mutually exclusive. Kedua investasi itu memerlukan dana Rp 50.000.000 dengan arus kas bersih setiap tahun masing-masing : Tahun Investasi A Investasi B 1 20.000.000 30.000.000 2 30.000.000 20.000.000 3 15.000.000 15.000.000 Biaya modal perusahaan adalah 10 %. Carilah nilai sekarang dari kedua proyek tersebut : Jawab : NPV A

= Po

Fn (1  r ) n

 20.000.000 30.000.000 15.000.000    = - Rp 50.000.000 +   1 (1  0,1) 2 (1  0,1) 3   (1  0,1) = - Rp 50.000.000 + Rp 54.244.928,62 = Rp 4.244.928,62

NPV B

= Po

Fn (1  r ) n

 30.000.000 20.000.000 15.000.000    = - Rp 50.000.000 +   1 2 ( 1  0 , 1 ) ( 1  0 , 1 ) (1  0,1) 3   = - Rp 50.000.000 + Rp 55.071.374 = Rp 5.071.374.-.

Contoh 4 : Dibeli sebuah mesin pada 4 tahun yang lalu dengan harga Rp 100.000, usia tehnis mesin itu 10 tahun. Diperkirakan mesin ini bila dijual sekarang akan laku seharga Rp 110.000, pajak atas keuntungan penjualan assets (capital gain tax rate) 30 % sementara tingkat pajak normal (normal tax rate) sebesar 50 %. Mesin baru bila dibeli akan diperoleh dengan harga Rp 200.000. Biaya pemasangan Rp 50.000. Berapakah besarnya nilai investasi yang dikeluarkan. Jawab : Keuntungan atas penjualan assets = 110.000 – 100.000 = 10.000 Nilai yang sudah dipakai (normal gain) 100.000 / 10.000 = 10.000 x 4 = 40.000 Nilai buku mesin lama = 100.000 - 40.000 = 60.000 Pajak yang dikeluarkan : Capital gain = Rp 10.000 x 30 % = Rp 3.000 Normal gain = Rp 40.000 x 50 % = Rp 20.000 Jumlah = Rp 23.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 119

Nilai investasi Harga mesin baru Biaya pemasangan Jumlah Penerimaan atas penjualan mesin lama Pajak atas penjualan assets Investasi bersih

= Rp 200.000 = Rp 50.000 = Rp 250.000 = = = =

Rp 110.000 Rp 140.000 Rp 23.000 Rp 163.000

Latihan 1. Perusahaan “SM” sedang mempertimbangkan dua proyek yaitu proyek A dan proyek B yang mutually exclusive. Masing-masing memerlukan investasi sebesar Rp 1.000.000. Proyek A dan B mempunyai usia ekonomis 5 tahun (tanpa nilai sisa), disusutkan dengan metode garis lurus, tingkat kuntungan yang diisyaratkan sebesar 10 %.Aliran kas bersih yang diperoleh masing-masing proyek adalah : Tahun Proyek A Proyek B 1 200.000 300.000 2 200.000 200.000 3 300.000 200.000 4 200.000 200.000 5 200.000 Dari data yang diberikan, tentukanlah NPV dan profitability indeks masing-masing proyek. 2. Sebuah proyek membutuhkan dana investasi sebesar Rp 600.000.000,-. Proyek tersebut diperkirakan berumur 6 tahun, penyusutan dengan menggunakan metode straigh line dan tanpa nilai sisa, dengan proceeds tahunan sebesar 100.000.000 selama 6 tahun, dan discount rate 10 %. Tentukanlah NPV dan profitability indeks masing proyek. 3. Sebuah proyek membutuhkan dana investasi sebesar Rp 720.000.000,-. Proyek tersebut diperkirakan berumur 6 tahun, penyusutan menggunakan metode straigh line dan tanpa nilai sisa, dengan proceeds tahunan ; tahun ke 1 Rp 300.000.000, tahun ke 2 Rp 100.000.000, tahun ke 3 Rp 80.000.000, dan untuk tahun ke 4, 5, 6 masing-masing Rp 20.000.000. Dengan tingkat bunga 11 % tentukan nilai sekarangnya.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 120

2. Konsep Internal Rate of Return ( IRR ). Internal rate of return atau tingkat pengembalian internal adalah sebagai tingkat bunga yang menjadikan jumlah nilai sekarang dari proceeds yang akan diterima ( present value of future proceeds ) sama dengan jumlah nilai sekarang dari net investment / pengeluaran modal ( present value of capital outlays ). Prinsip dari konsep internal rate of return (IRR) ini adalah bagaimana menentukan tingkat bunga (discount rate) yang dapat mempersamakan PV of proceeds dengan PV of outlays sehingga pada keadaan ini net present value (NPV) sama dengan nol, lihat pola berikut : Discount Rate

PV of Proceeds

= 0 =

PV of Outlays

Net Present Value Metode internal rate of return (IRR) dikenal juga dengan nama “yield method” untuk mencari IRR biasanya digunakan cara coba-coba (trial and error). Dengan kata lain IRR dapat dihitung setelah diperoleh NPV yang positif dan NPV yang negatif seperti contoh berikut : PV of proceeds = Rp 0000 PV of outlays = Rp 0000Net present value = Rp 0000 ( NPV positif ) PV of proceeds PV of outlays Net present value

= Rp 0000 = Rp 0000= Rp 0000

IRR ? ( NPV negatif )

Bila penentuan pada NPV hasil yang diperoleh dalam satuan uang (rupiah), sedang penentuan pada IRR hasil yang diperoleh dalam persentase ( % ). IRR hanya dapat diperoleh bila telah diperoleh NPV yang berbeda yaitu NPV bernilai positif dan NPV yang bernilai negatif, karena IRR tidak dapat diperoleh kalau NPV sama – sama positif atau NPV sama-sama negatif. Disinilah cara coba-coba (trial end error) itu berlaku karena akan selalu dicari tingkat bunga (discount rate) yang akan menghasilkan NPV positif dan NPV negatif atau nilai sekarang dari proceeds lebih besar dari net investment dan nilai sekarang dari proceeds lebih kecil dari invesment.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 121

Sebaiknya IRR yang diperoleh harus selalu lebih besar dari biaya modal (cost of capital) bila kondisi ini terjadi jaminan atas pinjaman akan lebih besar atau IRR lebih besar dari tingkat pengembalian (rate of return) karena tingkat proceeds yang diharapkan lebih besar dari penetapan tingkat pengembalian yang ditetapkan semula. Dalam arti kata semakin besar tingkat pengembalian internal yang diperoleh semakin menguntungkan bagi investor. Contoh 1 : Tuan Ali menginvestasikan uangnya sebesar US 45.000. Dengan estimasi jumlah profit tahunan sebesar Rp US 22.500 selama tiga tahun. Berapa tingkat bunga yang diberikan agar usul tersebut dapat diterima dengan menggunakan metode IRR. Jawab : Misalkan pada discount rate 23 % Tahun Proceeds 1 22.500 2 22.500 3 22.500 PV of Proceeds PV Net Investment (initial out lays) Net Presen Value (NPV positif) Misalkan pada discount rate 24 % Tahun Proceeds 1 22.500 2 22.500 3 22.500 PV of Proceeds PV Net Investment (initial out lays) Net Presen Value (NPV positif)

Discount Rate 23 % 0, 8130 0,6609 0,5373

PV of Proceeds 18.292,50 14.870,25 12.089,25 45.252,00 45.000,00 252

Discount Rate 24 % 0, 8064 0,6503 0,5244

PV of Proceeds 18.144,00 14.631,75 11.799,00 44.572,75 45.000,00 425,75

Cara coba-coba dalam menentukan besar tingkat bunga yang digunakan telah dilakukan, sekarang untuk menentukan besarnya nilai IRR tersebut dapat dihitung dengan interpolasi atau dengan rumus yaitu : Interpolasi : Discount Rate PV of Proceeds (PV of proceeds-PV of outlays pada 23 %) 23 % 45.252 45.252 24 % 44.574,75 45.000 1% 677,75 252 Persentase perbedaan 252 x1%  0,37% , jadi IRRnya = 23 % + 0,37 % = 23,37 % 677,75

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 122

Rumus :

P2  P1 C 2  C1

r = P 1 - C1 Dimana : r P1 P2 C1 C2

= = = = =

nilai yang dicari (IRR) tingkat bunga ke 1 tingkat bunga ke 2 NPV ke 1 NPV ke 2

Maka :

P2  P1 C 2  C1

r = P 1 - C1

24  23  425,75  252 252(1) r = 23 %  677,75 252 r = 23 % + = 23 % + 0,37 % 677,75

r = 23 % - 252

= 23,37 %.

Contoh 2 : Carilah IRR dengan menggunakan tingkat bunga 30 % dan 40 % bila proceeds tahunan adalah dari tahun ke 1 sampai tahun ke 6 berturut-turut Rp 80.000, Rp 70.000, Rp 60.000, Rp 50.000, Rp 40.000, Rp 30.000,-. PV of outlays / net investment adalah sebesar Rp 150.000,-. Jawab : Tahun

Proceeds

1 2 3 4 5 6

80.000 70.000 60.000 50.000 40.000 30.000

Herispon, SE. M.Si

DR 30 % DF PV 0,769 61.520 0,592 41.440 0,455 27.300 0,350 17.500 0,269 10.760 0,207 6.210 164.730 150.000 14.730

DR 40 % DF 0,714 0,510 0,364 0,260 0,186 0,133

PV 57.120 35.700 21.840 13.000 7.440 3.990 139.090 150.000 -10.910

Matematika Keuangan -- 2007 | 123

Interpolasi : Discount Rate 30 % 40 % 10 %

PV of Proceeds 164.730 139.090 25.640

(PV of proceeds-PV of outlays pada 23 %) 164.730 150.000 14.730

Persentase perbedaan 14.730 x10%  5,74% , jadi IRRnya = 30 % + 5,74 % 25.640

= 35,74 %

Maka : r = P 1 - C1

P2  P1 C 2  C1

40  30  10.910  14.730 14.730(10) r = 30 %  25.640 147 .300 r = 30 % + = 30 % + 5,74 % 25.640

r = 30 % - 14.730

= 35,74 %.

Contoh 3 : Perusahaan “Anda” memiliki kesempatan untuk melakukan investasi pada mesin baru senilai Rp 135.000.000. Mesin tersebut diharapkan memiliki usia ekonomis 7 tahun dan dapat memberikan arus kas bersih setiap tahun sebesar Rp 45.000.000. Apabila biaya modal untuk proyek mesin baru tersebut 16 %. Diminta : a. Berapakah net present valuenya b. Berapakah IRR dari investasi c. Haruskah Anda melakukan investasi pada mesin itu. Jawab : a. NPV

1  1  (1  0,16) 7 = - Rp 135.000.000 + Rp 45.000.000  0,16  

    

= - Rp 135.000.000 + Rp 45.000.000 (4,0387) = - Rp 135.000.000 + Rp 181.741.500 = Rp 46.741.500,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 124

b. IRR 0

45.000.000 (1  IRR) t = - Rp 135.000.000 + 45.000.000 (PVIFAIRR 7) = NPV = -Rp 135.000.000 +

PVIFA = 135.000.000 : 45.000.000 = 3,0000 Pada tabel dapat dilihat pada baris tahun ke 7 maka PVIFA sebesar 3,000 terletak antara tingkat discount rate 26 % dan 28 %. Discount Rate 26 % 28 % 2% IRR

Discount Factor 3,0833 2,9370

Aliran kas per tahun 45.000.000 45.000.000

Present Value aliran kas 138.748.500 132.165.000 6.583.500

138.748.500  135.000.000  = 26 % +  x 2 138.748.500  132.165.000  = 26 % + 1,14 % = 27,14 %.

Kesempatan investasi tersebut sebaiknya dilakukan karena NPV investasi itu positif dan IRR yang dihasilkan ternyata lebih besar dari pada biaya modal. Latihan. 1. Perusahaan “HMS” sedang dihadapkan pada pemilihan usulan investasi yang mutually exclusive yaitu usulan proyek A dan proyek B. Proyek A memerlukan investasi sebesar Rp 100.000 dan memberikan keuntungan bersih Rp 30.000 pertahun selama 5 tahun. Usulan proyek B memerlukan dana investasi sebesar Rp 50.000 dan memberikan keuntungan bersih Rp 16.000 pertahun selama 5 tahun. Perusahaan HMS mempunyai persyaratan keuntungan sebesar 10 % setelah pajak. Hitunglah NPV, profitability indeks, dan tentukan internal rate of returnnya (IRR). 2. Proyek A dan proyek B membutuhkan investasi masing-masing sebesar Rp 80.000. Pola cash flow untuk masing-masing proyek sebagai berikut : Tahun Proyek A Proyek B 1 400.000.000 100.000.000 2 400.000.000 200.000.000 3 200.000.000 200.000.000 4 100.000.000 200.000.000 5 300.000.000 6 400.000.000

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 125

Biaya modal yang diperkirakan adalah 17 % untuk proyek A dan 15 % untuk proyek B. Dan tentukanlah NPV, Profitability indeks, IRR dari masing-masing proyek. 3. Diketahui dua perusahaan akan melakukan investasi, perusahaan tersebut adalah PT. Asmara yang memerlukan investasi sebesar Rp 60.000.000, dan PT. Cinlok memerlukan investasi sebesar Rp 72.000.000. Usia masing-masing proyek adalah 6 tahun. Proyeksi perhitungan laba setelah pajak kedua perusahaan adalah : Tahun PT. Asmara PT. Cinlok 1 10.000.000 33.000.000 2 10.000.000 10.000.000 3 10.000.000 8.000.000 4 10.000.000 1.000.000 5 10.000.000 1.000.000 6 10.000.000 1.000.000 Penyusutan menggunakan metode garis lurus (straigh line) tanpa nilai sisa dengan biaya modal yang diisyaratkan 10 % tentukanlah : a. NPV dari masing-masing Perusahaan b. Profitability indeks masing-masing perusahaan c. Internal rate of return (IRR).

------------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 126

BAB XI PROBABILITAS DAN TABEL MORTALITAS

I. Probabilitas. 1. Pengertian Setiap orang mempunyai berbagai ide mengenai apa yang dimaksud dengan kans atau kesempatan (peluang) atau probabilitas (kemungkinan). Misalkan apakah yang dimaksud dengan perkiraan, bahwa M mempunyai satu kesempatan dari tiga memenangkan permainan adalah 1/3. Untuk mengestimasi kemungkinan harus ditentukan kesempatan yang akan terjadi atau tidak akan terjadi. Seperti halnya kita akan mengambil kartu sebarang dari jumlah kartu brige, dalam berbagai cara dan peristiwa yang muncul bisa terjadi atau tidak terjadi, kasus yang terjadi perhitungan ini disebut matematika probability (kemungkinan matematika). Sebaliknya dalam kasus estimasi dari kemungkinan, bahwa seseorang berumur 25 tahun akan hidup menerima warisan pada umur 30 tahun, kita harus menggantungkan pada berbagai informasi tentang apa yang terjadi pada saat yang sama seperti yang telah terjadi, kasus yang terjadi pada perhitungan ini disebut empiris probability atau statistika kemungkinan. Probabilitas adalah peluang terjadinya sesuatu hal atau peristiwa (event). 2. Kemungkinan Matematis. Probabilitas suatu kejadian A ditulis dengan simbol P (A), besarnya suatu kejadian berada antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P (A) ≤ 1, paling kecil nol dan paling besar n adalah satu. Secara matematis ditulis probabilitas berhadi P = , n = jumlah yang s berhasil (muncul) dan s = jumlah yang mungkin terjadi dari suatu kejadian. Sedangkan f probabilitas tidak berhasil (tidak muncul) P  , f = jumlah yang tidak berhasil. s Jumlah probabilitas berhasil dan probabilitas tidak berhasil adalah 1 atau P + P = 1. Jika suatu peristiwa harus dihasilkan salah satu dari n yang berbeda, tetapi mempunyai kesempatan yang sama (equaly likely) dan jika sejumlah s dari cara ini dianggap sukses maka ; f = n – s. Adalah dapat dianggap gagal, maka kemungkinan susses dari percobaan yang dilakukan didefinisikan sebagai ; p = s/n dan kemungkinan gagal sebagai ; q = f/n. s f s f n  1 Karena p+q=   n n n n Maka p = 1 – q dan q = 1 - p

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 127

Contoh 1 : 1 kartu diambil dari 52 buah kartu. Berapakah kemungkinan (a) kartu harus merah (b) kartu tersebut spade (c) kartu tersebut King (d) kartu tersebut bukan Ace spade (e) kartu tersebut bukan jack atau queen. Jawab : Satu kartu diambil dari 52 kartu n = 52 cara berbeda a) Kartu merah dapat diambil dari seluruhnya = s = 26 cara. Kemungkinan terambil kartu merah adalah s/n = 26/52 = ½. b) Spade dapat diambil dari kumpulan kartu dengan s = 13 cara. Kemungkinan terambil spade adalah s/n = 13/52 = ¼. c) King dapat diambil dari kumpulan kartu dengan 4 cara yang berbeda, kemungkinan dari terambilnya king adalah 4/52 = 1/13. d) Ace spade dapat diambil hanya dengan 1 cara, kemungkinan ace spade adalah 1/52. Kemungkinan tak terambil ace spade adalah 1 – (1/52) = 51/52. Disini kita dapat menghitung jumlah kegagalan, kita juga mungkin dapat menghitung yang suskses. e) Jack atau queen dapat diambil dengan 8 cara, kemungkinan terambilnya jack atau queen adalah 8/52 = 2/13. Kemungkinan tak terambilnya jack atau queen adalah 1 – 2/13 = 11/13. Demikian juga kemungkinan matematika bahwa probabilitas pada umur seseorang dapat ditulis dengan beberapa cara yang digunakan dalam menyusun tabel mortalitas sebagai berikut : a. Px = Probabilitas bahwa seseorang pada umur x akan hidup sekurang-kurangnya 1 tahun lagi yaitu pada umur x + 1 tahun. l P = x 1 lx Dimana : lx = jumlah orang yang hidup pada umur x Lx+1 = jumlah orang yang hidup pada umur x + 1 b. nPx = Probabilitas bahwa seseorang pada umur x akan hidup sekurang-kurangnya n tahun lagi yaitu pada umur x + n tahun. l xn nPx = lx Dimana : lx+n = jumlah orang yang hidup pada umur x + n tahun c. P x Probabilitas bahwa seseorang pada umur x tahun tidak akan hidup sekurangkurangnya 1 tahun lagi yaitu pada umur x + 1. l l l maka ; P x = x x 1 P x = 1 – Px = 1 - x 1 lx lx d.

P x = Probabilitas bahwa seseorang pada umur x tidak akan hidup sekurangkurangnya n tahun lagi yaitu pada umur x + n tahun. l l l = 1 - xn maka ; n P x x x  n n P x = 1 - nPx lx lx n

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 128

3. Kemungkinan Statistik Jika suatu hasil tertentu dapat diamati terjadi s kali dalam n percobaan, ratio s/n didefinisikan sebagai kemungkinan empiris, bahwa suatu hasil yang sama akan terjadi didalam percobaan berikutnya. Kepercayaan ini dimana dapat diberikan pada suatu kemungkinan bergantung pada ukuran besar dari jumlah yang diobservasi, semakin besar jumlahnya semakin besar kepercayaannya. Sebagai contoh catatan selama 25 tahun yang lalu yang menunjukkan, bahwa suatu lokalitas tertentu mengalami musim dingin rata-rata 292 hari tiap tahun. Sebagai dasar informasi, kemungkinan bahwa kemungkinan dari musim panas adalah : 365 - 292 / 365 = 1/5. 4. Ekspektasi. Jika P probabilitas bahwa seseorang akan menerima sejumlah S, maka PS disebut ekspektasinya, maka seseorang akan menerima setelah n tahun dengan bunga i adalah : E = ( 1 + i )-n PS. Andaikan bunga uang i, akan dicari nilai sekarang nEx , suatu dwi guna murni 1 untuk setiap individu pada umur x, maka ekspektasi nilai sekarang adalah : l l -n maka ; nEx = ( 1 + i )-n x x  n nEx = ( 1 + i ) nPx lx nEx disebut premi net dwi guna murni. Contoh 2 : M akan menang Rp 5, jika ia mengambil bola merah pada pengambilan pertama dari kotak yang berisi 3 hitam dan 2 bola merah, berapakah ekspektasinya ? Jawab : Kemungkinan dari pengambilan bola merah dari dalam kotak dalam satu percobaan adalah 2/5. Jadi ekspektasi dari M adalah ( 2/5 ) (5) = Rp 2,Jika pS adalah ekspektasi, bahwa M akan menerima n tahun dari sekarang sejumlah S, nilai tunai dari ekspektasi tersebut dengan anggapan uang berkembang i adalah : ( 1 + i )-n pS. Contoh 3 : Pada catatan universitas Ternama selama 20 tahun yang telah lewat, kemungkinan dari seorang mahasiswa diharapkan lulus sarjana dalam 4 tahun adalah 0,65. M telah dijanjikan Rp 10.000 untuk hari sarjananya 4 tahun sejak hari ini. Jika uang berkembang dengan 2 ½ % tentukan nilai hari ini dari ekspektasi. Jawab : Ekspektasi M adalah pS = 0,65 (10.000) = Rp 6.500. Nilai sekarang pada 2 ½ % adalah : E = ( 1 + i )-n pS = (1,025)-4 (6.500) = (0,905951)(6.500) = Rp 5.888,68 Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 129

II. Tabel Mortalitas. Pengertian. Tabel mortalitas adalah penyederhanaan dari ikhtisar tentang catatan umur dari sejumlah besar group individu yang representatif. Tabel terbaik yang pernah diketeahui adalah “American Experience Table of Mortality” yang dipublikasikan pertama kali tahun 1868. Ini diganti dengan tabel CSO atau commisioners 1941 Standard Ordinary Mortality Table yang didasarkan pada data dari asuransi selama periode 1930-1940. Kita akan mendasarkan perhitungan kita pada tabel ini. Ini harus dimengerti sebab kebanyakan perusahaan asuransi umumnya menggunakan tabel CSO untuk asuransi, yang berisi dari sejarah kehidupan dari group asli (original group) 10 = 1.023.102 individu dimana : 11 = 1.000.000 adalah hidup pada umur 1 tahun. Tabel inilah yang digunakan perusahaan-perusahaan asuransi untuk menentukan anuitasnya. Tabel CSO ini memuat 6 kolom yaitu : x , lx , dx , Dx , Nx , dan Mx. Simbol ini dijelaskan sebagai berikut : x = umur individu / umur orang lx = jumlah orang hidup pada umur x dx = jumlah orang yang mati pada umur x dx = lx - lx+1 Dx , Nx , Mx akan dijelaskan dengan penurunan rumus pada penjelasan berikutnya. Demikian juga kemungkinan matematika bahwa probabilitas pada umur seseorang dapat ditulis dengan beberapa cara yang digunakan dalam menyusun tabel mortalitas sebagai berikut : a. Px = Probabilitas bahwa seseorang pada umur x akan hidup sekurang-kurangnya 1 tahun lagi yaitu pada umur x + 1 tahun. l Px = x 1 lx Dimana : lx = jumlah orang yang hidup pada umur x Lx+1 = jumlah orang yang hidup pada umur x + 1 b.

nPx

= Probabilitas bahwa seseorang pada umur x akan hidup sekurang-kurangnya n tahun lagi yaitu pada umur x + n tahun. l xn nPx = lx Dimana : lx+n = jumlah orang yang hidup pada umur x + n tahun

c. P x Probabilitas bahwa seseorang pada umur x tahun tidak akan hidup sekurangkurangnya 1 tahun lagi yaitu pada umur x + 1. l l l P x = 1 – Px = 1 - x 1 maka ; P x = x x 1 lx lx

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 130

d.

P x = Probabilitas bahwa seseorang pada umur x tidak akan hidup sekurangkurangnya n tahun lagi yaitu pada umur x + n tahun. l l l = 1 - xn maka ; n P x x x  n n P x = 1 - nPx lx lx Contoh : 1 Hitunglah jumlah orang yang meninggal pada umur x, jika : a) x = 20 tahun b) x = 25 tahun Jawab : dx = lx - lx+1 (lihat tabel CSO, lampiran 8 ) a) d20 = l20 - l20+1 = (951.483 – 949.171) orang = 2.312 orang b) d25 = l25 - l25+1 = (939.197 – 936.492) orang = 2.705 orang Contoh : 2 Pada soal 1a, hitunglah : a) P20 dan P 20 b) 5 P20 dan 5 P 20 n

Jawab :

l x 1 lx l P20 = 20 x1 = 949.171 / 951.483 = 0,99757 , jadi kemungkinan l 20 individu umur 20 tahun akan hidup paling tidak satu tahun kemudian adalah 0,99757 sama dengan 99,757 %. = 1 - P20 P 20 = 1 - 0,99757 = 0,00243 , dan kemungkinan matinya individu adalah 0,00243 sama dengan 0,243 % l b) rumus : nPx = x  n lx l 20 x5 = 939.197 / 951.483 = 0,98709 , jadi kemungkinan 5P20 = l 20 individu hidup 5 tahun yang akan datang (sampai umur 25 ) adalah 98,709 % a) rumus : P =

5P20

= 1 - 5P20 = 1 - 0,98709 = 0,01291, dan kemungkinan matinya adalah 1,291 %.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 131

Contoh 3 : Tentukan nilai kemungkinan bahwa individu umur 20 tahun paling tidak hidup 30 tahun lagi ( untuk menentukan nilai P lihat tabel CSO, lampiran 8 ). Jawab : l 50 810.900   0,85225 30P20 = l 20 951.483 Contoh 4 : Tentukan nilai kemungkinan, bahwa individu berumur 25 tahun akan meninggal sebelum mencapai umur 65 tahun.( lihat tabel CSO, lampiran 8 ). Jawab : Kita mengharapkan nilai kemungkinan, bahwa individu umur 25 tahun akan tidak hidup ( q) untuk 65 – 25 = 40 tahun kemudian. Jumlah individu yang mati antara 25 tahun sampai 65 tahun adalah l25 - l65 jadi : l 25  l 65 839.197  577.882   0,38471 40q25 = l 25 939.197 Soal Bahas. 1. Dari dalam kotak yang berisi 8 bola hitam, 6 bola putih, dan 4 bola merah, satu bola diambil secara acak. Berapakah nilai kemungkinan dari bola tersebut terambil a) hitam, b) bukan merah. Jawab : Bola dapat diambil dari kotak dalam 18 cara dimana 8 adalah bola hitam dan 6 + 8 = 14 bukan merah. a) Nilai kemungkinan dari terambilnya bola hitam adalah : 8/18 = 4/9 b) Nilai kemungkinan dari terambilnya bukan bola merah : 14/18 = 7/9 2. Dari suatu pak kartu M mengambil satu kartu misalnya jack diamond. Tanpa mengembalikan kartu ini ia mengambil yang lain. Berapakah nilai kemungkinan, bahwa kartu adalah : a) jack heart, b) jack yang lain, c) kartu yang lebih rendah rangkingnya dari jack. Jawab : Ada 51 kartu yang tersisa dalam kotak dengan3 jack. a) Nilai kemungkinan dari terambilnya jack heart adalah : 1/51 b) Nilai kemungkinan dari terambilnya jack yang lain adalah 3/51 = 1/17 c) Ada 36 kartu yang rangkingnya lebih rendah dari jack. Nilai kemungkinan dari terambilnya satu buah adalah : 36/51 = 12/17.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 132

3. M akan menang jika dia mendapat jumlah total 7 pada toss sepasang dadu, dan akan kalah jika jika mendapatkan total 11. Tentukan : a) bahwa dia akan menang pada toss pertama, b) bahwa dia akan kalah pada toss pertama. Jawab : Sepasang dadu mempunyai jumlah kejadian 36 cara yang berbeda dimana 6 buah menunjukkan 7 (yakni : 6,1 ; 5,2 ; 4,3 ; 2,5 ; 3,4 ; 1,6) dan 2 menunjukkan jumlah 11 yakni (6,5 ; 5,6). a) Nilai kemungkinan jumlah 7 adalah 6/36 = 1/6 b) Nilai kemungkinan jumlah 11 adalah 2/36 = 1/18 4. Dalam suatu lotere berhadiah Rp 20 dan 100 tiket telah dijual. Berapakah harapan (ekspektasi) dari B yang memegang 8 tiket ?. Jawab : Nilai kemungkinan B menang adalah 8/100 = 0,08 dan harapannya adalah 0,08 x Rp 20 = Rp 1,60 5. Dengan menggunakan tabel CSO, tentukanlah nilai kemungkinan, bahwa M sekarang berumur 30 tahun. a) akan mencapai umur 45 b) akan tak dapat mencapai umur 65 c) anak mencapai umur 45 tetapi tidak 65 d) akan mati pada umur 75 Jawab : Nilai lx = l30 , 45, 65, 75 dapat dilihat dalam tabel CSO Nilai l30 = 924.609 Nilai l45 = 852.554 Nilai l65 = 577.882 Nilai d75 = 28.009 a) akan mencapai umur 45 ( 45 – 30 = 15 ) 15P30 = l45 / l30 = 852.554 / 924.609 = 0,92207 , jadi kemungkinan M hidup dalam 15 tahun atau sampai umur 45 adalah 0,92207 = 92,207 % dan kemungkinan matinya 0,07793 sama dengan 7,793 %. b) tak dapat hidup mencapai umur 65 adalah : l30 – l65 = 924.609 – 577.882 = 346.727. = 924.609 – 577.882 / 924.609 = 346.727 / 924.609 = 0,37500 35q30 kemungkinan tak hidup sampai umur 65 tahun adalah 37,5 % dan kemungkinan hidupnya adalah 62,5 % c) dari 924.609 individu yang hidup pada umur 30 : l45 – l65 = 852.554 - 577.882 = 274.672, jadi tak hidup (q) antara umur 45 dan 65 adalah : l45 – l65 / l30 = 852.554 – 557.882 / 924.609 = 0,29707, jadi kemungkinan tak hidup antara umur 45 dengan 65 yang berumur 30 saat ini adalah 0,29707 = 29,707 %. d) Dari 924.609 individu hidup pada umur 30, d75 = 28.009 tak hidup dalam tahun dimana dia berumur 75. Jadi nilai kemungkinan yang dimaksudkan adalah : Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 133

d75 / l30 = 28.009 / 924.609 = 0,03029, maksudnya dari jumlah individu 924.609 hidup pada umur 30 dan tak hidup dengan jumlah 28.009 saat individu berumur 75 tahun adalah 3, 029 %. Latihan. 1. Dari suatu tas yang berisi 8 bola hitam, 10 bola putih, dan 6 bola merah. Satu bola diambil secara acak. Berapakah kemungkinan bahwa bola tersebut : a) putih, b) merah, c) bukan putih, d) bukan hitam 2. Jika dari tas pada soal diatas bola hitam diambil tanpa dikembalikan, tentukan nilai kemungkinan, bahwa bola lain diambil dari tas akan : a) hitam, b) merah, c) bukan putih, d) bukan merah. 3. Dengan menggunakan tabel CSO tentukan : a) jumlah individu (dari original : 1.023.102) hidup pada umur 22 tahun ? b) jumlah yang tak hidup antara umur 45 dan 46 c) jumlah yang tak hidup antara umur 45 dan 65 4. Hitunglah sampai tiga desimal nilai kemungkinan bahwa individu berumur ( saat ini) adalah : a) 30 akan hidup paling tidak satu tahun lagi b) 65 dan tak akan hidup dalam tahun tersebut c) 40 akan tak hidup dalam 35 tahun kemudian d) 25 akan tak hidup untuk 40 tahun kemudian dan tak akan hidup dalam 1 tahun berikutnya e) 20 akan hidup sampai umur 65 f) 30 akan hidup pada umur 66 5. N berumur 18 pada waktu masuk perguruan tinggi. Tentukan nilai kemungkinan bahwa : a) Ia akan hidup sampai sarjana 4 tahun kemudian b) Ia tak akan hidup pada tahun kedua. 6. Hitunglah jumlah orang yang meninggal pada umur x, jika : a) x = 30 tahun, b) x = 35 tahun, c) x = 40 tahun 7. Pada soal 6 hitunglah :a) P30 , P35 , P40 , b) P 30 , P 35

Herispon, SE. M.Si

,

P 40 , c) 10P40

, 10 P 40

Matematika Keuangan -- 2007 | 134

BAB XII ANUITAS JIWA

1. Pengertian. Anuitas jiwa atau anuitas kehidupan adalah anuitas yang dibayarkan secara terus menerus (kontinyu) untuk seluruh atau sebagian dari kehidupan seseorang tertentu, yang dinamakan anuitant. Seperti dalam anuitas tertentu, pembayaran dibuat tahunan, setengah tahunan, kuartalan, dan sebagainya, tetapi kita akan membatasi pembicaraan pada anuitas jiwa untuk pembayaran tahunan. Untuk membantu perhitungan anuitas jiwa ini yang sering digunakan adalah tabel mortalitas CSO. 2. Anuitas Jiwa Seumur Hidup. Anuitas jiwa yang pembayarannya selama anuitant masih hidup disebut anuitas jiwa seumur hidup. Jika anuitant sekarang pada umur x, maka pembayaran pertama dilakukan pada umur x + 1, pembayaran kedua pada x + 2 dan seterusnya, pembayaran seperti ini disebut anuitas jiwa seumur hidup biasa. Jika pembayaran pertama dimulai dengan umur x dan pembayaran kedua pada umur x + 1, seterusnya, ini disebut anuitas jiwa seumur hidup dengan pembayaran dimuka, artinya pada saat mulai anuitant menanda tangani kontrak. Jika pembayaran pertama dilakukan pada umur x + k + 1, kedua pada umur x + k + 2, dan seterusnya, ini disebut anuitas jiwa seumur hidup dengan penundaan k tahun. Anuitas jiwa seumur hidup dapat dibedakan yaitu : a. Anuitas jiwa seumur hidup biasa, rumus : ax =

N x 1 . Dx

Anuitas jiwa seumur hidup biasa merupakan anuitas yang paling sederhana, karena pembayaran dilakukan pada setiap akhir tahun 1, 2, 3, … dan berhenti pada saat anuitant meninggal. Andaikan ax adalah premi tunggal (nilai sekarang) 1 per tahun untuk setiap individu pada umur x adalah : = 1Ex + 2Ex + 3Ex + … + nEx l l l = (1  i ) 1 x 1  (1  i ) 2 x  2  (1  i) 3 x 3 lx lx lx Misalkan x = 25, maka akan berakhir x + n = 99 artinya n = 1, 2, 3, …, 74. Didefinisikan v = ( 1 + i )-1 dan vx digandakan pada persamaan diatas maka : ax

ax

=

v x 1l x 1 v x  2 l x  2 v x 3l x 3 v x 99 l x 99    ...  v xlx v xlx v xlx v xlx

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 135

v x 1l x 1  v x  2 l x  2  v x 3l x 3  ...  v x 99 l x 99 v xlx Jika Dx = vxlx disubstitusikan pada persamaan diatas maka : =

ax ax

Dx 1  Dx  2  Dx 3  ...  D99 , sehingga Dx N x 1 = (nilai Nx dan Dx dapat dilihat pada lampiran tabel CSO ) Dx =

Contoh 1 : Hitunglah premi tunggal untuk suatu anuitas jiwa seumur hidup, Rp 1.000.000 per tahun untuk setiap individu pada umur 25 tahun. Jawab : N 25 1 N 26 12.486.025,08 N x 1 ax = maka a25 =   D25 D25 506.594,02 Dx a25 = 24,6470045. Jadi anuitas adalah = Rp 1.000.000 x 24,6470045 = Rp 24.647.044,50 b. Anuitas jiwa seumur hidup dengan pembayaran pada awal interval, rumus N adalah : a x  x . Dx Cara pembayaran anuitas ini sama dengan anuitas biasa, hanya perbedaan pembayaran dilakukan pada setiap awal interval. Andaikan a x adalah premi tunggal 1 pertahun untuk setiap individu pada umur x, adalah : Nx = 1 + ax = 1 + ax Dx Dx 1  Dx  2  Dx 3  ...  D99 = 1 + Dx Dx  Dx 1  Dx  2  Dx 3  ...  D99 = Dx N (nilai Nx dan Dx dapat dilihat pada lampiran tabel CSO ) ax  x Dx Contoh 2 : Hitunglah premi tunggal untuk suatu anuitas jiwa seumur hidup, Rp 1.000.000 per tahun untuk setiap individu pada umur 25 tahun. Pembayaran dilakukan pada awal interval.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 136

Jawab : N ax  x Dx N 12.992.619,10 a 25  25   25,64700448 D25 506.594,02 Jadi anuitasnya = Rp 1.000.000 x 25,64700448 = Rp 25.647.004,48 c. Anuitas jiwa seumur hidup dengan penundaan pembayaran k tahun, rumusnya N adalah : a xk  x  k 1 . Dx

a xk  k 1 E x k  2 E x  k  3 E x k  ... v k 1l x  k 1  v k  2 l x  k  2  v k 3l x  k 3 = lx v x  k 1l x  k 1  v x  k  2 l x  k  2  v x  k 3l x  k 3  ... = , maka : v xlx N a xk  x  k 1 (nilai Nx dan Dx dapat dilihat pada lampiran tabel CSO ) Dx Contoh 3 : Hitunglah premi tunggal untuk suatu anuitas jiwa seumur hidup, Rp 1.000.000 per tahun untuk setiap individu pada umur 25 tahun, hitunglah anuitasnya bila terjadi penundaan pembayaran 5 tahun. Jawab : N N 10.153.479,81 5 a xk  x  k 1 maka a 25  25 51   20,04263653 Dx D25 506.594,02 Jadi anuitasnya = Rp 1.000.000 x 20,04263653 = Rp 20.042.636,53

d. Anuitas jiwa seumur hidup dengan penundaan pembayaran k tahun, tetapi pembayaran setiap awal interval. Andaikan a n k adalah premi tunggal 1 per tahun untuk setiap individu pada umur x, maka : a nk 

Herispon, SE. M.Si

N x  k 1 . Dx

Matematika Keuangan -- 2007 | 137

Contoh 4 : Suwarno berumur 30 tahun membayar pada saat umur 30 tahun sebanyak Rp 250.000 setiap tahun hingga ulang tahun ke 60. Pada ulang tahun ke 70 suwarno akan menerima R sebagai pensiunan seumur hidup. Carilah R dan hitunglah anuitasnya bila terjadi penundaan 5 tahun dan pembayaran dilakukan diawal interval. Jawab : Pada umur 30 tahun Suwarno membayar anuitas jiwa sementara selama 31 tahun pembayaran setiap awal interval dengan nilai sekaran Rp 250.000 a30/31, sedangkan pensiunannya berasal dari anuitas jiwa seumur hidup dengan pembayaran pada setiap interval sebanyak R pertahun dengan penundaan 40 tahun dengan nilai sekarang : Ra3040  250.000a30 / 31 N N  N 61 N  N 61 D30 maka : R  250.000 30 R 70  250.000 30 x D30 D30 D30 N 70 N  N 61 10.594.280,39  1.711.567,35 , R  250.000 x R  250.000 30 663.742,056 N 70 R = Rp 3.345.694,67 (pensiunan Suwarno setiap tahun Rp 3.345.694,67) Terjadi penundaan 5 tahun dan pembayaran setiap awal interval dengan nilai sekarang Rp 1.000.000. :

N x  k 1 , Dx Jadi anuitasnya a nk 

N 25 5 N 30 10.594.280,39    20,91276243 . D25 D25 506.594,02 = Rp 1.000.000 x 20,91276243 = Rp 20.912.762,43. a nk 

3. Anuitas Jiwa Sementara. Anuitas jiwa sementara tidak sama dengan anuitas jiwa seumur hidup, bedanya ialah anuitas jiwa sementara ini hanya berlaku untuk waktu-waktu tertentu, misalnya hanya 15 tahun dan 20 tahun, dan lain-lain. Andaikan ax/n adalah premi tunggal 1 per tahun untuk setiap individu pada umur x, maka : N N a x / n  a x  a xn  x 1  x  n 1 Dx Dx

ax / n 

N x 1  N x  n 1 Dx

Andaikan a x / n adalah premi tunggal 1 per tahun untuk anuitas jiwa sementara pembayaran awal interval, maka :

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 138

ax/n 

N x  N xn Dx

Contoh 5 : Hitunglah premi tunggal untuk suatu anuitas jiwa sementara 20 tahun Rp 2.000.000 per tahun untuk setiap individu pada umur 30 tahun. Jawab : N  N x  n 1 N  N 30  20 1 N 31  N 51 , maka : a30 / 15  30 1 a x / n  x 1  Dx D30 D30 10.153.479,81  3.613.562,55 =  14,83645339 440.800,58 Jadi anuitasnya = Rp 2.000.000 x 14,83645339 = Rp 29.672.906,78 Contoh 6 : Seorang pensiunan berumur 57 tahun mengambil pendapatan dari suatu polis asuransi jiwa Rp 25.000.000,-. Sebagai anuitas jiwa seumur hidup dengan pembayaran pada awal interval. Hitunglah pendapatan tahunan dari anuitas. Jawab :

Nx N sehingga R a x  R x  Rp25.000.000 Dx Dx N D R a 57  R 57  Rp25.000.000 , maka : R  25.000.000 x 57 D57 N 57 177.754,43 = 25.000.000 x 2.375.019,75 = Rp 1.871.052,12 Jadi pensiunan menerima pendapatan tahunan sebesar Rp 1.871.052,12 ax 

4. Polis Anuitas. Polis anuitas melengkapi uang penghidupan sedemikian rupa, dengan membuat premi tahunan yang sama dibayarkan pada suatu periode yang diberikan,individu menciptakan pensiun yang pembayarannya dibuat pada suatu tanggal yang khusus dan terus menerus selama hidup. Pembayaran premi membentuk suatu anuitas wajib temporer karena premi pertama dibayar jika polis dibeli, pembayaran pensiun dapat dipandang sebagai bentuk anuitas wajib yang tertunda.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 139

Contoh : Pada umur 30 Adi membeli anuitas jiwa dimana akan membayar Rp 2.500 pada umur 66 setiap tahun berikutnya. Premi tahunan R dibayar untuk 36 tahun. Tentukan R. Jawab : Pada umur 30 Adi membeli anuitas wajib seumur hidup seumur hidup Rp 2.500 pertahun tertunda untuk 36 tahun dengan nilai tunai 2.50036/a30 premi tahunan membentuk anuitas wajib dalam tempo 36 tahun dengan nilai tunai R a 30 / 36 , maka : N 30  N 66 N R a 30 / 36 = 2.50036/ a30 atau R  2.500 66 D30 D30 N 66 1.056.042 R = 2.500  2.500  Rp276,79 N 30  N 66 10.594.280  1.056.042 Soal dan pembahasan. 1. Abu menerima Rp 10.000 dari pengembalian dana jika dia berumur 57. Berapakah pembayaran tahunan yang akan diterimanya jika dia menggunakan jumlah tersebut untuk membeli : a) annuitas biasa seumur hidup b) annuitas seumur hidup dengan pembayaran pertama jatuh pada waktu berumur 65. Jawab : Misal R menyatakan pembayaran tahunan yang dimaksud adalah : a) Anuitas biasa seumur hidup. N N x 1 ax = Ra57 = R 58  10.000 D57 Dx D 177.754 R = 10.000 57  10.000  Rp808,98 N 58 2.197.265 b) Anuitas dengan pembayaran pertaman jatuh pada waktu berumur 65

N x  k 1 dengan k = 7 Dx N dengan k = 8 a nk  x  k 1 Dx N 65 R =  10.000 D57 D 177.754 R = 10.000 57  10.000  Rp1.516,50 N 65 1.172.180 a xk 

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 140

2. Tentukan premi bersih tunggal dari anuitas dengan tempo 10 tahun dari Rp 3.000 pertahun untuk individu yang sekarang berumur 18 tahun. Jawab : N  N xn ax/n  x Dx N  N18 10 = 3.000 a 18 / 10  3.000 18 D18 16.953.726  11.513.853  Rp 26.626,15 = 3.000 612.917 3. Anto yang berumur 25 sekarang merencanakan beristirahat pada umur 55 dengan pendapatan pertahun Rp 3.000 pembayaran pertama jatuh pada ulang tahun yang ke 55. Ia membeli annuitas tersebut dengan persetujuan membuat pembayaran tahunan yang sama, pertama pada hari ini dan terakhir pada ulang tahunnya yang ke 54. Tentukan pembayaran tahunan ( R ) untuk annuitas tersebut. Jawab : Pada usia 25 Anto membeli annuitas wajib seumur hidup Rp 3.000 pertahun tertunda 30 tahun dengan nilai tunai 3.000 30 / a 25 . Pembayarannya untuk annuitas tersebut membentuk annuitas wajib tempo 30 tahun dengan nilai tunai R a 25 / 30 maka : N  N 55 N R a 25 / 30 = 3.000330a25 atau R 25  3.000 55 D25 D25 N 55 2.754.769 R  3.000  3.000  Rp807,23 N 25  N 55 12.992.619  2.754.769 Latihan. 1. Hitunglah premi tunggal untuk suatu anuitas jiwa seumur hidup Rp 2.000.000 pertahun untuk setiap individu pada umur 30 tahun, 40 tahun, dan 50 tahun. 2. Hitunglah premi tunggal untuk suatu anuitas jiwa seumur hidup Rp 3.000.000 pertahun dengan pembayaran pada setiap awal interval untuk setiap individu pada umur 25 tahun, 30 tahun, dan 35 tahun. 3. Andi membayar Rp 30.000.000 untuk suatu anuitas jiwa seumur hidup biasa pada umur 50 tahun. Berapa pembayaran tahunan ? 4. Emond ingin membeli suatu anuitas jiwa sementara sebanyak Rp 1.000.000 pertahun selama 20 tahun diperuntukan bagi ayahnya yang berumur 60 tahun. Hitunglah premi tunggal.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 141

BAB XIII ASURANSI JIWA

1. Pengertian. Kelompok atau individu yang melakukan kegiatan atau usaha dalam dunia bisnis secara umum akan mengalami resiko. Akan tetapi resiko tersebut diusahakan sekecil mungkin. Resiko yang dialami setiap individu atau kelompok akibat ketidakpastian (uncertainty) pada masa mendatang dapat diantisipasi dengan cara mengasuransikannya kepada suatu lembaga asuransi. Asuransi ialah suatu usaha (kemauan) untuk menentukan kerugian-kerugian kecil yang sudah pasti sebagai pengganti kerugian-kerugian besar yang belum pasti. Contoh asuransi : asuransi jiwa, asuransi kesehatan, asuransi kebakaran, asuransi kecelakaan, asuransi kredit, dan lainnya. Perhitungan dalam asuransi ini menggunakan tabel mortalitas atau tabel CSO, pada pembahasan selanjutnya hanya difokuskan pada asuransi jiwa (life insurance). 2. Polis Asuransi Jiwa. Polis asuransi jiwa adalah merupakan kontrak antara perusahaan asuransi jiwa dengan seseorang (yang diasuransikan). Atau setiap asuransi jiwa selalu membuat kontrak dengan pihak yang diasuransikan. Kontrak yang dimaksud dalam polis adalah : a. Tertanggung setuju untuk membayar sekali atau lebih pembayaran premi pada perusahaan asuransi. Atau setiap yang diasuransikan setuju menyetor sekali atau beberapa kali penyetoran uang (premi) kepada lembaga asuransi. b. Perusahaan asuransi berjanji untuk membayar, atas bukti kematian dari si tertanggung (yang diasuransikan), sejumlah uang kepada seseorang atau lebih (sipenerima uang) yang ditunjuk oleh si tertanggung (insured).Atau pihak lembaga asuransi menyetujui pembayaran kepada pihak yang diasuransikan setelah selesai masa kontrak asuransi. c. Jumlah nilai polis ditentukan secara jelas. d. Yang berhak menerima asuransi adalah pemegang polis atau ahli waris yang tertulis dalam polis asuransi, jika pemegang polis sudah meninggal dunia. 3. Tipe Utama Asuransi Jiwa. Asuransi jiwa ada tiga tipe utama yaitu : a. Asuransi jiwa seumur hidup (Whole Life Insurance). Asuransi ini permanen dengan pembayaran premi sama tiap tahun. Pembayaran premi dilakukan hanya satu kali untuk seumur hidup.Dimana lembaga atau perusahaan berjanji untuk membayar sejumlah polis dari si penerima uang pada kematian sitertanggung, kapan saja ini terjadi.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 142

b. Asuransi jiwa berjangka (Trem Life Insurance). Asuransi ini hanya berlaku untuk jangka waktu tertentu, misalnya 10 tahun, 20 tahun, polis ini lebih murah dibandingkan dengan polis asuransi lain. Pada asuransi berjangka n tahun ini, dimana perusahaan berjanji untuk membayar nilai polis pada si penerima uang atas kematian dari si tertanggung hanya jika si tertanggung meninggal dalam waktu n tahun setelah polis dikeluarkan. c. Asuransi dwi guna (Endowment Life Insurance). Asuransi ini berlaku untuk asuransi jiwa berjangka dan untuk biaya pendidikan. Asuransi ini disebut juga asuransi n year endoment insurance (asuransi dengan pembayaran n tahun). Maksudnya perusahaan berjanji membayar polis pada si penerima uang atas kematian si tertanggung jika si tertanggung mati dalam n tahun setelah polis dikeluarkan dan membayar polis pada si tertanggung pada akhir dari n tahun jika ia tetap hidup dalam periode tersebut. Secara praktis si penerima uang langsung dibayar atas bukti kematian si tertanggung. Tetapi untuk penyederhanaan dalam perhitungan, kita akan selalu menganggap, bahwa si penerima uang dari berbagai polis dibayar pada akhir tahun polis dimana si tertanggung meninggal. Seperti dalam kasus anuitas jiwa, hanya premi bersih akan diperhitungkan disini. Asuransi jiwa seumur hidup (Whole Life Insurance). Misal Ax menyatakan neto premi tunggal untuk asuransi se umur hidup dari 1 dikeluarkan pada individu dengan umur x. Persoalan untuk mencari Ax bisa diuraikan menjadi jumlah dari tiap 1x individu, dengan umur semuanya x, harus membantu untuk membentuk suatu dana yang cukup untuk dapatnya perusahaan membayar pada sipenerima uang dari tiap polis yang berjumlah L pada akhir tahun dimana pemegang polis meninggal. Jumlah total yang menyusun dana adalah 1xAx. Selama tahun pertama, dx dari pemegang polis akan mati menurut tabel mortalitas dan dx harus dibayar pada akhir tahun. Nilai tunai untuk kepentingan ini adalah ( L + i )-1 dx = v dx. Selama tahun kedua dx + 1 individu akan meninggal dan nilai tunai untuk pembayaran ini adalah v2 dx + 1, seterusnya sehingga didapat : = vdx + v2dx+1 + v3dx+2 + … vd x  v 2 d x 1  v 2 d x  2  ... Ax = 1x x Dengan mengalikan v terhadap pembilang dan penyebut akan didapat : 1xAx

v x 1d x  v x  2 d x 1  v x 3 d x  2  ...  v100 d 99 v x 1x Selanjutnya untuk suku-sukunya diberikan simbul dan substitusi : Ax =

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 143

Dx = vx1x

,

Cx = vx+1dx

,

Mx = Cx + Cx+1 + Cx+2 + … + C99

C x 1  C x  2  ...  C99 Mx , maka menjadi : Ax = Dx Dx Jika bunga 2,5 %, nilai Mx didapat pada kolom terakhir pada tabel CSO, Lampiran 8. Ax =

Contoh 1: Dengan menggunakan netto premi tunggal untuk asuransi seumur hidup sebesar Rp 1.000 yang dikeluarkan pada seseorang berumur 22 tahun. Jawab : Mx M 193.897 Ax = 1.000 A22 = 1.000 22  1.000  Rp352,57 Dx D22 549.965 Contoh 2: Hitunglah premi tunggal untuk polis asuransi seumur hidup Rp 5.000.000 pada umur seseorang 25 tahun Jawab : Mx M 25 189.700,8750 Ax = A25 = A25 =  0,3745 506.594,02 Dx D25 Premi tunggal menjadi = Rp 5.000.000 x 0,3745 = Rp 1.872.500 Polis asuransi dengan premi tunggal banyak dijual. Sebagai pengganti sejumlah premi yang sama dimulai pada tiap awal tahun dapat dibayarkan : a. Selama polis masih berlaku. b. Selama m tahun pertama dari umur polis. Andaikan Px adalah premi periodik sepanjang polis berlaku masing-masing 1 per orang pada umur x, maka didapat : A M / Dx Mx Px a x  A , Px = x  x maka : Px = ax N x / Dx Nx Nilai Mx dan Nx dapata dilihat pada tabel (tabel CSO, Lampiran 8). Andaikan mPx adalah premi periodik untuk m tahun pertama masing-masing 1 per orang pada umur x, maka didapat : Contoh 3 : Hitunglah premi tahunan / periodik untuk polis jiwa seumur hidup Rp 10.000.000 berlaku untuk orang pada umur 30 tahun. Jawab : Mx M 30 182.403,4951 Px = P30 =   0,0172 Nx N 30 10.594.280,39 Premi tahunan adalah = Rp 10.000.000 x 0,0172 = Rp 172.000,-.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 144

Andaikan mPx adalah premi periodik untuk m tahun pertama masing-masing 1 per orang pada umur x, maka didapat : Ax M x / Dx  m Px  m Px a x / m  A a x / m ( N x  N x  m ) / Dx Mx (nilai Mx , Nx , Nx+m dapat dilihat pada tabel CSO, m Px  ( N x  N xm ) Lampiran 8.) Contoh 4 : Hitunglah premi tahunan pembayaran 25 tahun untuk polis jiwa seumur hidup Rp 10.000.000 berlaku untuk orang pada umur 30 tahun. Jawab : m = 25 tahun , x = 30 tahun

Mx ( N x  N xm )

m

Px 

25

P30 

25

P30 

M 30 ( N 30  N 30  25 )

182.403,4951  0,0233 (10.594.280,39  2.754.768,79)

Premi tahunan adalah = Rp 10.000.000 x 0,0233 = Rp 233.000,-.

Asuransi jiwa berjangka (Trem Life Insurance). Asuransi A‟xl adalah premi tunggal. Untuk n tahun berjangka polis asuransi masing-masing 1 per orang pada umur x, selanjutnya akan ditentukan A‟x/n sebagai berikut : LxA‟x/n = vdx + v2dx+1 + v3dx+2 + … + vndx+n-1

vd x  v 2 d x 1  v 3 d x  2  ...  v n d x  n 1 lx Jika pembilang dan penyebut masing-masing digandakan vx , maka : A‟x/n =

v x 1 d x  v x  2 d x 1  v x 3 d x  2  ...  v x  n d x  n 1 A‟x/n = v xlx Kemudian vx+1dx+i-1 = Cx+i-1, i = 1,2,…, n. Persamaan diatas menjadi : A‟x/n =

Cc  Cci 1  Cc  2  ...  Cc  n 1 v xlx

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 145

Cc  Cc 1  Cc  2  ...  C99 Cc  n  Cc  n 1  C c  n  2  ...C99  v xlx v xlx M M M M = x x  xx  n  x  x  n akan menjadi : Dx Dx v lx v lx

A‟x/n

=

A’x/n

=

M x  M xn Dx

(nilai Dx, Mx, dan Mx+n dapat dilihat pada tabel CSO,

Lampiran 8). Contoh 1: Hitunglah premi tunggal polis asuransi berjangka 15 tahun Rp 7.000.000 setiap orang pada umur 30 tahun. Jawab : n = 15 tahun , x = 30 tahun A’x/n

=

M x  M xn Dx

A’30/15 =

M 30  M 30 15 D30

182.403,4951  154.736,6133  0,0628 440.800,58 maka premi tunggal adalah = Rp 7.000.000 x 0,0628 = Rp 439.600,00

A’30/15 =

Andaikan Px/n adalah premi periodik untuk n tahun, polis asuransi masingmasing perorang pada umur x. Kemudian P‟x/n ditentukan dengan cara sebagai berikut : P‟x/n

=

A' x / 1 ( M x  M x  n ) / Dx  ax / n ( N x  N x  n ) / Dx

P’x/n

=

M x  M xn N x  N xn

menjadi :

(nilai Mx, Nx, Mx+n dan Nx+n dapat dilihat pada tabel CSO,

Lampiran 8). Contoh 2 : Hitunglah premi periodik atau tahunan polis asuransi berjangka 20 tahun Rp 10.000.000 setiap orang pada umur 30 tahun. Jawab : n = 20 tahun,

Herispon, SE. M.Si

x = 30 tahun

Matematika Keuangan -- 2007 | 146

P’x/n

=

P’30/20 =

M x  M xn N x  N xn

M 30  M 30  20 N 30  N 30  20

P’30/20 =

182.403,4951  142.035,0956  0,0059 10.594.280,39  3.849.487,59

Premi periodik tahunan = Rp 10.000.000 x 0,0059 = Rp 59.000 Andaikan mP‟x/n adalah premi periodik n tahun polis asuransi berjangka masingmasing 1 per orang pada umur x akan dibayar pada periode m < n tahun. mP‟x/n ditentukan dengan cara sebagai berikut : mP’x/n

M x  M xn N x  N xm

=

(nilai Mx, Nx, Mx+n

dan

Nx+m dapat dilihat tabel CSO,

Lampiran 8). Contoh 3 : Hitunglah premi tahunan, pembayaran 20 tahun polis asuransi berjangka 30 tahun Rp 5.000.000 setiap orang pada umur 30 tahun. Jawab : m = 20 , n = 30 tahun , x = 30 tahun mP’x/n

=

20P’30/30

M x  M xn N x  N xm =

20P’30/30

=

M 30  M 30 30 N 30  N 30  20

182.403,4951  108.543,4550  0,01095 10.594.280,39  3.849.487,5900

Premi tahunan adalah = Rp 5.000.000 x 0,01095 = Rp 54.750

Asuransi dwi guna (Endowment Life Insurance). Asuransi jiwa dwiguna ini mengandung dua unsur, yaitu asuransi jiwa berjangka dan asuransi jiwa dwiguna murni. Andaikan Ax/n adalah premi tunggal untuk n tahun polis asuransi masing-masing 1 per orang pada umur x, kemudian Ax/n ditentukan dengan cara sebagai berikut : Ax/n = A‟x/n + nEx =

M x  M x n Dx n  Dx Dx

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 147

Ax/n

=

M x  M x n  Dx  n Dx

(nilai Mx, Dx, Mx+n dan Dx+n dapat dilihat tabel CSO, Lampiran 8). Contoh 1 : Hitunglah premi tunggal polis asuransi dwiguna 25 tahun sebanyak Rp 20.000.000 setiap orang pada umur 30 tahun. Jawab : n = 25 tahun , x = 30 tahun Ax/n

=

A30/25 =

M x  M x n  Dx  n Dx

A30/25 =

M 30  M 30  25  D30  25 D30

182.403,4951  136.751,1239  193.940,6100  0,5436 440.800,58

Premi tunggal adalah Rp 20.000.000 x 0,5436 = Rp 10.872.000,00

4. Premi Biasa (Natural Premium). Premi tunggal untuk 1 tahun asuransi berjangka pada umur x disebut premi biasa pada umur itu. Andaikan P‟x/1 adalah premi biasa untuk 1 tahun polis asuransi masingmasing 1 per orang pada umur x, P‟x/1 dapat ditentukan : P’x/1

=

M x  M x 1 M x  M x 1  N x  N x 1 Dx

P’x/1

=

M x  M x 1 Dx

Persamaan ini adalah keadaan khusus persamaan P’x/n =

M x  M xn N x  N xn

yaitu

untuk n = 1. Contoh : Hitunglah premi biasa suatu polis asuransi Rp 10.000.000 setiap orang pada umur 30 tahun. Jawab : x = 30 tahun M x  M x 1 M 30  M 30 1 P’x/1 = P’30/1 = Dx D30 Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 148

P’30/1 =

182.403,4951  180.872,3371  0,0035 440.800,58

Premi biasa adalah = Rp 10.000.000 x 0,0035 = Rp 35.000,00. Contoh : Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup Rp 10.000.000 diubah menjadi polis asuransi jiwa berjangka 20 tahun pada umur 30 tahun, apa tanggapan anda terhadap perubahan itu ?. Jawab : Premi tunggal asuransi jiwa seumur hidup : Ax =

Mx Dx

A30 =

M 30 D30

A30 =

182.403,4951  0,4138 440.800,58

Premi tunggal adalah Rp 10.000.000 x 0,4138 = Rp 4.138.000,00. Premi tunggal asuransi berjangka : x = 30 tahun , n = 20 tahun A’x/n

=

A’30/20 =

M x  M xn Dx

A’30/20 =

M 30  M 30  20 D30

182.403,4951  142.035,0956  0,0916 440.800,58

Premi tunggal adalah = Rp 10.000.000 x 0,0916 = Rp 916.000,00 Menurut hasil ini premi tunggal asuransi jiwa berjangka lebih banyak dibandingkan dengan asuransi jiwa seumur hidup. Latihan. 1. Hitunglah premi tunggal polis asuransi seumur hidup Rp 10.000.000 untuk setiap umur seseorang ; a) 25 tahun, b) 30 tahun, c) 35 tahun. 2. Hitunglah premi tahunan / periodik pada soal 1. 3. Hitunglah premi tahunan pembayaran 30 tahun untuk polis asuransi jiwa seumur hidup setiap orang pada umur 30 tahun ! 4. Hitunglah premi tunggal polis asuransi berjangka 20 tahun Rp 20.000.000. Setiap orang pada umur ; a) 30 tahun, b) 35 tahun.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 149

5. Hitunglah premi tahunan pada soal 4. 6. Hitunglah premi tahunan, pembayaran 25 tahun, polis asuransi berjangka 35 tahun Rp 10.000.000 untuk setiap orang pada umur 30 tahun. 7. Hitunglah premi tunggal polis asuransi dwiguna 30 tahun sebanyak Rp 15.000.000 setiap orang pada umur 30 tahun. 8. Hitunglah premi biasa suatu polis asuransi Rp 10.000.000. Setiap orang pada umur ; a) 30 tahun, b) 35 tahun, c) 40 tahun. 9. Hitunglah premi tahunan untuk pembayaran 20 tahun polis berjangka Rp 10.000.000 setiap orang pada umur 25 tahun. 10. Berapa polis asuransi jiwa seumur hidup setiap orang pada umur 30 tahun pembelian suatu premi tunggal Rp 5.000.000 ?

------------

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 150

DAFTAR PUSTAKA

Albari, 2003. Matematika Untuk Ekonomi & Bisnis, Yogyakarta : Ekonisia. Alpha C. Chiang ( Alis bahasa ; Susatio Sudigno, Nartanto), 1989. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi, Jilid 1, Edisi Ketiga (Revisi), Jakarta : Erlangga. Herispon, 2004. Manajemen Keuangan I, Pekanbaru : UIR Press L. Sembiring, R.A. Rivai Wirasasmita, Yogia. SM, Yance Lagu. M., 2005. Matematika Keuangan, Bandung : Penerbit M2S. M. Nababan, 2004. Matematika Keuangan Untuk Perguruan Tinggi, Jakarta : PT. Grasindo. Muhammad (editor), 2004. Bank Syari’ah ; Analisis Kekuatan, Peluang, Kelemahan dan Ancaman, Edisi Pertama, Cetakan Ketiga, Yogyakarta : Ekonisia. Sunarto Zulkifli, 2003, Panduan Praktis Transaksi Perbankan Syariah, Jakarta : Zikrul Hakim. Yacob Ibrahim, 1998. Studi Kelayakan Bisnis, Jakarta : PT. Rineka Cipta

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 151

Lampiran 1

Jumlah Penerimaan Apabila Principal = 1 , rumus S = ( 1 + i )n Keterangan : S i n

= Jumlah nilai yang dicari = Tingkat bunga (discount rate) = Periode waktu/ jumlah periode penerimaan

Untuk menentukan jumlah penerimaan dari Rp 1,- pada tingkat bunga tertentu (discount rate) dan pada periode tertentu pula, dilakukan dengan memasukan tingkat bunga dan berapa jumlah periode penerimaan (periode ini dapat dalam hitungan harian, mingguan, bulananan, triwulanan, atau tahunan). Berikut contoh pengisian tabel yang periodenya dalam hitungan tahun pada tingkat bunga 0 % , periode 0 tahun yaitu : S = ( 1 + i )n dapat ditulis S = ( 1 + 0,00)0 = 1,00000000. Selanjutnya pada tingkat bunga 1 % dan periode 1 tahun dapat ditulis S = ( 1 + 0,01 )1 = 1,01000000. Dengan bantuan kalkulator untuk menentukan nilai pada tahun ke 2,3,4,5 sampai tahun ke 40 pada tingkat bunga 1 %, dapat digunakan cara dengan menekan (meng enter) tanda ( x ) dua kali pada nilai 1,01000000 sama dengan hasilnya 1,02100000 tekan tanda sama dengan ( = ) berulang berulang hasilnya akan didapatkan seperti pada tahun , 3, 4, 5, dan ke 40 seperti pada contoh dibawah ini. Begitu juga pada tingkat bunga 2 %, 3%, 4%, 5% atau 40% cara yang sama dapat dilakukan. Atau dapat juga dengan cara menekan tanda ( yx ) pada kalkulator, misal kita ingin menentukan nilai pada tingkat bunga 1 % dengan periode 5 tahun, maka dapat dilakukan seperti berikut : S = ( 1 + 0,01 ) = 1,01 tekan tanda yx tekan angka 5 sama dengan 1,05101005 begitu seterusnya pada periode berapa dan pada tingkat bunga (discount rate) berapa yang kita inginkan hasilnya akan diperoleh seperti pada tabel berikut : n/i

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0 1

1,00000000 1,01000000

1,00000000 1,02000000

1,00000000 1,03000000

1,00000000 1,04000000

1,00000000 1,05000000

1,00000000 1,06000000

1,00000000 1,07000000

1,00000000 1,08000000

1,00000000 1,09000000

2

1,02010000

1,04040000

1,06090000

1,08160000

1,10250000

1,12360000

1,14490800

1,16640000

1,18810000

3

1,03030100

1,06120800

1,09272700

1,12486400

1,15762500

1,19101600

1,22504300

1,25971200

1,29502900

4 5

1,04060401 1,05101005

1,08243216 1,10408080

1,12550881 1,15927407

1,16985856 1,21665290

1,21550625 1,27628156

1,26247696 1,33822558

1,31079601 1,40255173

1,36048896 1,46932808

1,41158161 1,53862395

: 40

1,48886373

2,20803966

2,68506384

4,80102063

7,03998871

10,28571794

14,97445784

21,72452150

31,40942005

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 152

Lampiran 2

Jumlah Present Value Apabila Principal = 1 , rumus P = ( 1 + i )-n 1 (1  i) n Keterangan : P i -n

atau

P=

= Jumlah nilai yang dicari (nilai sekarang) = Tingkat bunga (discount rate) = Periode waktu/ jumlah periode penerimaan

Untuk menentukan jumlah nilai sekarang dari Rp 1,- pada tingkat bunga tertentu (discount rate) dan pada periode tertentu pula, dilakukan dengan memasukan tingkat bunga dan berapa jumlah periode penerimaan (periode ini dapat dalam hitungan harian, mingguan, bulananan, triwulanan, atau tahunan). Berikut contoh pengisian tabel yang periodenya dalam hitungan tahun pada tingkat bunga 0 % , periode 0 tahun yaitu : P = ( 1 + i )-n dapat ditulis P = ( 1 + 0,00)-0 = 1,00000000. Selanjutnya pada tingkat bunga 1 % dan periode 1 tahun dapat ditulis P = ( 1 + 0,01 )-1 = 0,9900991. Dengan bantuan kalkulator untuk menentukan nilai pada tahun ke 2,3,4,5 sampai tahun ke 40 pada tingkat bunga 1 %, dapat digunakan cara dengan menekan (meng enter) tanda ( x ) dua kali pada nilai 0,9900991 sama dengan hasilnya 0,980296227 tekan tanda sama dengan ( = ) berulang-ulang hasilnya akan didapatkan seperti pada tahun 3, 4, 5, dan ke 40 seperti pada contoh dibawah ini. Begitu juga pada tingkat bunga 2 %, 3%, 4%, 5% atau 40% cara yang sama dapat dilakukan. Atau dapat juga dengan cara menekan tanda ( yx ) pada kalkulator, misal kita ingin menentukan nilai pada tingkat bunga 1 % dengan periode 5 tahun, maka dapat dilakukan seperti berikut : P = ( 1 + 0,01 )-n = 1,01 tekan tanda yx tekan angka -5 tekan tanda negatif sama dengan 0,95146569 begitu seterusnya pada periode berapa dan pada tingkat bunga (discount rate) berapa yang kita inginkan hasilnya akan diperoleh seperti pada tabel berikut :

n/ i

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0 1 2 3 4 5 : 40

1,00000000 0,99009901 0,98029605 0,97059015 0,96098034 0,95146569

1,00000000 0,98039216 0,96116878 0,94232233 0,92384543 0,90573081

1,00000000 0,97087379 0,94259591 0,91514166 0,88848705 0,86260878

1,00000000 0,96153846 0,92455621 0,8889936 0,85480419 0,82192711

1,00000000 0,95238095 0,90702948 0,86383760 0,82270247 0,78352617

1,00000000 0,94339623 0,88999644 0,83961928 0,79209366 0,74725817

1,00000000 0,93457944 0,87343873 0,81629788 0,76289521 0,71298618

1,00000000 0,92592593 0,85733882 0,79383224 0,73502985 0,68058320

1,00000000 0,91743119 0,84167999 0,77218348 0,70842521 0,64993139

0,67165314

0,45289042

0,30655684

0,20828904

0,14204568

0,09722219

0,06678038

0,04603093

0,03183758

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 153

Lampiran 3

1  (1  i)  n

Jumlah Present Value dari Anuity Apabila Anuity = 1, rumus :

i

Keterangan : i = tingkat bunga (discount rate) -n = periode / waktu Adalah menentukan jumlah nilai sekarang dari suatu anuity (cicilan berkala) pada anuity sama dengan Rp 1. Untuk menentukan nilai pada tingkat bunga 1 % dan pada periode 1  (1  0,01) 1 tahun ke 1 adalah sebagai berikut : = 0,99009901 dan pada tingkat 0,01





1  (1  0,01)  40

bunga 1 % pada periode tahun ke 40 dapat dihitung sebagai berikut :

0,01 = 32,83468611, artinya kita harus melakukannya berulang-ulang misal pada tingkat bunga 1 % dengan periode yang berbeda-beda seperti dari tahun ke, 1, 2, 3, 4, 5, …,40 jadi perhitungannya harus kita selesaikan masing-masing pada periodenya. Begitu juga pada tingkat bunga 2 %, 3 %, 4 %, 5 %, …, 40 % pada periode tahun ke 1, 2, 3, 4, 5, …, 40 cara menentukan nilainya sama maka hasilnya akan diperoleh seperti pada tabel berikut : n/i

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

1

0,99009901

0,98039216

0,97087379

0,96153846

0,95238095

0,94339623

0,93457944

0,92592593

0,91743119

2

1,97039506

1,94156094

1,91346970

1,88609467

1,85941043

1,83339267

1,80801817

1,78326475

1,75911119

3

2,94098521

2,88388327

2,82861135

2,77509103

2,72324803

2,67301195

2,62431604

2,57709699

2,53129467

4

3,90196555

3,80772870

3,71709840

3,62989522

3,54595050

3,46510561

3,38721126

3,31212684

3,23971988

5

4,85343124

4,71345951

4,57970719

4,45182233

4,32947667

4,21236379

4,10019744

3,99271004

3,88965126

32,83468611

27,35547924

23,11477197

19,79277388

17,1590863

15,0462968

13,3317088

11,9246133

10,7573602

: 40

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 154

Lampiran 4 Jumlah Anuity Apabila Present Value Anuity = 1 , rumus :

i {1  (1  i)  n }

Keterangan : i = tingkat bunga (discount rate) -n = periode / waktu Adalah menentukan jumlah anuity (cicilan berkala) pada nilai sekarang dari suatu anuity sama dengan Rp 1. Untuk menentukan nilai pada tingkat bunga 1 % dan pada periode 0,01 tahun ke 1 adalah sebagai berikut : = 0,01000000 , dan pada tingkat {1  (1  0,01) 1 } 0,01 bunga 1 % pada periode tahun ke 40 dapat dihitung sebagai berikut : {1  (1  0,01)  40 } = 0,03045560 , artinya kita harus melakukannya berulang-ulang misal pada tingkat bunga 1 % dengan periode yang berbeda-beda seperti dari tahun ke, 1, 2, 3, 4, 5, …,40 jadi perhitungannya harus kita selesaikan masing-masing pada periodenya. Begitu juga pada tingkat bunga 2 %, 3 %, 4 %, 5 %, …, 40 % pada periode tahun ke 1, 2, 3, 4, 5, …, 40 cara menentukan nilainya sama maka hasilnya akan diperoleh seperti pada tabel berikut : n/ i 0

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

1

0,01000000

1,02000000

1,03000000

1,04000000

1,05000000

1,06000000

1,07000000

1,08000000

1,09000000

2

0,50751244

0,51504950

0,52261084

0,53019608

0,53780488

0,54543689

0,55309178

0,56076923

0,56846890

3

0,34002211

0,34675467

0,35353036

0,36034854

0,36720856

0,37410981

0,38105166

0,38803351

0,39505475

4

0,25628109

0,26262375

0,26902705

0,27549005

0,28201183

0,28859149

0,29522811

0,30192064

0,30866866

5

0,20603980

0,21215839

0,21835457

0,22462711

0,23097480

0,2373964

0,24389069

0,25045645

0,25709245

0,03045560

0,03655575

0,04326238

0,05052349

0,05827816

0,066461535

0,07500913

0,083860162

0,092959609

: 40

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 155

Lampiran 5

Jumlah Penerimaan dari Anuity Apabila Anuity = 1 , rumus :

{(1  i ) n  1} i

Keterangan : i = tingkat bunga (discount rate) n = periode / waktu Adalah menentukan jumlah penerimaan dari anuity (cicilan berkala) dari suatu anuity sama dengan Rp 1. Untuk menentukan nilai pada tingkat bunga 1 % dan pada periode {(1  0,01)1  1} tahun ke 1 adalah sebagai berikut : = 1,00000000 , dan pada tingkat 0,01

{(1  0,01) 40  1} bunga 1 % pada periode tahun ke 40 dapat dihitung sebagai berikut : 0,01 = 48,88637336 , artinya kita harus melakukannya berulang-ulang misal pada tingkat bunga 1 % dengan periode yang berbeda-beda seperti dari tahun ke, 1, 2, 3, 4, 5, …,40 jadi perhitungannya harus kita selesaikan masing-masing pada periodenya. Begitu juga pada tingkat bunga 2 %, 3 %, 4 %, 5 %, …, 40 % pada periode tahun ke 1, 2, 3, 4, 5, …, 40 cara menentukan nilainya sama maka hasilnya akan diperoleh seperti pada tabel berikut : n /i 0

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

1

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

2

2,01000000

2,02000000

2,03000000

2,04000000

2,05000000

2,06000000

2,07000000

2,08000000

2,09000000

3

3,03010000

3,06040000

3,09090000

3,12160000

3,15250000

3,18360000

3,21490000

3,24640000

3,27810000

4

4,06040100

4,12160800

4,18362700

4,24646400

4,31012500

4,37461600

4,43994300

4,50611200

4,57312900

5

5,10100501

5,20404016

5,30913581

5,41632256

5,52563125

5,63709296

5,75073901

5,86660096

5,98471061

48,8863733

60,4019831

75,4012597

95,0255157

120,799774

154,761965

199,635511

259,056518

337,882445

: 40

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 156

Lampiran 6

Jumlah Annuity Apabila Nilai Penerimaan Annuity = 1 , rumus :

i {(1  i ) n  1

Keterangan : i = tingkat bunga (discount rate) n = periode / waktu Adalah menentukan jumlah anuity (cicilan berkala) apabilai nilai penerimaan anuity sama dengan Rp 1. Untuk menentukan nilai pada tingkat bunga 1 % dan pada periode 0,01 tahun ke 1 adalah sebagai berikut : = 1,00000000 , dan pada tingkat {(1  0,01)1  1 0,01 bunga 1 % pada periode tahun ke 40 dapat dihitung sebagai berikut : = {(1  0,01) 40  1 0,02045560 , artinya kita harus melakukannya berulang-ulang misal pada tingkat bunga 1 % dengan periode yang berbeda-beda seperti dari tahun ke, 1, 2, 3, 4, 5, …,40 jadi perhitungannya harus kita selesaikan masing-masing pada periodenya. Begitu juga pada tingkat bunga 2 %, 3 %, 4 %, 5 %, …, 40 % pada periode tahun ke 1, 2, 3, 4, 5, …, 40 cara menentukan nilainya sama maka hasilnya akan diperoleh seperti pada tabel berikut : n /i 0

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

0,00000000

1

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

1,00000000

2

0,49751244

0,49504950

0,49261084

0,49019608

0,48780488

0,48543689

0,48309179

0,48076923

0,47846890

3

0,33002211

0,32675467

0,32353036

0,32034854

0,31720856

0,31410981

0,31105167

0,30803351

0,30505476

4

0,24628109

0,24262375

0,23902705

0,23549005

0,23201183

0,22859149

0,22522812

0,22102080

0,21866866

5

0,19603980

0,19215839

0,18835457

0,18462711

0,18097480

0,17739640

0,17389069

0,17045645

0,16709246

0,02045560

0,01655575

0,01326238

0,01052349

0,00827816

0,00646154

0,00500914

0,00386016

0,00295961

: 40

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 157

Lampiran 7 Tingkat Bunga Setiap Interval Pembayaran Apabila Normal Rate Diketahui. n

Tingkat Bunga Setahun

1 2 3 4 5

2 % = 0,020 2,5 % = 0,025 3 % = 0,030 3,5 % = 0,035 4 % = 0,040

Tingkat Bunga Setiap Periode Dalam Bunga Majemuk Bulan Kuartal 6 Bulan 1/6 % = 0,00166 ½ % = 0,005 1 % = 0,01 5/24 % = 0,00208 5/8 % = 0,00625 1,25 % = 0,0125 ¼ % = 0,00250 ¾ % = 0,0075 1,5 % = 0,015 7/24 % 0,00292 7/8 % = 0,00875 1,75 % = 0,0175 1/3 % = 0,0033 1 % = 0,01 2 % = 0,02

6 7 8 9 10

4,5 % = 0,045 5 % = 0,050 6 % = 0,060 6,5 % = 0,065 7 % = 0,07

3/8 % = 0,00375 5/12 % = 0,00416 ½ % = 0,005 13/24 % = 0,00542 7/12 % = 0,00583

1,125 % = 0,01125 1,25 % = 0,0125 1,5 % = 0,015 1,625 % = 0,01625 1,75 % = 0,01750

2,25 % = 0,0225 2,5 % = 0,025 3 % = 0,03 3,25 % 0,0325 3,5 % = 0,035

11 12 13 14 15

7,5 % = 0,075 8 % = 0,080 8,5 % = 0,085 9 % = 0,090 9,5 % = 0,095

15/24 % = 0,00625 2/3 % = 0,00667 17/24 % = 0,00708 ¾ % = 0,00750 19/24 % = 0,00791

1,875 % = 0,01875 2 % = 0,02 2,125 % = 0,02125 2,25 % = 0,0225 2,375 % = 0,02375

3,75 % = 0,0375 4 % = 0,04 4,25 % = 0,0425 4,5 % = 0,045 4,75 % = 0,0475

16 17 18 19 20

10 % = 0,100 10,5 % = 0,105 11 % = 0,110 12 % = 0,120 13 % = 0,130

5/6 % = 0,00833 21/24 % = 0,00875 11/12 % = 0,00917 1 % = 0,01 1,083 % = 0,01083

2,5 % = 0,025 2,625 % = 0,02625 2,75 % = 0,0275 3 % = 0,03 3,25 % = 0,0325

5 % = 0,05 5,25 % = 0,0525 5,5 % = 0,055 6 % = 0,06 6,5 % = 0,065

21 22 23 24 25 26 27

14 % = 0,140 15 % = 0,150 16 % = 0,160 17 % = 0,170 18 % = 0,180 20 % = 0,200 50 % = 0,500

1,166 % = 0,01166 1,25 % = 0,0125 1,333 % = 0,01333 1,417 % = 0,01417 1,5 % = 0,015 1,66 % = 0,0166 4,167 % = 0,04167

3,5 % = 0,035 3,75 % = 0,0375 4 % = 0,04 4,25 % = 0,0425 4,5 % = 0,045 5 % = 0,05 12,5 % = 0,125

7 % = 0,07 7,5 % = 0,075 8 % = 0,08 8,5 % = 0,085 9 % = 0,09 10 % = 0,10 25 % = 0,25

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 158

Lampiran 8 Tabel Mortalitas “Standard Ordinary Mortality” (CSO) Komisi 1941 dengan i = 2,5 % Umur x ++ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Jumlah Hidup lx 1.023.102 1.000.000 994.230 990.114 986.767 983.817 981.817 978.541 976.124 973.869 971.804 969.890 968.038 966.179 964.266 962.270 960.201 958.098 955.942 953.742 951.483 949.171 946.789 944.337 941.806 939.197 936.492 933.692 939.788 927.763 924.609 921.317 917.880 914.282

Herispon, SE. M.Si

Jumlah Mati dx 23.102 5.770 4.116 3.347 2.950 2.715 2.561 2.417 2.265 2.065 1.914 1.852 1.859 1.913 1.996 2.069 2.103 2.156 2.199 2.260 2,312 2,382 2,452 2.531 2.609 2.705 2.800 2.904 3.025 3.154 3.292 3.437 3.598 3.767

Dx

Nx

Mx

x

975.609,76 946.322,43 919.419,28 893.962,20 869.550,88 846.001,18 823.212,53 801.150,42 779.804,53 759.171,73 739.196,60 719.790,36 700.885,94 682.437,28 664.414,29 646.815,33 629.657,27 612.917,42 596.592,68 580.662,42 565.123,40 549.956,28 535.153,17 520.701,32 506.594,02 492.814,61 479.357,22 466.211,03 453.361,83 440.800,58 428.518,18 416.506,91 404.755,37

30.351.127,80 29.375.518,04 28.429.195,61 27.509.776,33 26.615.814,13 25.746.263,25 24.900.262,07 24.077.049,12 23.275.899,12 22.496.094,59 21.736.922,86 20.997.726,26 20.277.935,90 19.577.049,96 18.894.612,68 18.230.198,39 17.538.383,06 16.953.725,79 16.340.808,37 15.744.215,69 15.163.553,27 14.598.429,87 14.048.473,59 13.513.320,42 12.992.619,10 12.486.025,08 11.993.210,47 11.513.853,25 11.047.642,22 10.594.280,39 10.153.479,81 9.724.961,63 9.308.454,72

235.338,3473 229.846,3782 226.024,2630 222.992,0462 220.384,6760 218.043,5400 215.889,0597 213.905,3152 212.099,6727 210.486,4980 20.027,7529 207.650,6874 206.302,1309 204.948,2488 203.570,0795 202.176,3495 200.794,2683 199.411,9146 198.036,3791 196.657,1668 195.280,6337 193.897,0141 192.507,4725 191.108,1450 189.700,8750 188.277,4101 186.839.8909 185.385.3418 183.907,1415 182.403,4951 180.872,3371 179.312,7277 177.719,8824

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Matematika Keuangan -- 2007 | 159

Tabel Mortalitas “Standard Ordinary Mortality” (CSO) Komisi 1941 dengan i = 2,5 % Umur x 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

Jumlah Hidup lx 910.515 906.554 902.393 898.007 893.382 888.504 883.342 877.883 872.098 865.967 859.464 852.554 845.214 837.413 829.114 820.292 810.900 800.910 790.282 778.981 766.961 754.191 740.631 726.241 710.990 694.843 677.771 659.749 640.761 620.782 599.824 577.882 554.975 531.133

Herispon, SE. M.Si

Jumlah Mati dx 3.961 4.161 4.386 4.652 4.878 5.162 5.459 5.785 6.131 6.503 6.910 7.340 7.801 8.299 8.822 9.392 9.990 10.628 11.301 12.020 12.770 23.560 14.390 15.251 16.347 17.027 18.022 18.988 19.979 20.958 21.942 22.907 23.842 24.730

Dx

Nx

Mx

x

393.256,29 381.995,63 370.968,10 360.161,02 349.566,90 339.178,75 328.983,61 318.976,11 309.145,04 299.485,04 289.986,39 280.638,95 271.436,89 262.372,33 253.436,74 244.624,00 235.925,0400 227.335,1500 218.847,2500 210.456,3300 202.155,0300 193.940,6100 185.808,4300 177.754,4300 169.777,1700 161.874,5700 154.046,6100 146.292,8000 138.616,9700 131.019,4000 123.508,3900 116.088,1500 108.767,2900 101.555,7000

8.903.699,35 8.150.443,06 8.128.447,43 7.757.479,33 7.397.318,31 7.047.751,41 6.708.572,66 6.379.589,05 6.060.612,94 5.751.467,43 5.451.982,39 5.161.996,00 488.357,05 4.609.920,16 4.347.547,83 4.094.111,59 3.849.487,5900 3.613.562,5900 3.386.227,4000 3.167.380,1500 3.956.923,8200 2.754.768,7900 2.560.828,1800 2.375.019,7500 2.197.265,3200 2.027.488,1500 1.865.613,5800 1.711.567,3500 1.565.274,5500 1.426.657,5800 1.295.638,1800 1.172.129,7900 1.056.041,6400 947.274,3500

176.092,8950 174.423,8442 172.713,2832 170.954,2031 169.144,5103 167.282,3758 165.359,8889 163.376,3779 161.325,6832 159.205,3451 157.011,2084 154.736,6133 152.379,4034 149.935,2492 147.398,4842 144.767,6248 142.035,0956 139.199,4735 136.256,3361 133.203,1589 130.034,9360 136.751,1239 123.349,2108 119.827,1207 116.185,3372 112.423,6404 108.543,4550 104.547,2551 100.439,5471 96.222,8711 91.907,4573 87.499,6261 83.010,1764 78.451,4482

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67

Matematika Keuangan -- 2007 | 160

Tabel Mortalitas “Standard Ordinary Mortality” (CSO) Komisi 1941 dengan i = 2,5 % Umur x 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Jumlah Hidup lx 506.403 480.850 454.548 427.593 400.112 372.240 344.136 315.982 287.973 260.322 233.251 206.989 181.765 157.799 135.257 114.440 95.378 78.221 63.036 49.838 38.593 29.215 21.577 15.514 10.833 7.327 4.787 3.011 1.818 1.005 454 125

Jumlah Mati dx 25.553 26.302 26.955 27.481 27.872 28.104 28.154 28.009 27.651 27.071 26.262 25.224 23.966 22.502 20.857 19.062 17.157 15.185 13.198 11.245 9.357 7.638 6.063 4.681 3.605 2.540 1.776 1.193 813 551 329 125

Dx

Nx

Mx

x

94.465,5450 87.511,0500 80.706,6250 74.068,9420 67.618,1480 61.373,4980 55.355,9210 49.587,5260 44.089,7870 38.884,2060 33.990,8500 29.428.0770 25.211.6360 21.353,6020 17.862,0470 11.985,1510 14.739,9840 9.589,4746 7.539,3905 5.815,4632 4.393,4773 3.244,7546 2.337,9929 1.640,0309 1.117,2571 737,2363 469,9158 288,3657 169,8646 91,6117 40,3755 10,8454

845.718,6510 751.253,0500 663.742,0560 583.035,4310 508.966,4890 441.348,3410 379.974,8430 324.618,9220 275.031,3960 230.941.6090 192.057.4030 158.066,5530 128.638,4760 103.426,8400 82.073,2380 64.211,1910 49.471,2070 37.486,0561 27.896,5815 20.357,1910 14.541,7278 10.148,2505 6.903,4959 4.550,5030 2.925,4721 1.808,2150 1.070,9787 601,0629 312,6972 142,8326 51.2209 10.8454

73.838,2589 69.187,8068 64.517.7925 59.848,5665 55.204.3311 50.608,9030 46.088,2403 41.669,9911 37.381,7042 33.251.4840 29.306.5222 52.572,7964 22.074,1123 18.830,9965 15.860,2597 13.173,8577 10.778,5365 8.675,1804 6.858,9858 5.318,9464 4.038,8010 2.997,2364 2.169,6149 1.528,6772 1.045,9042 693.1335 445,7944 273,7056 162,2378 88,1280 39,1261 10,5810

68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Dipublikasikan pertama kali tahun 1868 oleh American Experience Table of Mortality, dan diganti dengan tabel CSO atau Commisioners 1941 Standard Ordinary (CSO) Mortality Table.

Herispon, SE. M.Si

Matematika Keuangan -- 2007 | 161

Lampiran 9 Jumlah Hari Mulai Januari s/d Desember Tgl Jan Feb Mar Apr Mei Juni Juli Agts Sept Okt Nov Des Tgl 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10

37 38 39 40 41

65 66 67 68 69

96 97 98 99 100

126 127 128 129 130

157 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 250 251 252 253

279 280 281 282 283

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

162 163 164 165 166 167 168 169 170 171

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201

223 224 225 226 227 228 229 230 231 232

254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

284 285 286 287 288 289 290 291 292 293

315 316 317 318 319 320 321 322 323 324

345 346 347 348 349 350 351 352 353 354

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

52 53 54 55 56

80 81 82 83 84

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

202 203 204 205 206

233 234 235 236 236

264 265 266 267 268

294 295 296 297 298

325 326 327 328 329

355 356 357 358 359

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

26 27 28 29 30 31

57 58 59

85 86 87 88 89 90

116 117 118 119 120

146 147 148 149 150 151

177 178 179 180 181

207 208 209 210 211 212

238 239 240 241 242 243

269 270 271 272 273

299 300 301 302 303 304

330 331 332 333 334

360 361 362 363 364 365

26 27 28 29 30 31

Herispon, SE. M.Si

View publication stats

Matematika Keuangan -- 2007 | 162